Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet

Fourier-Transformation: Definition, Eigenschaften und Anwendung

Definition:

Fourier-Transformation: Methode zur Umwandlung einer Funktion vom Zeitbereich in den Frequenzbereich.

Details:

• Definition: \(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx\)
• Inverse: \(f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi\)
• Linearität: \(\mathcal{F}\{af + bg\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\}\)
• Verschiebung: \(\mathcal{F}\{f(x-a)\} = e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\)
• Skalierung: \(\mathcal{F}\{f(ax)\} = \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right)\)
• Gegenstandsbereich: Signalverarbeitung, Lösung partieller Differentialgleichungen
• Spektrum einer Funktion analysieren, Filterung, Signale glätten

Laplace-Transformation: Konzepte, Inversion und Anwendungen

Definition:

Laplace-Transformation: Umwandlung von Zeitbereichsfunktion in Frequenzbereich, wichtig für Lösung von DGLs.

Details:

• Definition: \( \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = F(s) \)
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebung, Skalierung
• Inversion: \( \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)
• Anwendungen: Lösung partieller Differentialgleichungen, elektrische Netzwerke, Regelungstechnik
• Beispiele: \( \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a} \), \( \mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2+b^2} \)

Charakteristikenmethode zur Lösung hyperbolischer partieller Differentialgleichungen

Definition:

Charakteristikenmethode dient zur Lösung von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen (PDEs) durch Reduktion auf gewöhnliche Differentialgleichungen entlang von Charakteristiken.

Details:

• Hyperbolische PDEs: 2. Ordnung, typische Form: \[ u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0 \]
• Charakteristikengleichungen: ableiten, um PDE in ODEs umzuwandeln
• Charakteristiken sind Kurven, entlang derer die PDE gelöst wird
• Erste Ordnung: allgemeine Form \[ a(x,t) u_x + b(x,t) u_t = c(x,t) \]
• Vorgehen: Bestimme die Kurven \[ \frac{dx}{ds} = a(x,t) \quad \frac{dt}{ds} = b(x,t) \quad \frac{du}{ds} = c(x,t) \]
• Integration entlang dieser Charakteristiken
• Explizites Beispiel: \[ u_t + cu_x = 0 \rightarrow \begin{cases} \frac{dt}{ds} = 1, \quad \frac{dx}{ds} = c, \quad \frac{du}{ds} = 0 \end{cases} \]

Differentialoperatoren höherer Ordnung: Definition, Eigenschaften und Anwendungen

Definition:

Differentialoperatoren höherer Ordnung sind Operatoren, die auf Differentiation basieren und höhere Ableitungen einer Funktion umfassen.

Details:

• Notation: Ein Differentialoperator höherer Ordnung wird typischerweise als \(\frac{d^n}{dx^n}\) oder \(D^n\) bezeichnet.
• Lineare Differentialoperatoren: \(L = \sum_{i=0}^n a_i(x)D^i\), wobei \(D^i\) die i-te Ableitung ist.
• Eigenschaften: Lineare, homogener, und inhomogener Operatoren, Kommutativität, Formblatt
• Anwendungen: Physik (Wellengleichung, Wärmeleitung), Ingenieurwesen (Strukturmechanik), Finanzen (Black-Scholes-Gleichung).

Nichtlineare partielle Differentialgleichungen: Methoden und Stabilität

Definition:

Methoden zur Lösung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (NPDEs) und deren Stabilitätsanalyse.

Details:

• NPDEs: PDEs, bei denen der Operator oder das Problem nichtlinear ist.
• Methoden:
• Festpunktmethoden: Schauder, Banach
• Variationelle Methoden: Schwache Lösungen
• Numerische Verfahren: Finite Elemente, Finite Differenzen
• Stabilität: Beständigkeit der Lösung unter kleinen Störungen der Anfangsdaten.
• Linearisierung: Linearisierung um stationäre Lösungen zur Analyse der Stabilität.
• Lyapunov-Methoden: Direkter und indirekter Lyapunov-Ansatz.

Eigenwerte und Eigenfunktionen bei Differentialoperatoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenfunktionen beschreiben die Skalierungseigenschaften und spezifischen Lösungen von Differentialoperatoren.

Details:

• Eigenwertproblem: \( L u = \lambda u \) mit Differentialoperator \( L \), Eigenwert \( \lambda \), Eigenfunktion \( u \)
• Grenzbedingungen: notwendig für eindeutige Lösungen
• Typische Operatoren: Laplace-Operator \( \Delta \), Schrödinger-Operator
• Spektrum: Menge aller Eigenwerte \( \{ \lambda_1, \lambda_2, \dots \} \)
• Sturm-Liouville-Theorie: behandelt spezielle Eigenwertprobleme

Numerische Methoden zur Lösung von PDEs (mit Fokus auf FEM in der Strukturmechanik)

Definition:

Lösemethoden für partielle Differentialgleichungen (PDEs) mithilfe numerischer Verfahren, insbesondere der Finite-Elemente-Methode (FEM) in der Strukturmechanik.

Details:

• PDEs beschreiben viele physikalische Probleme (Wärmeleitung, Elastizität, etc.).
• FEM: Diskretisierung mittels Elementen und Knoten, Umwandlung der PDE in ein algebraisches Gleichungssystem.
• Starke Form: PDE direkt lösen
• Schwache Form: Lösung gesucht im Sinne der Variationsrechnung
• Schritte bei FEM:
• Diskretisierung des Gebiets in Elemente
• Auswahl von Ansatzfunktionen (Basisfunktionen)
• Aufstellung des Gleichungssystems (Assemblierung)
• Lösen des Gleichungssystems
• Wichtige Begriffe: Steifigkeitsmatrix, Lastvektor, Randbedingungen
• Anwendung in der Strukturmechanik: Analyse von Spannungen und Deformationen in festen Körpern.