Lineare und nichtlineare Systeme - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die folgende Differentialgleichung dritter Ordnung:

\[ y''' + 3y'' - 4y' - 12y = e^{2x} \]

a)

Teilaufgabe a: Bestimme die homogene Lösung \(y_h\). Dazu löse zuerst die charakteristische Gleichung der homogenen Differentialgleichung:

\[ r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = 0 \]

Lösung:

Um die homogene Lösung der Differentialgleichung zu finden, müssen wir zuerst die charakteristische Gleichung lösen:

\(r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = 0\)

Hier sind die Schritte zur Lösung der charakteristischen Gleichung:

• Schritt 1: Suche nach rationalen Nullstellen mit dem Rationalen-Wurzel-Test.

Zu prüfende Werte: \(\text{{Teiler von }} -12: \, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\)

• Schritt 2: Setze die Werte ein, bis eine Nullstelle gefunden wird.

Teste \(r = -2\):

\(r^3 + 3r^2 - 4r - 12 = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) - 12 \)\(-8 + 12 + 8 - 12 = 0\)Das bedeutet, dass \(r = -2\) eine Nullstelle ist.

\(r^3 + 3r^2 - 4r - 12 \) geteilt durch \(r + 2\)Ergebnis nach der Division: \( r^2 + r - 6\ )

\(r^2 + r - 6 = 0\)\((r + 3)(r - 2) = 0\)Lösungen: \( r = -3, r = 2 \)

\( y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + C_3 e^{2x} \)

b)

Teilaufgabe b: Bestimme eine partikuläre Lösung \(y_p\) durch die Methode der bestimmten Koeffizienten. Verwende dazu den Ansatz:

\[ y_p = Ae^{2x} \]

Lösung:

Um die partikuläre Lösung der Differentialgleichung zu finden, verwenden wir den Ansatz:

\( y_p = Ae^{2x} \)

Schritt 1: Berechne die Ableitungen von \(y_p\):

• Erste Ableitung:

\( y_p' = 2Ae^{2x} \)

• Zweite Ableitung:

\( y_p'' = 4Ae^{2x} \)

• Dritte Ableitung:

\( y_p''' = 8Ae^{2x} \)

Schritt 2: Setze diese Ableitungen in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:

\( y''' + 3y'' - 4y' - 12y = e^{2x} \)

Einsetzen ergibt:

\( 8Ae^{2x} + 3 \times 4Ae^{2x} - 4 \times 2Ae^{2x} - 12Ae^{2x} = e^{2x} \)

Schritt 3: Vereinfache die Gleichung:

\( 8Ae^{2x} + 12Ae^{2x} - 8Ae^{2x} - 12Ae^{2x} = e^{2x} \)

\( 0 = e^{2x} \)

Das zeigt, dass unser erster Ansatz nicht zu einer gültigen Lösung führt. Daher müssen wir einen modifizierten Ansatz versuchen.

Da \( e^{2x} \) eine Lösung der homogenen Gleichung ist, versuchen wir den modifizierten Ansatz:

\( y_p = Ax e^{2x} \)

Schritt 4: Berechne die neuen Ableitungen:

• Erste Ableitung:

\( y_p' = A e^{2x}(1 + 2x) \)

• Zweite Ableitung:

\( y_p'' = A e^{2x}(2 + 4x) \)

• Dritte Ableitung:

\( y_p''' = A e^{2x}(4 + 8x) \)

Schritt 5: Setze diese Ableitungen in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:

\( y''' + 3y'' - 4y' - 12y = e^{2x} \)

Einsetzen ergibt:

\( A e^{2x}(4 + 8x) + 3A e^{2x}(2 + 4x) - 4A e^{2x}(1 + 2x) - 12A x e^{2x} = e^{2x} \)

Schritt 6: Verteile und vereinfache die Gleichung:

\( 4A e^{2x} + 8A x e^{2x} + 6A e^{2x} + 12A x e^{2x} - 4A e^{2x} - 8A x e^{2x} - 12A x e^{2x} = e^{2x} \)

\( 6A e^{2x} = e^{2x} \)

Schritt 7: Löse nach \(A\) auf:

\( 6A = 1 \)

\( A = \frac{1}{6} \)

Schritt 8: Bestimme die partikuläre Lösung:

\( y_p = \frac{1}{6} x e^{2x} \)

c)

Teilaufgabe c: Schreibe die allgemeine Lösung der Differentialgleichung auf, bestehend aus der homogenen und der partikulären Lösung:

\[ y = y_h + y_p \]

Lösung:

Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung zu finden, müssen wir die homogene Lösung \(y_h\) und die partikuläre Lösung \(y_p\) kombinieren.

