Mikroökonomie - Exam

Aufgabe 1)

Die Beziehung zwischen Preis und angebotener bzw. nachgefragter Menge eines Gutes wird durch die Angebots- und Nachfragekurven veranschaulicht. Die Angebotskurve zeigt, wie viel von einem Gut bei unterschiedlichen Preisen angeboten wird, und steigt in der Regel bei steigendem Preis. Die Nachfragekurve zeigt, wie viel von einem Gut bei unterschiedlichen Preisen nachgefragt wird, und fällt in der Regel bei steigendem Preis. Der Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge ergeben sich aus dem Schnittpunkt von Angebots- und Nachfragekurve. Verschiebungen dieser Kurven können durch externe Faktoren wie Einkommen oder Produktionskosten verursacht werden.

Betrachte ein Marktmodell, bei dem die Angebots- und Nachfragekurven durch die folgenden Formeln beschrieben werden:Angebot: Q_S = 2P - 10Nachfrage: Q_D = 50 - P.

a)

a) Bestimme den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge mathematisch. Zeige jeden deiner Rechenschritte.

Lösung:

Um den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge mathematisch zu bestimmen, setzen wir die Formeln für Angebot (\textit{Q_S}) und Nachfrage (\textit{Q_D}) gleich und lösen nach dem Preis (\textit{P}) auf:

• Angebot: Q_S = 2P - 10
• Nachfrage: Q_D = 50 - P

Im Gleichgewichtspunkt gilt: Q_S = Q_D

Daher setzen wir die beiden Gleichungen gleich:

2P - 10 = 50 - P

Nun lösen wir für P:

2P - 10 = 50 - P2P + P = 50 + 103P = 60P = 60 / 3P = 20

Der Gleichgewichtspreis beträgt also 20 Einheiten.

Um die Gleichgewichtsmenge zu finden, setzen wir den Gleichgewichtspreis P in eine der beiden Gleichungen (Angebot oder Nachfrage) ein. Wir verwenden hier die Nachfragegleichung:

Q_D = 50 - PQ_D = 50 - 20Q_D = 30

Die Gleichgewichtsmenge beträgt also 30 Einheiten.

Zusammengefasst: Der Gleichgewichtspreis beträgt 20 Einheiten und die Gleichgewichtsmenge beträgt 30 Einheiten.

Aufgabe 2)

Marktgleichgewicht und Preismechanismen

Marktgleichgewicht tritt ein, wenn Angebot und Nachfrage im Gleichgewicht sind; der Preismechanismus sorgt für eine Anpassung von Preisen, bis dieses Gleichgewicht erreicht ist. Impliziere, dass das Marktangebot von Smartphones durch die Gleichung O(p) = 100 + 10p gegeben ist, wobei p der Preis in Euro ist, und die Marktnachfrage durch die Gleichung N(p) = 300 - 5p beschrieben wird.

a)

a) Berechne den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge für diesen Markt.

Lösung:

Um den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge zu berechnen, müssen wir das Marktangebot und die Marktnachfrage gleichsetzen und nach dem Preis p lösen:

• Angebotsfunktion: O(p) = 100 + 10p
• Nachfragefunktion: N(p) = 300 - 5p

Im Gleichgewicht gilt: O(p) = N(p)

Das bedeutet:

• 100 + 10p = 300 - 5p

Um den Preis p zu finden, lösen wir diese Gleichung:

Schritt 1: Alle p-Terme auf eine Seite und konstante Terme auf die andere Seite verschieben:

• 100 + 10p + 5p = 300
• 15p = 300 - 100
• 15p = 200

Schritt 2: Durch 15 teilen, um p zu isolieren:

• p = \frac{200}{15}
• p ≈ 13.33 Euro

Nun setzen wir den Gleichgewichtspreis in eine der beiden Gleichungen ein (Angebots- oder Nachfragefunktion), um die Gleichgewichtsmenge zu berechnen. Wir verwenden hier die Angebotsfunktion:

• O(p) = 100 + 10p

Setze p = 13.33 ein:

• O(13.33) = 100 + 10 \times 13.33
• O(13.33) = 100 + 133.33
• O(13.33) = 233.33

Die Gleichgewichtsmenge beträgt ca. 233,33 Einheiten. Damit ergibt sich:

• Gleichgewichtspreis: 13.33 Euro
• Gleichgewichtsmenge: 233.33 Einheiten

c)

c) Betrachte den Fall, dass ein Preisdeckel von 20 Euro pro Smartphone eingeführt wird. Welche Folgen hat dies für den Markt? Bestimme die resultierende Angebots- und Nachfragemenge.

