Partielle Differentialgleichungen II - Exam

Aufgabe 1)

Fourier-Transformation und Signalanalyse Die Fourier-Transformation ist ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik und Signalverarbeitung, welches es erlaubt, Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich zu transformieren. Betrachte die Funktion f(x), deren Fourier-Transformierte \hat{f}(\xi) ist, definiert durch:

• Definition: \[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• Inverse: \[ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi \]
• Linearität: \[ \mathcal{F}\{af + bg\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\} \]
• Verschiebung: \[ \mathcal{F}\{f(x-a)\} = e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi) \]
• Skalierung: \[ \mathcal{F}\{f(ax)\} = \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right) \]
• Gegenstandsbereich: Signalverarbeitung, Lösung partieller Differentialgleichungen
• Spektrum einer Funktion analysieren, Filterung, Signale glätten

• a) Beweise die Linearitätseigenschaft der Fourier-Transformation. Verwende dazu die Definition der Fourier-Transformation und zeige Schritt für Schritt, dass die Linearitätseigenschaft erfüllt ist:

a)

Betrachtet den Fourier-Transform von af + bg:

• 1. Schritt: Schreibe die Definition der Fourier-Transformation für (af + bg): \[\mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} (af(x) + bg(x)) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]

• 2. Schritt: Nutze die Linearität des Integrals: \[\mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} =a \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx + b \int_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]

• 3. Schritt: Identifiziere \hat{f}(\xi) und \hat{g}(\xi): \[\mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = a\mathcal{F}\{f(x)\} + b\mathcal{F}\{g(x)\} = a\hat{f}(\xi) + b\hat{g}(\xi) \]

Lösung:

Fourier-Transformation und Signalanalyse

Die Fourier-Transformation ist ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik und Signalverarbeitung, welches es erlaubt, Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich zu transformieren. Betrachte die Funktion f(x), deren Fourier-Transformierte \hat{f}(\xi) ist, definiert durch:

• Definition:\[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• Inverse:\[ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi \]
• Linearität:\[ \mathcal{F}\{af + bg\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\} \]
• Verschiebung:\[ \mathcal{F}\{f(x-a)\} = e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi) \]
• Skalierung:\[ \mathcal{F}\{f(ax)\} = \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right) \]
• Gegenstandsbereich: Signalverarbeitung, Lösung partieller Differentialgleichungen
• Spektrum einer Funktion analysieren, Filterung, Signale glätten

Beweise die Linearitätseigenschaft der Fourier-Transformation

Verwende dazu die Definition der Fourier-Transformation und zeige Schritt für Schritt, dass die Linearitätseigenschaft erfüllt ist:

• 1. Schritt: Schreibe die Definition der Fourier-Transformation für (af + bg):\[ \mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} (af(x) + bg(x)) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]

• 2. Schritt: Nutze die Linearität des Integrals:\[ \mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = a \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx + b \int_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]

• 3. Schritt: Identifiziere \hat{f}(\xi) und \hat{g}(\xi):\[ \mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = a\mathcal{F}\{f(x)\} + b\mathcal{F}\{g(x)\} = a\hat{f}(\xi) + b\hat{g}(\xi) \]

b)

b) Bestimme die Fourier-Transformierte der Funktion \[f(x) = e^{-a|x|}\] wobei a eine positive Konstante ist. Führe die Schritte wie folgt durch:

• 1. Schritt: Verwende die Definition der Fourier-Transformation: \[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• 2. Schritt: Zerlege das Integral in zwei Bereiche: \[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{0} e^{ax} e^{-2\pi i x \xi} \, dx + \int_{0}^{\infty} e^{-ax} e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• 3. Schritt: Integriere beide Teile einzeln und füge sie zusammen:
  • Für \ x \leq 0:\ \[ \int_{-\infty}^{0} e^{x(a - 2\pi i \xi)} \, dx \]
  • Für \ x \geq 0:\ \[ \int_{0}^{\infty}e^{-x(a + 2\pi i \xi)} \, dx \]
  • Füge die Ergebnisse zusammen: \[ \hat{f}(\xi) = \frac{1}{a + 2\pi i \xi}+ \frac{1}{a - 2\pi i \xi} = \frac{2a}{a^2 + (2\pi \xi)^2} \]