Aus den Teilaufgaben a und b haben wir bereits folgende Lösungen:

• Homogene Lösung:

\( y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + C_3 e^{2x} \)

• Partikuläre Lösung:

\( y_p = \frac{1}{6} x e^{2x} \)

Schritt 1: Kombiniere die homogene und die partikuläre Lösung:

\( y = y_h + y_p \)

\( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + C_3 e^{2x} + \frac{1}{6} x e^{2x} \)

Schritt 2: Schreibe die allgemeine Lösung auf:

\( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + C_3 e^{2x} + \frac{1}{6} x e^{2x} \)

Dies ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

\( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + C_3 e^{2x} + \frac{1}{6} x e^{2x} \)

Aufgabe 2)

Gegeben sei die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

\[ y''(t) + 4y'(t) + 5y(t) = u(t) \]

Die Laplace-Transformation eignet sich hervorragend, um solche Differentialgleichungen durch Umwandlung in algebraische Gleichungen zu lösen. Nutze dabei die Eigenschaften der Laplace-Transformation.

a)

1. Bestimme die Laplace-Transformation der Differentialgleichung:

• Führe die Laplace-Transformation auf beiden Seiten der gegebenen Differentialgleichung durch.
• Nimm an, dass die Anfangswerte null sind, d.h., y(0) = 0 und y'(0) = 0.
• Drücke die resultierende Gleichung in der Form von Y(s) und U(s) aus.

Hinweis: Verwende dabei die Eigenschaft der Laplace-Transformation von Ableitungen:

• \[ \mathcal{L}\{y'\texttt{(t)}\} = sY(s) - y(0) \]
• \[ \mathcal{L}\{y''\texttt{(t)}\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \]

Lösung:

Um die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung

\[ y''(t) + 4y'(t) + 5y(t) = u(t) \]

zu bestimmen, folgen wir Schritt für Schritt diesen Anweisungen:

• Führe die Laplace-Transformation auf beiden Seiten der Differentialgleichung durch.
• Nutze die Annahme, dass die Anfangswerte null sind: y(0) = 0 und y'(0) = 0.
• Drücke die resultierende Gleichung in der Form von Y(s) und U(s) aus.

Zur Erinnerung, die Laplace-Transformation von Ableitungen lauten:

• \( \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) \)
• \( \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \)

Nun führen wir die Laplace-Transformation der gesamten Differentialgleichung durch:

\[ \mathcal{L}\{y''(t) + 4y'(t) + 5y(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\} \]

Dies ergibt:

• \( \mathcal{L}\{y''(t)\} + 4\mathcal{L}\{y'(t)\} + 5\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\} \)

Setze die bekannten Laplace-Transformationen ein:

• \( \Big(s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)\Big) + 4\Big(sY(s) - y(0)\Big) + 5Y(s) = U(s) \)

Angenommen, die Anfangswerte sind null (\( y(0) = 0 \) und \( y'(0) = 0 \)), vereinfacht sich die Gleichung zu:

• \( s^2Y(s) + 4sY(s) + 5Y(s) = U(s) \)

Fasse die Terme zusammen, die Y(s) enthalten:

• \( \Big(s^2 + 4s + 5\Big) Y(s) = U(s) \)

Um Y(s) auszudrücken, teile beide Seiten der Gleichung durch den Ausdruck \( s^2 + 4s + 5 \):

• \( Y(s) = \frac{U(s)}{s^2 + 4s + 5} \)

Dies ist die Laplace-Transformation der gegebenen Differentialgleichung:

• \( \Big(s^2 + 4s + 5\Big) Y(s) = U(s) \)
• \( Y(s) = \frac{U(s)}{s^2 + 4s + 5} \)

b)

2. Bestimme die Inverse Laplace-Transformation, um die Lösung im Zeitbereich zu finden:

• Forme die resultierende algebraische Gleichung um, um Y(s) in der einfachsten möglichen Form auszudrücken.
• Nutze die Inverse Laplace-Transformation, um y(t) im Zeitbereich zu bestimmen.