Lösung:

Ein Preisdeckel von 20 Euro pro Smartphone bedeutet, dass der Preis nicht höher als 20 Euro pro Einheit sein darf. Um die Folgen dieses Preisdeckels auf den Markt zu analysieren, setzen wir den Preis p = 20 in die Angebots- und Nachfragefunktionen ein.

1. Angebotsmenge:

• Angebotsfunktion: O(p) = 100 + 10p
• Setze p = 20 ein:
• O(20) = 100 + 10 × 20
• O(20) = 100 + 200
• O(20) = 300

Die Angebotsmenge beträgt also 300 Einheiten.

2. Nachfragemenge:

• Nachfragefunktion: N(p) = 300 - 5p
• Setze p = 20 ein:
• N(20) = 300 - 5 × 20
• N(20) = 300 - 100
• N(20) = 200

Die Nachfragemenge beträgt also 200 Einheiten.

Ergebnisse und Konsequenzen: Da die Angebotsmenge (300 Einheiten) höher ist als die Nachfragemenge (200 Einheiten) bei einem Preis von 20 Euro, entsteht ein Überschuss. Dies bedeutet, dass das Angebot an Smartphones die Nachfrage bei diesem Preis übersteigt. Solche Marktbedingungen können zu folgenden Konsequenzen führen:

• Anbieter könnten unverkaufte Bestände haben.
• Es könnte zu einer Qualitätsreduktion bei den Smartphones kommen, da Anbieter versuchen könnten, Kosten zu senken.
• In seltenen Fällen könnten Schwarzmärkte entstehen, um die überschüssigen Einheiten zu höheren Preisen zu verkaufen.

Zusammenfassend:

• Preisdeckel: 20 Euro pro Smartphone
• Resultierende Angebotsmenge: 300 Einheiten
• Resultierende Nachfragemenge: 200 Einheiten
• Marktüberschuss: 100 Einheiten

d)

d) Diskutiere, warum in einem freien Markt der Preismechanismus generell dazu führt, dass ein Ungleichgewicht beseitigt wird. Gehe dabei auch auf mögliche Marktstörungen ein, wie zum Beispiel durch staatliche Eingriffe (Steuern, Subventionen) oder externe Effekte.

Lösung:

Der Preismechanismus spielt in einem freien Markt eine zentrale Rolle bei der Beseitigung von Ungleichgewichten zwischen Angebot und Nachfrage. Hier sind einige Hauptgründe, warum der Preismechanismus effektiv funktioniert:

1. Anpassung von Preisen: Wenn es ein Überangebot gibt (Angebot > Nachfrage), neigen die Preise dazu, zu fallen. Dies ermutigt die Nachfrager, mehr zu kaufen, und dem Anbieter, weniger zu produzieren. Umgekehrt, wenn die Nachfrage das Angebot übersteigt (Nachfrage > Angebot), steigen die Preise, was die Nachfrage senkt und das Angebot erhöht. Diese Preisanpassungen führen dazu, dass sich der Markt automatisch auf ein neues Gleichgewicht zu bewegt.

2. Signalwirkung der Preise: Preise signalisieren den Produzenten und Verbrauchern, welche Waren und Dienstleistungen knapp oder im Überfluss vorhanden sind. Dies führt zu einer effizienten Allokation der Ressourcen, indem die Herstellung der gefragten Produkte steigt und die nicht gefragten Produkte sinkt.