Lösung:

Fourier-Transformation und Signalanalyse

Die Fourier-Transformation ist ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik und Signalverarbeitung, welches es erlaubt, Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich zu transformieren. Betrachte die Funktion f(x), deren Fourier-Transformierte \hat{f}(\xi) ist, definiert durch:

• Definition:\[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• Inverse:\[ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi \]
• Linearität:\[ \mathcal{F}\{af + bg\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\} \]
• Verschiebung:\[ \mathcal{F}\{f(x-a)\} = e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi) \]
• Skalierung:\[ \mathcal{F}\{f(ax)\} = \frac{1}{|a|} \hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right) \]
• Gegenstandsbereich: Signalverarbeitung, Lösung partieller Differentialgleichungen
• Spektrum einer Funktion analysieren, Filterung, Signale glätten

a) Beweise die Linearitätseigenschaft der Fourier-Transformation

Verwende dazu die Definition der Fourier-Transformation und zeige Schritt für Schritt, dass die Linearitätseigenschaft erfüllt ist:

• 1. Schritt: Schreibe die Definition der Fourier-Transformation für (af + bg):\[ \mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} (af(x) + bg(x)) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• 2. Schritt: Nutze die Linearität des Integrals:\[ \mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = a \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx + b \int_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• 3. Schritt: Identifiziere \hat{f}(\xi) und \hat{g}(\xi):\[ \mathcal{F}\{af(x) + bg(x)\} = a\mathcal{F}\{f(x)\} + b\mathcal{F}\{g(x)\} = a\hat{f}(\xi) + b\hat{g}(\xi) \]

b) Bestimme die Fourier-Transformierte der Funktion \(f(x) = e^{-a|x|}\), wobei \(a\) eine positive Konstante ist

Führe die Schritte wie folgt durch:

• 1. Schritt: Verwende die Definition der Fourier-Transformation:\[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a|x|} e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• 2. Schritt: Zerlege das Integral in zwei Bereiche:\[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{0} e^{ax} e^{-2\pi i x \xi} \, dx + \int_{0}^{\infty} e^{-ax} e^{-2\pi i x \xi} \, dx \]
• 3. Schritt: Integriere beide Teile einzeln und füge sie zusammen:
• Für \(x \leq 0\):\[ \int_{-\infty}^{0} e^{x(a - 2\pi i \xi)} \, dx \]
• Für \(x \geq 0\):\[ \int_{0}^{\infty}e^{-x(a + 2\pi i \xi)} \, dx \]
• Bestimme die Integrale:
• \(\int_{-\infty}^{0} e^{x(a - 2\pi i \xi)} \, dx = \frac{1}{a - 2\pi i \xi}\)
• \(\int_{0}^{\infty}e^{-x(a + 2\pi i \xi)} \, dx = \frac{1}{a + 2\pi i \xi}\)
• Füge die Ergebnisse zusammen:\[ \hat{f}(\xi) = \frac{1}{a - 2\pi i \xi} + \frac{1}{a + 2\pi i \xi} = \frac{2a}{a^2 + (2\pi \xi)^2} \]

Aufgabe 2)

Betrachte die Laplace-Transformation, die verwendet wird, um Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umzuwandeln. Diese Transformation ist besonders nützlich für die Lösung von Differentialgleichungen (DGLs). Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch:

• Definition: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = F(s) \]
• Eigenschaften: Linearity, Verschiebung, Skalierung
• Inversion: \[ \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} e^{st} F(s) \, ds \]
• Anwendungen: Lösung partieller Differentialgleichungen, elektrische Netzwerke, Regelungstechnik
• Beispiele: \[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a} \], \[ \mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2+b^2} \]

a)