Dabei sind einige Laplace-Transformationen und deren Umkehrungen hilfreich, beispielsweise:

• \[ \mathcal{L}\{ e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]
• \[ \mathcal{L}^{-1}\{ \frac{1}{s^2 + b^2} \} = \frac{sin(bt)}{b} \]

Lösung:

Um die Inverse Laplace-Transformation zu bestimmen und damit die Lösung im Zeitbereich zu finden, gehen wir wie folgt vor:

• Forme die resultierende algebraische Gleichung um, um Y(s) in der einfachsten möglichen Form auszudrücken.
• Nutze die Inverse Laplace-Transformation, um y(t) im Zeitbereich zu bestimmen.

Bereits gegeben ist:

• \( \Big(s^2 + 4s + 5\Big) Y(s) = U(s) \)
• \( Y(s) = \frac{U(s)}{s^2 + 4s + 5} \)

Um die Inverse Laplace-Transformation zu bestimmen, brauchen wir eine gut lösbare Form von \( Y(s) \). Angenommen, \( U(s) \) hat eine einfache Form, wie z.B. eine Konstante oder eine einfache Funktion, verwenden wir diese direkt in der Umformung.

Betrachte zunächst den Fall, dass \( U(s) = 1 \):

• \( Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 5} \)

Um die Inverse Laplace-Transformation zu ermitteln, müssen wir den Ausdruck für \( Y(s) \) in eine bekannte Form bringen. Faktorisieren wir den Nenner:

• \( s^2 + 4s + 5 = (s + 2)^2 + 1 \)

Damit können wir \( Y(s) \) umschreiben als:

• \( Y(s) = \frac{1}{(s + 2)^2 + 1} \)

Zur Inverse Laplace-Transformation dieser Form verwenden wir die bekannte Transformation:

• \( \mathcal{L}^{-1}\{ \frac{1}{s^2 + b^2} \} = \frac{\sin(bt)}{b} \)

Das bedeutet, dass:

• \( \mathcal{L}^{-1}\{ \frac{1}{(s + 2)^2 + 1} \} = e^{-2t} \sin(t) \)

Daher ergibt sich:

• \( y(t) = e^{-2t} \sin(t) \)

Zusammenfassend ist die Lösung im Zeitbereich:

• \( y(t) = e^{-2t} \sin(t) \)

Aufgabe 3)

Stabilität und Existenz von Fixpunkten in nichtlinearen SystemenExistenz und Stabilität von Fixpunkten sind essenziell für das Verständnis nichtlinearer Systeme.

• Fixpunkt: Ein Punkt x^* mit der Eigenschaft, dass f(x^*) = x^*.
• Lokale Stabilität: Kleine Abweichungen von x^* kehren zu x^* zurück. Formell: \( |f'(x^*)|<1 \) im diskreten Fall oder Re(λ) < 0 bei kontinuierlichen Systemen.
• Globale Stabilität: Systeme kehren für jede Abweichung zu x^* zurück.
• Stabilitätsanalyse: Oft durch Linearisierung um Fixpunkt.
• Existenz: Oft durch den Satz von Banach (fixpunktbasierte Methoden).

b)

Bestimme den Fixpunkt \( x^* \) des Systems \( x_{n+1} = x - x^3 \) und überprüfe die lokale Stabilität dieses Fixpunktes. Hint: Berechne den Ableitungswert an diesem Punkt.

Lösung:

Stabilität und Existenz von Fixpunkten in nichtlinearen SystemenExistenz und Stabilität von Fixpunkten sind essenziell für das Verständnis nichtlinearer Systeme.