3. Flexibilität der Marktteilnehmer: In einem freien Markt sind die Anbieter und Nachfrager flexibel und passen ihr Verhalten an die sich ändernden Preise an. Dies bedeutet, dass sie schnell auf Marktveränderungen reagieren können.

Dennoch gibt es verschiedene Faktoren, die den Preismechanismus stören können und zu Marktungleichgewichten führen:

Staatliche Eingriffe:

• Steuern: Steuern können das Gleichgewicht verzerren, indem sie die Kosten für Produzenten und die Preise für Konsumenten erhöhen. Beispiel: Eine Steuer auf Smartphones kann die Angebotskurve nach links verschieben, wodurch die Preise steigen und die Gleichgewichtsmenge sinkt.
• Subventionen: Subventionen können ebenfalls das Marktgleichgewicht verändern. Eine Subvention für die Produktion von Smartphones könnte die Angebotskurve nach rechts verschieben, was zu niedrigeren Preisen und höheren Gleichgewichtsmengen führt.
• Preisobergrenzen: Preisobergrenzen, wie im vorherigen Beispiel besprochen, können dazu führen, dass die Nachfrage das Angebot übersteigt, was zu Knappheit und möglicherweise zu Schwarzmarktaktivitäten führt.
• Preisböden: Preisböden können Überangebote schaffen, da die Anbieter mehr produzieren, als die Konsumenten zu den höheren Preisen kaufen möchten.

Externe Effekte:

• Negative externe Effekte: Kosten, die durch die Produktion oder den Konsum entstehen und nicht vom Verursacher getragen werden, wie Umweltverschmutzung. Dies führt oft zu einer Überproduktion, da die sozialen Kosten höher sind als die privaten Kosten.
• Positive externe Effekte: Vorteile, die durch die Produktion oder den Konsum entstehen und nicht vom Verursacher internalisiert werden, wie Impfungen. Dies führt oft zu einer Unterproduktion, da die sozialen Vorteile höher sind als die privaten Vorteile.

Informationsasymmetrien: Wenn eine Marktseite (Anbieter oder Nachfrager) mehr oder bessere Informationen hat als die andere, kann dies zu ineffizienten Entscheidungen führen und den Preismechanismus stören.

Zusammenfassend ist der Preismechanismus in einem freien Markt ein wirksames Mittel zur Beseitigung von Ungleichgewichten zwischen Angebot und Nachfrage. Staatliche Eingriffe und externe Effekte können jedoch den Preismechanismus stören und Marktungleichgewichte verursachen.

Aufgabe 3)

Ein Konsument steht vor der Entscheidung, zwei Güter (Güter x und y) zu konsumieren, um seinen Nutzen zu maximieren. Die Nutzenfunktion U(x, y) gibt den Grad des Zufriedenseins mit einer Kombination aus x und y an. Der Konsument hat ein Einkommen von I Euro und die Preise der Güter betragen p_x Euro pro Einheit von Gut x und p_y Euro pro Einheit von Gut y. Die Budgetbeschränkung lautet daher: p_x * x + p_y * y = I. Um seine Nutzenmaximierung unter dieser Budgetbeschränkung zu lösen, kann der Konsument die Lagrange Methode verwenden. Der Lagrange Ausdruck lautet dann: L = U(x, y) - λ(p_x * x + p_y * y - I).

b)

(b) Verifiziere die Optimalitätsbedingung der Lösung aus Teil (a) durch Anwendung der Lagrange-Methode. Finde die Partiellen Ableitungen und setze diese gleich Null, um die Bedingungen für ein Maximum abzuleiten.

