Seminar Approximationstheorie - Exam

Aufgabe 1)

Historische Entwicklung der Approximationstheorie Diskutiere die Geschichte der Approximation von Funktionen durch Polynome und andere einfache Funktionen. In Deiner Antwort soll folgendes enthalten sein: die Antike, das Mittelalter, das 17. Jahrhundert, das 18. Jahrhundert, das 19. Jahrhundert, das 20. Jahrhundert und aktuelle Entwicklungen.

b)

Diskutiere den Weierstraß'schen Approximationssatz des 20. Jahrhunderts. Formuliere den Satz formal und gib ein Beispiel einer stetigen Funktion auf [0, 1], die durch Polynome approximiert wird. Zeige, wie der Approximationsprozess theoretisch funktioniert und illustriere mit spezifischen Polynomen.

Lösung:

Historische Entwicklung der Approximationstheorie

• Die Antike: Erste Ansätze zur Approximation von Funktionen finden sich in den Arbeiten von antiken Mathematikern wie Archimedes, der Näherungsmethoden für gegebene Flächen und Volumina entwickelte.
• Das Mittelalter: Mathematiker des Islams wie Al-Khwarizmi trugen durch das Erstellen von Algorithmen und numerischen Methoden zur Weiterentwicklung der Approximationstheorie bei.
• 17. Jahrhundert: Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten die Differential- und Integralrechnung, was neue Möglichkeiten zur Approximation von Funktionen eröffnete.
• 18. Jahrhundert: Joseph-Louis Lagrange und andere führten die Interpolationstheorie ein, um Polynome zur Approximation von gegebenen Datensätzen zu verwenden.
• 19. Jahrhundert: Carl Friedrich Gauß entwickelte die Methode der kleinsten Quadrate zur Approximation von Daten. Fourier analysierte die Näherung periodischer Funktionen durch trigonometrische Reihen.
• 20. Jahrhundert: Der Aufstieg der Computer revolutionierte die Approximationstheorie, indem numerische Methoden und Algorithmen umfangreich computergestützt errechnet werden konnten.
• Aktuelle Entwicklungen: Fortschritte in der Quanteninformatik und maschinellem Lernen bieten neue Ansätze und Techniken zur Approximation von komplexen Funktionen und Datensätzen.

Weierstraß'scher Approximationssatz

• Formulierung des Satzes: Der Weierstraß'sche Approximationssatz besagt, dass jede stetige Funktion \( f \) auf einem abgeschlossenen Intervall \([a, b] \) durch Polynome mit beliebiger Genauigkeit gleichmäßig approximiert werden kann. Formal ausgedrückt: Für jede stetige Funktion \( f \) und jedes \( \varepsilon > 0 \) existiert ein Polynom \( P(x) \) derart, dass \[ \max \_{a \leq x \leq b} | f(x) - P(x) | < \varepsilon \]
• Beispiel: Betrachten wir die stetige Funktion \( f(x) = e^x \) auf dem Intervall \([0, 1] \). Wir wollen diese Funktion mit Polynomen approximieren.
• Approximationsprozess: Wir verwenden die Taylor-Reihe von \( e^x \) um den Punkt \( x = 0 \). Die Taylor-Reihe lautet: \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \]
• Illustration mit spezifischen Polynomen: Nehmen wir die ersten vier Terme der Taylor-Reihe als unser approximierendes Polynom: \[ P(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \]
  • Originalfunktion: \( f(x) = e^x \) für \( x \) im Intervall \([0, 1] \)
  • Annäherndes Polynom: \( P(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)
• Vergleich: Der Unterschied zwischen \( f(x) \) und \( P(x) \) ist innerhalb der gewünschten Genauigkeit \( \varepsilon \) für genügend viele Terme. Visuell können wir die Funktion \( f(x) \) und das Polynom \( P(x) \) über das Intervall \([0, 1] \) plotten, um die Annäherung zu sehen.

Ergebnis: Der Weierstraß'sche Approximationssatz zeigt, dass Polynome mächtige Werkzeuge zur Approximation stetiger Funktionen sind, wodurch viele Probleme der Funktionsanalyse und numerischen Methoden effizient gelöst werden können.