• Fixpunkt: Ein Punkt x^* mit der Eigenschaft, dass f(x^*) = x^*.
• Lokale Stabilität: Kleine Abweichungen von x^* kehren zu x^* zurück. Formell: \( |f'(x^*)|<1 \) im diskreten Fall oder Re(λ) < 0 bei kontinuierlichen Systemen.
• Globale Stabilität: Systeme kehren für jede Abweichung zu x^* zurück.
• Stabilitätsanalyse: Oft durch Linearisierung um Fixpunkt.
• Existenz: Oft durch den Satz von Banach (fixpunktbasierte Methoden).
Teilübung:Bestimme den Fixpunkt \( x^* \) des Systems \( x_{n+1} = x - x^3 \) und überprüfe die lokale Stabilität dieses Fixpunktes. Hint: Berechne den Ableitungswert an diesem Punkt.Um die Teilübung zu lösen, gehen wir schrittweise vor:
• Bestimme den Fixpunkt \( x^* \) des Systems \( x_{n+1} = f(x_n) \) mit \( f(x) = x - x^3 \).
• Berechne die Ableitung von \( f(x) \) und überprüfe die Bedingung für die lokale Stabilität.
1. Bestimme den FixpunktEin Fixpunkt \( x^* \) ist ein Wert mit der Eigenschaft \( f(x^*) = x^* \). Wir setzen also \( f(x) = x \) und lösen die Gleichung:\[ x - x^3 = x \]Subtrahiere \( x \) von beiden Seiten:\[ x - x - x^3 = 0 \]\[ -x^3 = 0 \]\[ x^* = 0 \]Der Fixpunkt ist also \( x^* = 0 \).2. Berechne die Ableitung und überprüfe die lokale StabilitätDie lokale Stabilität eines Fixpunktes \( x^* \) wird analysiert, indem man die Ableitung der Funktion \( f(x) \) an diesem Punkt berechnet und überprüft, ob \( |f'(x^*)| < 1 \).Berechnen wir die Ableitung von \( f(x) \):\[ f(x) = x - x^3 \]\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x - x^3) \]\[ f'(x) = 1 - 3x^2 \]Setze nun den Fixpunkt \( x^* = 0 \) in die Ableitung ein:\[ f'(0) = 1 - 3(0)^2 \]\[ f'(0) = 1 \]Da \( |f'(0)| = 1 \), ist der Fixpunkt \( x^* = 0 \) nicht lokal stabil, weil die Bedingung \( |f'(x^*)| < 1 \) nicht erfüllt ist.Fazit:Der Fixpunkt des Systems \( x_{n+1} = x - x^3 \) ist \( x^* = 0 \). Allerding ist dieser Fixpunkt nicht lokal stabil, da die Bedingung \( |f'(x^*)| < 1 \) nicht erfüllt ist.

c)

Analysiere die globale Stabilität des gefundenen Fixpunkts. Argumentiere, ob das System für jede Anfangsbedingung \( x_0 \) innerhalb \([-1, 1]\) zum Fixpunkt \( x^* \) zurückkehren wird.

Lösung:

Stabilität und Existenz von Fixpunkten in nichtlinearen SystemenExistenz und Stabilität von Fixpunkten sind essenziell für das Verständnis nichtlinearer Systeme.

