Lineare und nichtlineare Systeme - Cheatsheet

Lösungstechniken für lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Definition:

Lösungstechniken für lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung in der Vorlesung Lineare und nichtlineare Systeme.

Details:

• Allgemeine Form: \[a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = f(x)\]
• Homogene Gleichungen: Setze die R.H.S. gleich 0.
• Charakteristische Gleichung: Finde die Wurzeln für homogene Gleichungen der Form \[a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0\]
• Partikuläre Lösung: Setze eine vernünftige Form für spezielle Lösungen ein, wenn die Gleichung inhomogen ist.
• Lösung der allgemeinen Form: Kombination von homogenen und partikulären Lösungen \[y = y_h + y_p\]
• Variation der Konstanten: Z. B. für inhomogene Gleichungen der Form \[y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)\].

Laplace-Transformationen für Differentialgleichungen

Definition:

Analytische Methode zur Umwandlung von Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen durch Anwendung der Laplace-Transformation.

Details:

• Laplace-Transformation: \( \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt \)
• Inverse Laplace-Transformation: \( \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) \)
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebung im Zeitbereich, Ableitung und Integration im Zeitbereich
• Verwendung zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
• Standard-Funktionen und ihre Transformierten kennen (z.B. \( \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s} \), \( \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \) )

Stabilität und Existenz von Fixpunkten in nichtlinearen Systemen

Definition:

Existenz und Stabilität von Fixpunkten sind essenziell für das Verständnis nichtlinearer Systeme.

Details:

• Fixpunkt: Ein Punkt x^* mit der Eigenschaft, dass f(x^*) = x^*.
• Lokale Stabilität: Kleine Abweichungen von x^* kehren zu x^* zurück. Formell: \( |f'(x^*)|<1 \) im diskreten Fall oder Re(λ) < 0 bei kontinuierlichen Systemen.
• Globale Stabilität: Systeme kehren für jede Abweichung zu x^* zurück.
• Stabilitätsanalyse oft durch Linearisierung um Fixpunkt.
• Existenz oft durch den Satz von Banach (fixpunktbasierte Methoden).

Phasenraum und Trajektorienanalyse

Definition:

Phasenraum stellt Zustände dynamischer Systeme grafisch dar, Trajektorien beschreiben deren zeitliche Entwicklung.

Details:

• Phasenraum: Vektorraumbeschreibung der Zustände eines Systems.
• Jeder Punkt im Phasenraum entspricht einem Zustand.
• Trajektorien: Pfade im Phasenraum, die die zeitliche Entwicklung eines Systems beschreiben.
• Dynamische Systeme: durch Differentialgleichungen definiert.
• Stabilität: Analyse von Fixpunkten und Attraktoren im Phasenraum.
• Lineare Systeme: Phasenportraits sind durch Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmbar.
• Nichtlineare Systeme: oft komplexere Strukturen wie Limit-Zyklen und Chaos.

Sattelknoten- und Hopf-Bifurkationen

Definition:

Untersuche Änderungen qualitativen Verhaltens nichtlinearer dynamischer Systeme.

Details:

• Sattelknotenbifurkation: Zwei Fixpunkte, einer stabil, einer instabil, verschmelzen und vernichten sich.
• Hopf-Bifurkation: Ein stabiler Fixpunkt wird instabil und es entsteht ein stabiler Limitzyklus.
• Allgemeine Form der Gleichung bei Sattelknoten: \( \frac{dx}{dt} = r + x^2 \).
• Allgemeine Form der Gleichung bei Hopf: \( \frac{dz}{dt} = (\lambda + i\omega)z - |z|^2z \).
• Bedeutung: Übergänge zwischen stabilen und instabilen Zuständen, Auftritt von Oszillationen.
• Bifurkationsdiagramme verwenden zur Darstellung.

Lyapunov-Exponenten und Sensitivität auf Anfangsbedingungen in chaotischen Systemen

Definition:

Lyapunov-Exponenten messen die Wachstumsrate von Störungen in chaotischen Systemen. Sie bestimmen die Sensitivität auf Anfangsbedingungen, was typisch für Chaos ist.

Details:

• Positiver Lyapunov-Exponent: Anfängliche Störungen wachsen exponentiell.
• Negativer Lyapunov-Exponent: Anfängliche Störungen schrumpfen exponentiell.
• Formel zur Berechnung: \[ \lambda = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log \frac{d(t)}{d(0)} \]
• Ein System ist chaotisch, wenn es mindestens einen positiven Lyapunov-Exponenten hat.
• Sensitivität auf Anfangsbedingungen: kleine Änderungen führen zu stark divergierenden Trajektorien im Phasenraum.

Numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer Systeme

Definition:

Numerische Methoden zur Approximation der Lösungen von nichtlinearen Gleichungssystemen.

Details:

• Iterative Verfahren: Verfahren, die schrittweise die Lösung annähern, z. B. das Newton-Verfahren.
• Newton-Verfahren: Benutzt Ableitungen, um die Lösung zu approximieren. Iterationsformel: \[ x_{k+1} = x_k - J_f(x_k)^{-1} f(x_k) \]
• Fixed-Point-Iteration: Wiederholte Anwendung einer Transformationsfunktion \( x_{k+1} = g(x_k) \) zur Annäherung der Lösung.
• Konvergenzkriterien: Abbruch der Iteration, wenn die Änderung zwischen Iterationen klein genug oder der Funktionswert nahe Null ist.
• Broyden-Verfahren: Quasi-Newton-Verfahren, das keine explizite Berechnung der Jacobimatrix erfordert.