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Alle Lernmaterialien für deinen Kurs Partielle Differentialgleichungen II

Egal, ob Zusammenfassung, Altklausur, Karteikarten oder Mitschriften - hier findest du alles für den Studiengang Bachelor of Science Mathematik

Karteikarten Zusammenfassungen Altklausuren Test Forum

Universität Erlangen-Nürnberg

Bachelor of Science Mathematik

Prof. Dr.

2024

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Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet
Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet Fourier-Transformation: Definition, Eigenschaften und Anwendung Definition: Fourier-Transformation: Methode zur Umwandlung einer Funktion vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Details: Definition: \(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx\) Inverse: \(f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi...

Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet

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Partielle Differentialgleichungen II - Exam
Partielle Differentialgleichungen II - Exam Aufgabe 1) Fourier-Transformation und Signalanalyse Die Fourier-Transformation ist ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik und Signalverarbeitung, welches es erlaubt, Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich zu transformieren. Betrachte die Funktion f(x) , deren Fourier-Transformierte \hat{f}(\xi) ist, definiert durch: Definition: \[ \hat{f}(\x...

Partielle Differentialgleichungen II - Exam

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Wie lautet die Definition der Fourier-Transformation?

Welche Eigenschaft hat die Fourier-Transformation hinsichtlich der Linearity?

Welche Anwendungen hat die Fourier-Transformation?

Was ist die Definition der Laplace-Transformation?

Was ist die Inversion der Laplace-Transformation?

Nennen Sie eine Anwendung der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik.

Was ist der Zweck der Charakteristikenmethode in der Mathematik?

Welche allgemeine Form hat eine hyperbolische partielle Differentialgleichung (zweiter Ordnung)?

Wie lautet die allgemeine Form einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in der Charakteristikenmethode?

Was sind Differentialoperatoren höherer Ordnung?

Wie wird ein Differentialoperator höherer Ordnung typischerweise notiert?

Nenne eine typische Anwendung von Differentialoperatoren höherer Ordnung.

Was sind nichtlineare partielle Differentialgleichungen (NPDEs)?

Welche Methoden gehören zu den Festpunktmethoden zur Lösung von NPDEs?

Wozu dient die Linearisierung in der Stabilitätsanalyse von NPDEs?

Was beschreiben Eigenwerte und Eigenfunktionen bei Differentialoperatoren?

Welches Problem beschreibt die Gleichung \( L u = \lambda u \) in Bezug auf Differentialoperatoren?

Welche Theorie behandelt spezielle Eigenwertprobleme?

Was beschreibt die Finite-Elemente-Methode (FEM) in der Strukturmechanik?

Welche Form sucht die Lösung der PDE im Sinne der Variationsrechnung?

Welche sind die Schritte bei der Anwendung der FEM?

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Diese Konzepte musst du verstehen, um Partielle Differentialgleichungen II an der Universität Erlangen-Nürnberg zu meistern:

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Fourier- und Laplace-Transformation

Diese Techniken sind unerlässlich für die Lösung und Analyse von Differentialgleichungen. Beide Transformationen werden detailliert behandelt, einschließlich ihrer Anwendungen und Inversion.

  • Fourier-Transformation: Definition und Eigenschaften
  • Laplace-Transformation: Konzepte und Anwendungen
  • Inversion der Fourier- und Laplace-Transformation
  • Anwendungen in der Signalverarbeitung
  • Verwendung zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen
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Charakteristikenmethode

Die Charakteristikenmethode wird zur Lösung hyperbolischer partieller Differentialgleichungen verwendet. Sie beinhaltet das Verständnis von Charakteristiken und deren Nutzung zur Lösung dieser Gleichungen.

  • Grundlagen der Charakteristikenmethode
  • Anwendung auf hyperbolische Gleichungen
  • Lösen von Anfangswert- und Randwertproblemen
  • Visualisierung von Charakteristiken
  • Beispiele und Übungsaufgaben zur Vertiefung
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Differentialoperatoren höherer Ordnung

Es werden Differentialoperatoren höherer Ordnung untersucht, ihre Bedeutung und Anwendung in verschiedenen Kontexten. Der Fokus liegt auf der Theorie und praxisnahen Beispielen.

  • Definition und Eigenschaften von Differentialoperatoren
  • Beispiele für Operatoren höherer Ordnung
  • Eigenwerte und Eigenfunktionen
  • Anwendungen in physikalischen Modellen
  • Numerische Methoden zur Lösung
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Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare partielle Differentialgleichungen sind komplex und erfordern spezielle Techniken. Dieser Abschnitt behandelt verschiedene Methoden zur Lösung und Analyse solcher Gleichungen.

  • Einführung in nichtlineare partielle Differentialgleichungen
  • Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen
  • Stabilität und Existenz von Lösungen
  • Beispiele aus der realen Welt
  • Numerische Ansätze zur Näherungslösung
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Anwendungen in Physik und Technik

Die in dieser Vorlesung erlernten Konzepte werden auf Problembereiche in der Physik und Technik angewendet. Dies zeigt die praktische Relevanz der mathematischen Theorien.

  • Anwendung auf Wärmeleitungsgleichung
  • Maxwellsche Gleichungen in der Elektrodynamik
  • Schwingungsgleichungen in der Mechanik
  • Strömungsdynamik und Navier-Stokes-Gleichungen
  • FEM (Finite-Elemente-Methode) in der Strukturmechanik
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Alles Wichtige zu diesem Kurs an der Universität Erlangen-Nürnberg

Partielle Differentialgleichungen II an Universität Erlangen-Nürnberg - Überblick

Die Vorlesung 'Partielle Differentialgleichungen II' ist ein zentraler Bestandteil des Mathematikstudiums an der Universität Erlangen-Nürnberg. Diese Veranstaltung baut auf den grundlegenden Konzepten der partiellen Differentialgleichungen auf und vertieft das Verständnis durch anspruchsvollere Themen und Anwendungen. Durch regelmäßige Übungen werden die theoretischen Inhalte gefestigt und angewendet. Die Teilnahme an dieser Vorlesung findet im Wintersemester statt und endet mit einer schriftlichen Prüfung zur Überprüfung Deines Wissens.

Wichtige Informationen zur Kursorganisation

Kursleiter: Prof. Dr.

Studienleistungen: Die Überprüfung der Kenntnisse erfolgt durch eine schriftliche Prüfung am Ende des Semesters.

Angebotstermine: Die Vorlesung wird im Wintersemester angeboten.

Curriculum-Highlights: Fourier- und Laplace-Transformation, Charakteristikenmethode, Differentialoperatoren höherer Ordnung, Nichtlineare Gleichungen, Anwendungen in Physik und Technik

So bereitest Du Dich optimal auf die Prüfung vor

Beginne frühzeitig mit dem Lernen, idealerweise schon zu Beginn des Semesters, um Dir die nötige theoretische Basis anzueignen.

Nutze verschiedene Ressourcen, wie Bücher, Übungsaufgaben, Karteikarten und Probeklausuren, um dein Wissen zu vertiefen.

Schließe Dich Lerngruppen an und tausche Dich mit anderen Studierenden aus, um gemeinsam Lösungsstrategien zu entwickeln.

Vergiss nicht, regelmäßige Pausen einzulegen und in diesen Zeiten komplett abzuschalten, um eine Überbelastung zu vermeiden.

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