(i) Zeige, dass die Laplace-Transformation die Linearitätseigenschaft besitzt. Das bedeutet, dass wenn f(t) und g(t) zwei Funktionen sind, und a und b zwei Skalare, dann gilt:

• \[ \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\} \]

Lösung:

Betrachte die Laplace-Transformation, die verwendet wird, um Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umzuwandeln. Diese Transformation ist besonders nützlich für die Lösung von Differentialgleichungen (DGLs). Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch:

• Definition: \[\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = F(s)\]
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebung, Skalierung
• Inversion: \[\mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} = \frac{1}{2\pi i} \int_\{\gamma-i\infty\}^\{\gamma+i\infty\} e^{st} F(s) \, ds\]
• Anwendungen: Lösung partieller Differentialgleichungen, elektrische Netzwerke, Regelungstechnik
• Beispiele: \[\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}\], \[\mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2+b^2}\]

(i) Zeige, dass die Laplace-Transformation die Linearitätseigenschaft besitzt. Das bedeutet, dass wenn f(t) und g(t) zwei Funktionen sind, und a und b zwei Skalare, dann gilt:

• \[\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\}\]

Beweis der Linearitätseigenschaft:

• Betrachte die Laplace-Transformation der Funktion \(a f(t) + b g(t)\):
• \[\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} (a f(t) + b g(t)) \, dt\]
• Da das Integral linear ist, können wir es aufteilen:
• \[ \int_0^\infty e^{-st} (a f(t) + b g(t)) \, dt = \int_0^\infty e^{-st} a f(t) \, dt + \int_0^\infty e^{-st} b g(t) \, dt \]
• Faktorisiere die Konstanten \(a\) und \(b\) aus den Integralen heraus:
• \[= a \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt + b \int_0^\infty e^{-st} g(t) \, dt \]
• Dies kann in der Laplace-Transformation ausgedrückt werden:
• \[= a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\}\]
• Also haben wir gezeigt, dass:
• \[ \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\} \]

b)

(ii) Bestimme die Laplace-Transformation der Funktion f(t) = t e^{at}. Verwende dazu die Definition der Laplace-Transformation:

• \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} t e^{at} \, dt \]

Lösung:

Betrachte die Laplace-Transformation, die verwendet wird, um Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umzuwandeln. Diese Transformation ist besonders nützlich für die Lösung von Differentialgleichungen (DGLs). Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch:

• Definition: \[\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = F(s)\]
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebung, Skalierung
• Inversion: \[\mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} = \frac{1}{2\pi i} \int_\{\gamma-i\infty\}^\{\gamma+i\infty\} e^{st} F(s) \, ds\]
• Anwendungen: Lösung partieller Differentialgleichungen, elektrische Netzwerke, Regelungstechnik
• Beispiele: \[\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a}\], \[\mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2+b^2}\]

(ii) Bestimme die Laplace-Transformation der Funktion f(t) = t e^{at}. Verwende dazu die Definition der Laplace-Transformation:

• \[\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} t e^{at} \, dt\]

Lösung:

• Setze \(f(t) = t e^{at}\) in die Definition der Laplace-Transformation ein:
• \[\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \int_0^\infty e^{-st} t e^{at} \, dt\]
• Kombiniere die Exponentialfunktionen:
• \[= \int_0^\infty t e^{(a-s)t} \, dt\]
• Wir verwenden eine Integration durch Teile. Setze \(u = t\) und \(dv = e^{(a-s)t} dt\). Dann ist \(du = dt\) und \(v = \frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\):
• Nach der Regel der Integration durch Teile, \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), erhalten wir:
• \[\int_0^\infty t e^{(a-s)t} \, dt = \left[ \frac{t e^{(a-s)t}}{a-s} \right]_0^\infty - \int_0^\infty \frac{e^{(a-s)t}}{a-s} \, dt\]
• Behandle die Grenzwerte:
• \[\lim_\{t \to \infty\} \frac{t e^{(a-s)t}}{a-s} = 0 \text{ , wenn Re}(s) > \text{Re}(a)\]
• \[ \left[ \frac{t e^{(a-s)t}}{a-s} \right]_0^\infty = 0 - 0 = 0\]
• Nun bleibt das Integral übrig:
• \[ - \int_0^\infty \frac{e^{(a-s)t}}{a-s} \, dt\]
• Ziehe \(\frac{1}{a-s}\) als Konstante heraus:
• \[ - \frac{1}{a-s} \int_0^\infty e^{(a-s)t} \, dt\]
• Das Integral \(\int_0^\infty e^{(a-s)t} dt\) hat den bekannten Wert \(\frac{1}{s-a}\) (für \(\text{Re}(s) > \text{Re}(a)\)):
• \[= - \frac{1}{a-s} \cdot \frac{1}{s-a}\]
• \[ = - \frac{1}{(a-s)^2}\]
• Da \(a-s\) und \(s-a\) nur durch ein Vorzeichen unterschiedlich sind, wird daraus:
• \[ \frac{1}{(s-a)^2}\]

Also ist die Laplace-Transformation von \(t e^{at}\):

• \[\mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s-a)^2}\]

c)

(iii) Verwende die Laplace-Transformation, um die Differentialgleichung \(y'' + 3y' + 2y = 0\) mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) zu lösen. Zeige dabei jeden Schritt der Umwandlung und Rücktransformation auf.

Lösung:

Betrachte die Laplace-Transformation, die verwendet wird, um Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umzuwandeln. Diese Transformation ist besonders nützlich für die Lösung von Differentialgleichungen (DGLs). Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch:

• Definition: \( \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = F(s) \)
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebung, Skalierung
• Inversion: \( \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} = \frac{1}{2\pi i} \int_\{\gamma-i\infty\}^\{\gamma+i\infty\} e^{st} F(s) \, ds \)
• Anwendungen: Lösung partieller Differentialgleichungen, elektrische Netzwerke, Regelungstechnik
• Beispiele: \( \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a} \), \( \mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2+b^2} \)

(iii) Verwende die Laplace-Transformation, um die Differentialgleichung \( y'' + 3y' + 2y = 0 \) mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) zu lösen. Zeige dabei jeden Schritt der Umwandlung und Rücktransformation auf.

Lösung:

Die Schritte zur Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation sind wie folgt:

• Zuerst wenden wir die Laplace-Transformation auf jeden Term der Differentialgleichung an:

Die gegebene Differentialgleichung ist:

• \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)

Wenden wir die Laplace-Transformation auf beide Seiten der Gleichung an:

• \( \mathcal{L}\{y''\} + 3\mathcal{L}\{y'\} + 2\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{0\} \)

Dabei brauchen wir die folgenden Laplace-Transformationen:

• \( \mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0) \)
• \( \mathcal{L}\{y'\} = s Y(s) - y(0) \)
• \( \mathcal{L}\{y\} = Y(s) \)

Anwendung dieser Transformationen auf die Differentialgleichung führt zu:

• \( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 3(s Y(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)

Mit den Anfangsbedingungen \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) erhalten wir:

• \( s^2 Y(s) - s \cdot 1 - 0 + 3(s Y(s) - 1) + 2 Y(s) = 0 \)
• \( s^2 Y(s) - s + 3s Y(s) - 3 + 2 Y(s) = 0 \)
• \( (s^2 + 3s + 2) Y(s) = s + 3 \)

Wir lösen nach \( Y(s) \) auf:

• \( Y(s) = \frac{s + 3}{s^2 + 3s + 2} \)

Wir faktorisieren den Nenner:

• \( Y(s) = \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} \)

Wir wenden die Partialbruchzerlegung an:

• \( \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2} \)