Lösung:

(b) Um die Optimalitätsbedingung der Lösung aus Teil (a) zu verifizieren, wenden wir die Lagrange-Methode an und berechnen die partiellen Ableitungen:

• 1. Lagrange-Funktion
  • Die Lagrange-Funktion lautet:

    L = x^{0.5} * y^{0.5} - \lambda (4x + 5y - 100)

• 2. Partiellen Ableitungen berechnen
  • Partielle Ableitung von L nach x:

    \frac{\partial L}{\partial x} = 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} - 4\lambda

  • Partielle Ableitung von L nach y:

    \frac{\partial L}{\partial y} = 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} - 5\lambda

  • Partielle Ableitung von L nach \lambda:

    \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(4x + 5y - 100)

• 3. Bedingungen für ein Maximum
  • Setze die partiellen Ableitungen gleich Null, um die Bedingungen für ein Maximum abzuleiten:
  • \frac{\partial L}{\partial x} = 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} - 4\lambda = 0 \Rightarrow 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} = 4\lambda
  • \frac{\partial L}{\partial y} = 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} - 5\lambda = 0 \Rightarrow 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} = 5\lambda
  • \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(4x + 5y - 100) = 0 \Rightarrow 4x + 5y = 100
• 4. Gleichungssystem lösen
  • Die Bedingungen 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} = 4\lambda und 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} = 5\lambda können wir zu einer Gleichung zusammenfassen:

    \frac{(0.5 y^{0.5}) / x^{0.5}}{(0.5 x^{0.5}) / y^{0.5}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{4}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5}x

  • Setzt y in die Budgetbeschränkung ein:

    4x + 5\left(\frac{4}{5}x\right) = 100

    erhalten wir:

    4x + 4x = 100 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12.5

  • Mit y = \frac{4}{5}x ergibt sich:

    y = \frac{4}{5} * 12.5 = 10

Die Lösung aus Teil (a) mit 12.5 Einheiten von Gut x und 10 Einheiten von Gut y entspricht den Optimalitätsbedingungen der Lagrange-Methode.

c)

(c) Diskutiere, wie sich eine Preisänderung von Gut y auf die Entscheidung des Konsumenten auswirken würde. Berechne insbesondere die neuen Konsummengen von x und y, wenn p_y auf 6 Euro steigt, während alle anderen Bedingungen gleich bleiben.

Lösung:

(c) Um zu diskutieren, wie sich eine Preisänderung von Gut y auf die Entscheidung des Konsumenten auswirken würde, berechnen wir die neuen Konsummengen von x und y, wenn der Preis von Gut y (p_y) auf 6 Euro steigt, während alle anderen Bedingungen gleich bleiben.

• 1. Neue Budgetbeschränkung
  • Neue Budgetbeschränkung bei p_y = 6 Euro:

    4x + 6y = 100

• 2. Lagrange-Funktion aufstellen
  • Der Lagrange-Ausdruck lautet jetzt:

    L = x^{0.5} * y^{0.5} - \lambda (4x + 6y - 100)

• 3. Partiellen Ableitungen berechnen
  • Partielle Ableitung von L nach x:

    \frac{\partial L}{\partial x} = 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} - 4\lambda = 0

  • Partielle Ableitung von L nach y:

    \frac{\partial L}{\partial y} = 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} - 6\lambda = 0

  • Partielle Ableitung von L nach \lambda:

    \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(4x + 6y - 100) = 0

• 4. Bedingungen für ein Maximum
  • Setze die partiellen Ableitungen gleich Null, um die Bedingungen für ein Maximum abzuleiten:
  • \frac{\partial L}{\partial x} = 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} - 4\lambda = 0 \Rightarrow 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} = 4\lambda
  • \frac{\partial L}{\partial y} = 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} - 6\lambda = 0 \Rightarrow 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} = 6\lambda
  • \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(4x + 6y - 100) = 0 \Rightarrow 4x + 6y = 100
• 5. Gleichungssystem lösen
  • Die Bedingungen 0.5 x^{-0.5} * y^{0.5} = 4\lambda und 0.5 y^{-0.5} * x^{0.5} = 6\lambda können wir zu einer Gleichung zusammenfassen:

    \frac{(0.5 y^{0.5}) / x^{0.5}}{(0.5 x^{0.5}) / y^{0.5}} = \frac{4}{6} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow y = \frac{2}{3}x

  • Setzt y in die neue Budgetbeschränkung ein:

    4x + 6\left(\frac{2}{3}x\right) = 100

    erhalten wir:

    4x + 4x = 100 \Rightarrow 8x = 100 \Rightarrow x = 12.5

  • Mit y = \frac{2}{3}x ergibt sich:

    y = \frac{2}{3} * 12.5 = 8.33

Falls der Preis von Gut y auf 6 Euro steigt, sollte der Konsument 12,5 Einheiten von Gut x und etwa 8,33 Einheiten von Gut y konsumieren.

