Seminar Approximationstheorie - Cheatsheet

Historische Entwicklung der Approximationstheorie

Definition:

Geschichte der Approximation von Funktionen durch Polynome und andere einfache Funktionen.

Details:

• Antike: Heron von Alexandria und Ptolemäus - frühe Annäherungen für numerische Berechnungen.
• Mittelalter: Al-Biruni und Madhava - Genauere Methoden zur Annäherung von Kreisbögen.
• 17. Jh.: Isaac Newton und Blaise Pascal - Entwicklung des Kalküls und der Polynominterpolation.
• 18. Jh.: Joseph-Louis Lagrange - Lagrange-Interpolation.
• 19. Jh.: Carl Friedrich Gauß - Methode der kleinsten Quadrate.
• 20. Jh.: Weierstraß'scher Approximationssatz: Jede stetige Funktion kann durch Polynome approximiert werden.
• Aktuell: Entwicklungen in Splines, Wavelets und anderen modernen Techniken.

Kubische Splines und ihre Anwendungen

Definition:

Kubische Splines: stückweise kubische Polynome für glatte Approximation.

Details:

• Knoten: Punkte, an denen die Polynom-Stücke sich treffen.
• Glattheit: Stetig in Funktionen, erster und zweiter Ableitung.
• Anwendungen: Interpolation, Grafikdesign, Computergrafik.
• Typische Form:
  • Für jeden Abschnitt \(i\) gilt: \[S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3\]
  • Bedingungen an den Knoten: \[S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1}), \, S'_i(x_{i+1}) = S'_{i+1}(x_{i+1}), \, S''_i(x_{i+1}) = S''_{i+1}(x_{i+1})\]

Fehlermaße und -typen in der Approximation

Definition:

Beschreibung der verschiedenen Fehlermaße und Typen von Fehlern, die bei der Approximation verwendet werden.

Details:

• Fehlermaße quantifizieren Abweichung zwischen Funktion und Approximation.
• Häufige Fehlermaße:
  • \textit{Relativer Fehler:} \( \frac{\text{Approximation - Exakter Wert}}{\text{Exakter Wert}} \)
  • \textit{Absoluter Fehler:} \( | \text{Approximation - Exakter Wert} | \)
  • \textit{L-Fehler:} \( L^p = \big( \int |f(x) - g(x)|^p \big)^{1/p} \)
• Fehlertypen:
  • \textit{Globaler Fehler:} Fehler über gesamte Definitionsbereich.
  • \textit{Lokaler Fehler:} Fehler an einem bestimmten Punkt oder lokalen Bereich.
  • \textit{Maximaler Fehler:} \( L^\infty = \max |f(x) - g(x)| \)

Theorie der Konvergenz und Stabilität

Definition:

Untersuchung der Bedingungen zur Konvergenz einer Folge von Funktionen sowie deren Stabilität und Robustheit gegenüber Störungen.

Details:

• Konvergenztypen: Punktweise, gleichmäßig, normierte
• Stabilität: Verhalten bei kleinen Störungen in Daten oder Modellen
• Fehleranalyse: Abschätzung der Genauigkeit der Näherung
• Satz von Banach-Steinhaus: Beschreibt die gleichmäßige Beschränktheit
• Lax-Richtmyer-Äquivalenzsatz: Verbindung zwischen Konsistenz, Stabilität und Konvergenz
• Störungstheorie: Untersuchung der Wirkung kleiner Änderungen auf das System

Numerische Analysis und Differentialgleichungen

Definition:

Numerische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen.

Details:

• Diskretisierungsmethoden: Finite-Differenzen, Finite-Elemente, Finite-Volumen.
• Explizite und implizite Verfahren für Anfangs- und Randwertprobleme.
• Fehleranalyse: Konsistenz, Stabilität, Konvergenz.
• Adaptive Methoden für eine verbesserte Effizienz.
• Iterative und direkte Lösungsverfahren für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme.

Maschinelles Lernen und neuronale Netze

Definition:

Maschinelles Lernen: adaptive Algorithmen, die aus Daten lernen. Neuronale Netze: spezielle ML-Modelle, inspiriert vom menschlichen Gehirn.

Details:

• ML-Typen: Überwachtes Lernen, Unüberwachtes Lernen, Verstärkendes Lernen
• Neuron: Grundbaustein, führt gewichtete Summe mit Aktivierungsfunktion aus
• Schichten: Eingabeschicht, versteckte Schichten, Ausgabeschicht
• Gradientenabstieg: Optimierungsverfahren zur Minimierung des Fehlers
• Aktivierungsfunktionen: \(\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \), \(\text{ReLU}(x) = \text{max}(0, x)\)
• Kostenfunktion: \(\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2\)

Verwendung von LaTeX für mathematische Dokumente

Definition:

Verwendung von LaTeX zur Erstellung mathematischer Dokumente; eingesetzt für die präzise Darstellung mathematischer Formeln und Strukturen.

Details:

• Speziell entwickelt für die Mathematik und Naturwissenschaften
• Hochwertiger Satz von Formeln und Text
• Nutzt eine Vielzahl von Paketen, z.B. \texttt{amsmath} für erweiterte mathematische Symbolik
• Beispiele: \begin{equation} E = mc^2 \end{equation} für nummerierte Gleichung, \[ a^2 + b^2 = c^2 \] für nicht nummerierte Gleichung