Setzen wir die linke Seite gleich der rechten Seite:

• \( s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1) \)

Um die Werte von \( A \) und \( B \) zu bestimmen, setzen wir passende Werte für \( s \) ein:

• Für \( s = -1 \):
• \( -1 + 3 = A(-1 + 2) \)
• \( 2 = A \cdot 1 \)
• \( A = 2 \)
• Für \( s = -2 \):
• \( -2 + 3 = B(-2 + 1) \)
• \( 1 = B \cdot (-1) \)
• \( B = -1 \)

Also haben wir:

• \( Y(s) = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} \)

Nun führen wir die Rücktransformation durch:

• \( \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s + 1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s + 2}\right\} \)

Verwende die Regel für die Rücktransformation: \( \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s + a}\right\} = e^{-at} \):

• \( \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s + 1}\right\} = 2e^{-t} \)
• \( \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s + 2}\right\} = e^{-2t} \)

Also ist die Lösung der Differentialgleichung:

• \( y(t) = 2e^{-t} - e^{-2t} \)

d)

(iv) Im Bereich der Regelungstechnik können Laplace-Transformationen angewendet werden, um Übertragungsgleichungen zu vereinfachen. Berechne die Übertragungsfunktion \( H(s) \) eines Systems, das durch die Differentialgleichung \(y'(t) + 4y(t) = u(t)\) mit dem Eingang \(u(t)\) und Ausgang \(y(t)\) beschrieben wird.

Lösung:

Betrachte die Laplace-Transformation, die verwendet wird, um Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umzuwandeln. Diese Transformation ist besonders nützlich für die Lösung von Differentialgleichungen (DGLs). Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert durch:

• Definition: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = F(s) \]
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebung, Skalierung
• Inversion: \[ \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} = \frac{1}{2\pi i} \int_\{\gamma-i\infty\}^\{\gamma+i\infty\} e^{st} F(s) \, ds \]
• Anwendungen: Lösung partieller Differentialgleichungen, elektrische Netzwerke, Regelungstechnik
• Beispiele: \[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s-a} \], \[ \mathcal{L}\{\sin(bt)\} = \frac{b}{s^2+b^2} \]

(iv) Im Bereich der Regelungstechnik können Laplace-Transformationen angewendet werden, um Übertragungsgleichungen zu vereinfachen. Berechne die Übertragungsfunktion \( H(s) \) eines Systems, das durch die Differentialgleichung \( y'(t) + 4y(t) = u(t) \) mit dem Eingang \( u(t) \) und Ausgang \( y(t) \) beschrieben wird.

Lösung:

Um die Übertragungsfunktion \( H(s) \) zu berechnen, folgen wir den folgenden Schritten:

• Wende die Laplace-Transformation auf beide Seiten der Differentialgleichung an.
• \[ \mathcal{L}\{y'(t) + 4y(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\} \]

Verwende die bekannten Laplace-Transformationen:

• \( \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) \)
• \( \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s) \)
• \( \mathcal{L}\{u(t)\} = U(s) \)

Setze diese Transformationen in die Differentialgleichung ein:

• \[ sY(s) - y(0) + 4Y(s) = U(s) \]

Führe die anfänglichen Bedingungen ein. Hier gehen wir davon aus, dass \(y(0) = 0\):

• \[ sY(s) + 4Y(s) = U(s) \]
• \[ (s + 4)Y(s) = U(s) \]

Nun lösen wir nach \( Y(s) \) auf:

• \[ Y(s) = \frac{U(s)}{s + 4} \]

Die Übertragungsfunktion \( H(s) \) ist definiert als das Verhältnis von Ausgang zu Eingang, also:

• \[ H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \]

Daher ergibt sich:

• \[ H(s) = \frac{1}{s + 4} \]

Aufgabe 3)