• Fixpunkt: Ein Punkt x^* mit der Eigenschaft, dass f(x^*) = x^*.
• Lokale Stabilität: Kleine Abweichungen von x^* kehren zu x^* zurück. Formell: \( |f'(x^*)|<1 \) im diskreten Fall oder Re(λ) < 0 bei kontinuierlichen Systemen.
• Globale Stabilität: Systeme kehren für jede Abweichung zu x^* zurück.
• Stabilitätsanalyse: Oft durch Linearisierung um Fixpunkt.
• Existenz: Oft durch den Satz von Banach (fixpunktbasierte Methoden).
Teilübung:Analysiere die globale Stabilität des gefundenen Fixpunkts. Argumentiere, ob das System für jede Anfangsbedingung \( x_0 \) innerhalb \([-1, 1]\) zum Fixpunkt \( x^* \) zurückkehren wird.Um die globale Stabilität des Fixpunkts \( x^* = 0 \) zu analysieren, prüfen wir das Verhalten der Trajektorien für alle Anfangsbedingungen \( x_0 \) im Intervall \([-1, 1]\). Dazu betrachten wir die Funktion \( f(x) = x - x^3 \) und ihre Eigenschaften innerhalb dieses Intervalls:
• Bestimme die Fixpunkte von \( f(x) \).
• Untersuche die Eigenschaften der Funktion \( f(x) \) im Intervall \([-1, 1]\).
1. Bestimme die FixpunkteWir wissen bereits, dass die Funktion \( f(x) = x - x^3 \) drei Fixpunkte im Intervall \([-1, 1]\) hat:\( x = -1 \), \( x = 0 \) und \( x = 1 \).2. Untersuche die Eigenschaften der Funktion \( f(x) \) im Intervall \([-1, 1]\)Wir berechnen die Ableitung von \( f(x) \), um das Verhalten der Funktion besser zu verstehen:\[f(x) = x - x^3\]\[f'(x) = 1 - 3x^2\]
• Für \( x = 0 \):\[ f'(0) = 1 - 3(0)^2 = 1 \]Da \(|f'(0)| = 1\) ist der Fixpunkt \( x = 0 \) nicht lokal stabil.
• Für \( x = 1 \):\[ f'(1) = 1 - 3(1)^2 = -2 \]Da \(|f'(1)| = 2\), ist der Fixpunkt \( x = 1 \) instabil.
• Für \( x = -1 \):\[ f'(-1) = 1 - 3(-1)^2 = -2 \]Da \(|f'(-1)| = 2\), ist der Fixpunkt \( x = -1 \) instabil.
Die Instabilität der Fixpunkte \( x = -1 \) und \( x = 1 \) bedeutet, dass, selbst wenn eine Trajektorie diese Punkte erreicht, sie dort nicht bleibt, sondern sich von diesen Punkten wegbewegen würde. Da der Fixpunkt \( x = 0 \) nicht lokal stabil ist, heißt das, dass wir für jede Anfangsbedingung innerhalb des Intervalls prüfen müssen, wie die Trajektorien verlaufen.3. Verlaufe der Trajektorien im Intervall \([-1, 1]\)Für jede Anfangsbedingung \( x_0 \) innerhalb \((-1, 1)\):
• Da \( |f'(0)| = 1 \), würden Trajektorien innerhalb des Intervalls in beiden Richtungen (positiv und negativ) verlaufen, und nicht unbedingt zum zentralen Fixpunkt \( x = 0 \) zurückkehren.Die Ableitung \( f'(x) = 1 - 3x^2 \) zeigt, dass die Trajektorien von \( x = 0 \) zu einer der beiden Randfixpunkte streben, abhängig davon, ob \( x_0 \) näher bei \( -1 \) oder \( 1 \) liegt. Dies zeigt, dass das System zum unfreiwilligen Kontrolle neigt oder sich abweicht.Fazit:Das diskrete nichtlineare System \( x_{n+1} = f(x_n) \) mit \( f(x) = x - x^3 \) ist nicht global stabil. Dies liegt daran, dass das System für jede Anfangsbedingung \( x_0 \) innerhalb \([-1, 1]\) nicht zwangsläufig zum Fixpunkt \( x^* = 0 \) zurückkehrt. Stattdessen streben die Trajektorien zu den Randfixpunkten \( x = -1 \) und \( x = 1 \), abhängig vom Startwert \( x_0 \).

  Aufgabe 4)

  Betrachte ein dynamisches System, das durch das folgende System gekoppelter Differentialgleichungen beschrieben wird:

  • \[\dot{x} = y\]
  • \[\dot{y} = -x - y^3\]
  Analysiere die Dynamik dieses Systems im Phasenraum und beantworte die folgenden Fragen:

  a)

  Finde die Fixpunkte des Systems. Bestimme die Koordinaten der Fixpunkte, indem Du die stationären Punkte der Differentialgleichungen \( \dot{x} = 0 \) und \( \dot{y} = 0 \) löst.

  Lösung:

  Um die Fixpunkte des Systems zu finden, müssen die stationären Punkte der Differentialgleichungen bestimmt werden, indem Du die Bedingungen \(\dot{x} = 0\) und \(\dot{y} = 0\) löst.

  • Gegeben:
    • \(\dot{x} = y\)
    • \(\dot{y} = -x - y^3\)

  1. Zuerst setzen wir die Gleichung \(\dot{x} = 0\):

  \[\dot{x} = y = 0\]

  2. Jetzt setzen wir die Gleichung \(\dot{y} = 0\):

  \[-x - y^3 = 0\]

  Da wir bereits wissen, dass \(y = 0\), folgt daraus:

  \[-x = 0\]

  \[x = 0\]

  3. Somit haben wir die Koordinaten der Fixpunkte:

  • Der Fixpunkt ist bei \((x = 0, y = 0)\).

  b)

  Untersuche die Stabilität der gefundenen Fixpunkte. Leite hierzu die Jacobi-Matrix des Systems ab und bestimme die Eigenwerte der Jacobi-Matrix an den Fixpunkten.