Eine Preisänderung von Gut y führt dazu, dass der Konsument weniger von Gut y und die gleiche Menge von Gut x konsumiert, da sich die relative Kosten zueinander ändert und der Konsument bei begrenztem Budget die optimale Konsumkombination sucht.

Aufgabe 4)

In einem Unternehmen werden zwei Inputfaktoren, Arbeit (x1) und Kapital (x2), verwendet, um Produktmenge q zu produzieren. Die Produktionsfunktion lautet: \[ q = x_1^{0.5} x_2^{0.5} \] Dabei betragen die Fixkosten (FC) 100 Geldeinheiten, und die variablen Kosten (VC) sind proportional zur Outputmenge, mit einem Kostensatz von 5 Geldeinheiten pro produzierter Einheit. a) Berechne das Grenzprodukt des Inputfaktors Arbeit (x1), wenn der Kapitalinput (x2) konstant bei 16 Einheiten gehalten wird. b) Berechne die Durchschnittskosten (ATC) und die Grenzkosten (MC) der Produktion für eine Outputmenge von 25 Einheiten.

a)

Berechne das Grenzprodukt des Inputfaktors Arbeit (x1), wenn der Kapitalinput (x2) konstant bei 16 Einheiten gehalten wird. Zur Berechnung des Grenzproduktes des Inputfaktors Arbeit (MP1) nutzt Du die folgende Formel: \[ MP_1 = \frac{\partial q}{\partial x_1} \] Setze nun \[ x_2 = 16 \] und leite die Produktionsfunktion ab.

Lösung:

• Um das Grenzprodukt des Inputfaktors Arbeit (\(MP_1\)) zu berechnen, benutzen wir die Produktionsfunktion:

 q = x_1^{0.5} x_2^{0.5} 

 MP_1 = \frac{\partial q}{\partial x_1} 

 q = x_1^{0.5} \times 16^{0.5} q = x_1^{0.5} \times 4 q = 4x_1^{0.5} 

 \frac{\partial q}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} (4x_1^{0.5}) = 4 \times 0.5 \times x_1^{(0.5 - 1)} = 2x_1^{-0.5} 

 MP_1 = 2x_1^{-0.5} = \frac{2}{\sqrt{x_1}} 

b)

Berechne die Durchschnittskosten (ATC) und die Grenzkosten (MC) der Produktion für eine Outputmenge von 25 Einheiten. Nutze die gegebene Kostenfunktion: \[ C(q) = FC + VC(q) \] Für die Durchschnittskosten (ATC) gilt: \[ ATC(q) = \frac{C(q)}{q} \] Für die Grenzkosten (MC) gilt: \[ MC(q) = \frac{dC(q)}{dq} \] Berechne die Durchschnittskosten und Grenzkosten für \[ q = 25 \] Einheiten.

Lösung:

• Um die Durchschnittskosten (ATC) und die Grenzkosten (MC) der Produktion zu berechnen, nutzen wir die gegebene Kostenfunktion:

 C(q) = FC + VC(q) 

 VC(q) = 5q 

 C(q) = 100 + 5q 

 ATC(q) = \frac{C(q)}{q} 

 C(25) = 100 + 5 \times 25 = 100 + 125 = 225 

 ATC(25) = \frac{225}{25} = 9 

 MC(q) = \frac{dC(q)}{dq} 

 \frac{dC(q)}{dq} = \frac{d(100 + 5q)}{dq} = 5 

 MC(q) = 5 

• Durchschnittskosten (ATC): 9 Geldeinheiten
• Grenzkosten (MC): 5 Geldeinheiten