Die Charakteristikenmethode ist ein wichtiges Werkzeug zur Lösung hyperbolischer partieller Differentialgleichungen. Diese Methode ermöglicht die Reduktion einer PDE auf gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) entlang von Charakteristiken, wodurch die Lösung der PDE vereinfacht wird. Betrachte die folgende hyperbolische PDE erster Ordnung:

\[ a(x,t) u_x + b(x,t) u_t = c(x,t) \]

Die Charakteristiken für diese Gleichung können durch die folgende Reihe von Gleichungen bestimmt werden:

• \[ \frac{dx}{ds} = a(x,t) \]
• \[ \frac{dt}{ds} = b(x,t) \]
• \[ \frac{du}{ds} = c(x,t) \]

Die Aufgabe besteht darin, diese Methode an einem konkreten Beispiel anzuwenden und in zwei Schritten, die Befehle zu befolgen:

a)

Betrachte die PDE:

\[ u_t + cu_x = 0 \]

Die Charakteristiken können wie folgt bestimmt werden:

• \[ \frac{dt}{ds} = 1 \]
• \[ \frac{dx}{ds} = c \]
• \[ \frac{du}{ds} = 0 \]

Bestimme die Parameterdarstellung der Charakteristiken und erkläre, wie diese mit der gegebenen PDE korrespondieren.

Lösung:

Um die Charakteristiken der gegebenen PDE \( u_t + c u_x = 0 \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor.

Die Charakteristiken werden durch das folgende System von Differentialgleichungen bestimmt:

• \( \frac{dt}{ds} = 1 \)
• \( \frac{dx}{ds} = c \)
• \( \frac{du}{ds} = 0 \)

Schritt 1: Bestimmen der Parameterdarstellung für t:

• Aus der ersten Gleichung \( \frac{dt}{ds} = 1 \) folgt durch Integration, dass \( t = t_0 + s \), wobei \( t_0 \) eine Konstante ist.

Schritt 2: Bestimmen der Parameterdarstellung für x:

• Aus der zweiten Gleichung \( \frac{dx}{ds} = c \) folgt nach Integration, dass \( x = x_0 + cs \), wobei \( x_0 \) eine Konstante ist.

Schritt 3: Bestimmen der Parameterdarstellung für u:

• Aus der dritten Gleichung \( \frac{du}{ds} = 0 \) folgt, dass \( u \) eine Konstante entlang der Charakteristiken ist, das heißt, \( u = u_0 \), wobei \( u_0 \) eine Konstante ist.

Zusammenfassung:

• Die Parameterdarstellung der Charakteristiken ist:
• \( t = t_0 + s \)
• \( x = x_0 + c s \)
• \( u = u_0 \)

Erklärung der Korrelation zur PDE:

Die Charakteristiken sind Linien im \((x,t)\)-Raum, entlang derer die Lösung \( u \) konstant ist. Diese Parameterdarstellung zeigt, dass sich \( x \) und \( t \) entlang der Charakteristiken linear mit der Strecke \( s \) ändern und die Lösung \( u \) entlang dieser Linien unverändert bleibt (da \( \frac{du}{ds} = 0 \)). Dies steht im Einklang mit der ursprünglichen PDE, die besagt, dass die Rate der Änderung von \( u \) in der \( t \)- und \( x \)-Richtung durch \( u_t + c u_x = 0 \) beschränkt wird.

Anders ausgedrückt, entlang einer Charakteristik, wo \( dt = ds \) und \( dx = c ds \), gleicht sich die Änderung in \( u \) aufgrund der PDE aus und bleibt konstant, was zu den konstanten Werten für \( u \) entlang der Charakteristiken führt.

b)

Nehme an, die Anfangsbedingungen seien:

\[ u(x,0) = f(x) \]

Nutze die Charakteristiken, um die Lösung der PDE \[ u_t + cu_x = 0 \] zu bestimmen und bezeichne die Lösung explizit in Form von \(u(x,t)\).

Lösung:

Um die Lösung der PDE \( u_t + c u_x = 0 \) mit den Anfangsbedingungen \( u(x,0) = f(x) \) zu bestimmen, nutzen wir die Charakteristiken.