  Lösung:

  Um die Stabilität der gefundenen Fixpunkte zu untersuchen, müssen wir die Jacobi-Matrix des Systems ableiten und die Eigenwerte der Jacobi-Matrix an den Fixpunkten bestimmen.

  Gegeben:

  • \(\dot{x} = y\)
  • \(\dot{y} = -x - y^3\)

  Schritte zur Lösung:

  1. Jacobi-Matrix bestimmen: Die Jacobi-Matrix eines Systems von Differentialgleichungen ist definiert als: \[ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} \ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} \end{pmatrix} \] Leite die gegebenen Differentialgleichungen ab: \[ \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial x} = 0 \] \[ \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial y} = 1 \] \[ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} = \frac{\partial (-x - y^3)}{\partial x} = -1 \] \[ \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} = \frac{\partial (-x - y^3)}{\partial y} = -3y^2 \] Die Jacobi-Matrix lautet daher: \[ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & -3y^2 \end{pmatrix} \]
  2. Jacobi-Matrix am Fixpunkt bestimmen: Der einzige Fixpunkt, den wir gefunden haben, ist \((x, y) = (0, 0)\). Setze \(y = 0\) in die Jacobi-Matrix ein: \[ J_{(0,0)} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} \]
  3. Eigenwerte der Jacobi-Matrix bestimmen:Die Eigenwerte \(\lambda\) der Jacobi-Matrix \(J\) sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung: \[ \det(J - \lambda I) = 0 \] Berechnen der Determinante: \[ J - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \ -1 & -\lambda \end{pmatrix} \] Die Determinante dieser Matrix ist: \[ \det(\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \ -1 & -\lambda \end{pmatrix}) = (-\lambda)(-\lambda) - (1)(-1) = \lambda^2 + 1 \] Die charakteristische Gleichung lautet daher: \[ \lambda^2 + 1 = 0 \] Die Lösungen dieser Gleichung sind: \[ \lambda = \pm i \]
  4. Stabilität der Fixpunkte: Da die Eigenwerte rein imaginär sind, handelt es sich beim Fixpunkt \((0, 0)\) um ein Zentrum. Das bedeutet, der Fixpunkt ist neutral stabil (weder anziehend noch abstoßend).

  c)

  Skizziere das Phasenportrait des Systems im \( x \/ y \)-Raum. Zeichne die Trajektorien und zeige die Richtungen der zeitlichen Entwicklung der Zustände bei verschiedenen Anfangsbedingungen.

  Lösung:

  Um das Phasenportrait des Systems im \( x \/ y \)-Raum zu skizzieren, müssen die Trajektorien und die Richtungen der zeitlichen Entwicklung der Zustände bei verschiedenen Anfangsbedingungen dargestellt werden. Hier sind die Schritte dazu:

  1. Bestimme das System:Das dynamische System ist wie folgt gegeben:\[ \dot{x} = y \]\[ \dot{y} = -x - y^3 \]
  2. Identifiziere die Fixpunkte:Wir haben bereits berechnet, dass es einen einzigen Fixpunkt bei \((x, y) = (0, 0)\) gibt.
  3. Analyse der Stabilität:Der Fixpunkt \((0, 0)\) ist ein neutrales Zentrum, da die Eigenwerte der Jacobi-Matrix rein imaginär sind (\( \lambda = \pm i \)). Dies deutet darauf hin, dass die Trajektorien elliptisch sind und um den Fixpunkt zirkulieren.
  4. Skizziere das Phasenportrait:Erstelle eine Skizze des \( x \/ y \)-Raums und folge diesen Schritten:
  • Achsen zeichnen:Beschrifte die x- und y-Achsen.
  • Fixpunkt markieren:Markiere den Fixpunkt \((0, 0)\).
  • Trajektorien einzeichnen:Zeichne mehrere elliptische Bahnen um den Fixpunkt herum.
  • Richtung der Bewegung zeigen:Zeichne Pfeile auf den Bahnen, die die Richtung der zeitlichen Entwicklung der Zustände zeigen (gegen den Uhrzeigersinn aufgrund der Struktur der Differentialgleichung).

  Hier ist eine textuelle Darstellung des Phasenportraits:

   +-----------------------+  |         *             |  |       * (0,0) *       |  |     *        ->  *    |  |    *           -> *   |  |    *  <-<-<-<-<-  *   |  |     *           *     |  |       *      *        |  |         *  *          |  +-----------------------+ 

  Die tatsächlichen Bahnen sind vor allem nahe des Fixpunkts zu berücksichtigen, wobei zu einer elliptischen Verteilung rotiert wird. In realen Diagrammen wird das Phasenportrait auf einem Koordinatensystem gezeichnet unter Verwendung von Software wie MATLAB, Python (Matplotlib) oder anderen mathematischen Werkzeugen.

  d)

  Diskutiere die möglichen nichtlinearen Effekte des Systems. Erwäge die Entstehung von Limit-Zyklen oder chaotischem Verhalten aufgrund der nichtlinearen Terme im System.

  Lösung:

  Um die möglichen nichtlinearen Effekte des Systems zu diskutieren, betrachten wir das dynamische System, das durch die Differentialgleichungen gegeben ist:

  • \[ \dot{x} = y \]
  • \[ \dot{y} = -x - y^3 \]

  Dieses System enthält einen nichtlinearen Term \(-y^3\) in der Gleichung für \(\dot{y}\). Wir werden untersuchen, ob dieser nichtlineare Term zu Phänomenen wie Limit-Zyklen oder chaotischem Verhalten führen kann.

  1. Fixpunkte und lineare Stabilität: Wie bereits berechnet, hat das System einen Fixpunkt bei \((0, 0)\). Die lineare Stabilitätsanalyse zeigt, dass dieser Fixpunkt ein neutrales Zentrum ist.

  2. Nichtlineare Effekte: Um die Auswirkungen des nichtlinearen Terms zu verstehen, analysieren wir das Verhalten des Systems für größere Werte von \(|y|\). Dabei betrachten wir die beiden möglichen nichtlinearen Effekte:

  • Limit-Zyklen: Limit-Zyklen sind isolierte geschlossene Trajektorien im Phasenraum, die von anderen Trajektorien weder geschnitten noch durchlaufen werden. Um zu zeigen, dass das System Limit-Zyklen aufweist oder nicht aufweist, könnten Methoden wie das Poincaré-Bendixson-Theorem angewendet werden. Da der kubische Term \(-y^3\) das System dämpft, könnte dies dazu führen, dass Energie aus dem System entfernt wird. Dies würde jedoch auch lediglich eine Dämpfung und keinen Energiegewinn bedeuten, was limitierte Zyklen stabil machen könnte.
  • Chaotisches Verhalten: Chaotisches Verhalten tritt üblicherweise in Systemen mit höherer Dimensionalität auf (meist mindestens dreidimensional), bei denen nichtlineare Wechselwirkungen zur Sensitivität gegenüber Anfangsbedingungen führen. In unserem zweidimensionalen System gibt es keine Hinweise auf die typischen Voraussetzungen für chaotisches Verhalten. Der kubische Dämpfungsterm (\(-y^3\)) tendiert eher zur Stabilisierung der Trajektorien als zur Förderung von Chaos.

  3. Simulation und numerische Analyse: Zur weiteren Untersuchung der nichtlinearen Effekte kann eine numerische Simulation des Systems durchgeführt werden. Dabei könnten verschiedene Anfangsbedingungen gewählt werden, um das langfristige Verhalten der Trajektorien zu beobachten.

  Fazit:

  • Limit-Zyklen: Aufgrund des nichtlinearen Dämpfungsterms sind Limit-Zyklen möglich, wobei eine tiefere mathematische Analyse erforderlich wäre, um ihr Vorhandensein zu bestätigen.

  • Chaotisches Verhalten: Aufgrund der Dimensionalität und Struktur des Systems ist chaotisches Verhalten unwahrscheinlich. Der nichtlineare Term stabilisiert das System eher, als dass er chaotisches Verhalten fördert.