Die Charakteristiken werden durch folgendes System von Differentialgleichungen bestimmt:

• \( \frac{dt}{ds} = 1 \)
• \( \frac{dx}{ds} = c \)
• \( \frac{du}{ds} = 0 \)

Aus diesen Gleichungen haben wir bereits die Parameterdarstellung der Charakteristiken bestimmt:

• \( t = t_0 + s \)
• \( x = x_0 + c s \)
• \( u = u_0 \)

Um die Anfangsbedingungen einzubeziehen, setzen wir \( t = 0 \) in die Parameterdarstellung ein. Dann ist \( t_0 = 0 - s \), sodass:

• \( t = s \)
• \( x = x_0 + c t \) (da \( s = t \))
• \( u = u_0 = f(x_0) \)

Daraus folgt, dass:

• \( x_0 = x - c t \)

Setzen wir dies ein, erhalten wir für \( u \):

• \( u = f(x_0) = f(x - c t) \)

Somit lautet die explizite Lösung der PDE in Form von \( u(x,t) \):

\( u(x,t) = f(x - c t) \)

Diese Lösung zeigt, dass die Anfangsfunktion \( f(x) \) sich entlang der Charakteristiklinien mit Geschwindigkeit \( c \) bewegt. Dies steht im Einklang mit der Interpretation der Charakteristiken, dass entlang dieser Linien die Lösung konstant bleibt.

Aufgabe 4)

Differentialoperatoren höherer Ordnung sind Operatoren, die auf Differentiation basieren und höhere Ableitungen einer Funktion umfassen.

• Notation: Ein Differentialoperator höherer Ordnung wird typischerweise als \(\frac{d^n}{dx^n}\) oder \(D^n\) bezeichnet.
• Lineare Differentialoperatoren: \(L = \sum_{i=0}^n a_i(x)D^i\), wobei \(D^i\) die i-te Ableitung ist.
• Eigenschaften: Lineare, homogener, und inhomogener Operatoren, Kommutativität, Formblatt
• Anwendungen: Physik (Wellengleichung, Wärmeleitung), Ingenieurwesen (Strukturmechanik), Finanzen (Black-Scholes-Gleichung).

a)

Zeige, dass der Differentialoperator \(L = D^2 + 3D + 2\) auf Funktionen der Form \(f(x) = e^{\beta x}\) angewendet zu einem Eigenwertproblem führt. Bestimme die Eigenwerte \(\beta\), für die \(L f(x) = \lambda f(x)\) gilt, und berechne den entsprechenden Eigenwert \(\lambda\).

Lösung:

Um zu zeigen, dass der Differentialoperator L = D^2 + 3D + 2 auf Funktionen der Form f(x) = e^{\beta x} angewendet zu einem Eigenwertproblem führt, und um die Eigenwerte \beta sowie den entsprechenden Eigenwert \lambda zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:

1. Betrachten wir zunächst den Operator L = D^2 + 3D + 2 und wenden diesen auf die Funktion f(x) = e^{\beta x} an.

• Die erste Ableitung von f(x) ist:

\( f'(x) = \beta e^{\beta x} \)

• Die zweite Ableitung von f(x) ist:

\( f''(x) = \beta^2 e^{\beta x} \)

• Nun wenden wir den Operator L auf f(x) an:

\( L f(x) = D^2 f(x) + 3D f(x) + 2 f(x) \)

Setzen wir die Ableitungen ein:

\( L f(x) = \beta^2 e^{\beta x} + 3 \beta e^{\beta x} + 2 e^{\beta x} \)

• Da f(x) = e^{\beta x} ist, kann e^{\beta x} aus dem Ausdruck ausgeklammert werden:

\( L f(x) = e^{\beta x} (\beta^2 + 3 \beta + 2) \)

\( L f(x) = \lambda f(x) \)