Aufgabe 2)

Kubische Splines Ein kubischer Spline ist eine glatte Funktion, die durch das Aneinanderfügen stückweise definierter kubischer Polynome entsteht. Diese Polynome sind an bestimmten Punkten, den sogenannten Knoten, stetig und differenzierbar bis zur zweiten Ableitung. Ein kubischer Spline, der auf einem Bereich mit den Knotenpunkten \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) definiert ist, hat für jeden Abschnitt \(i\) folgende Form:

• Teilpolynom im Intervall \([x_i, x_{i+1}]\): \[S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3\]

Die Glattheit der Splines wird durch folgende Bedingungen an den Intervallgrenzen gewährleistet:

• Stetigkeit: \[S_i(x_{i+1}) = S_{i+1}(x_{i+1})\]
• Stetigkeit der ersten Ableitung: \[S'_i(x_{i+1}) = S'_{i+1}(x_{i+1})\]
• Stetigkeit der zweiten Ableitung: \[S''_i(x_{i+1}) = S''_{i+1}(x_{i+1})\]

Im Folgenden werden zwei Aufgaben gegeben, um die Konstruktion und Anwendung kubischer Splines zu üben:

b)

Ein Ingenieur verwendet kubische Splines zur Interpolation von Messdaten für die Herstellung eines Werkstücks. Beschreibe zwei mögliche Anwendungen kubischer Splines in der modernen Technik. Diskutiere die Bedeutung der Glattheitsbedingungen in diesen Anwendungen und was geschehen könnte, wenn diese Bedingungen nicht erfüllt werden.

• Erläutere die Rolle der kubischen Splines in einem der von Dir beschriebenen technischen Beispiele detaillierter.
• Erkläre, warum die Glattheit der Funktion und ihrer Ableitungen wichtig ist.

Lösung:

Kubische Splines in der modernen Technik

Kubische Splines sind in der modernen Technik weit verbreitet, da sie ein mächtiges Werkzeug zur Interpolation und Glättung von Daten darstellen. Im Folgenden werden zwei mögliche Anwendungen kubischer Splines diskutiert sowie die Bedeutung der Glattheitsbedingungen erläutert.

Anwendung 1: Computergrafik

In der Computergrafik werden kubische Splines häufig verwendet, um geschmeidige und realistische Kurven und Oberflächen zu erstellen. Beispielsweise bei der Modellierung von Charakteren in Animationsfilmen oder Videospielen ist es essentiell, glatte Übergänge zwischen verschiedenen Körperteilen oder Oberflächen zu haben, um eine realistische Darstellung zu gewährleisten.

• Rolle der kubischen Splines: Bei der Modellierung eines Characters kann man kubische Splines verwenden, um die Konturen des Körpers zu definieren. Die Splines ermöglichen es, eine glatte und kontinuierliche Kurve festzulegen, die durch die Knotenpunkte, z.B. die Gelenke eines Charakters, verläuft.
• Bedeutung der Glattheitsbedingungen: Die Glattheitsbedingungen stellen sicher, dass die Konturen des Characters keine abrupten Übergänge oder Kanten aufweisen. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt wären, könnte es zu unnatürlich aussehenden Kanten kommen, die den Realismus des Modells beeinträchtigen.

Anwendung 2: Fahrzeugdynamik und Fahrzeugsimulation

In der Fahrzeugdynamik und Fahrzeugsimulation werden kubische Splines verwendet, um glatte Fahrwegprofile oder Streckenverläufe zu interpolieren. Dies ist besonders wichtig für die Analyse und Simulation des Fahrverhaltens von Fahrzeugen auf verschiedenen Straßenprofilen.

• Rolle der kubischen Splines: Um ein exaktes Modell des Straßenprofils zu erhalten, werden die Messdaten der Straßenhöhe oder -neigung an verschiedenen Punkten gesammelt und durch kubische Splines interpoliert. Dadurch entsteht ein kontinuierliches und realitätsnahes Modell der Strecke.
• Bedeutung der Glattheitsbedingungen: Die Glattheitsbedingungen sind essenziell, um die Dynamik des Fahrzeugs korrekt zu simulieren. Eine Straße mit abrupten Übergängen würde zu unrealistischen Belastungen und Bewegungen im Fahrzeugmodell führen, was die Genauigkeit der Simulation beeinträchtigen würde. Glatte Übergänge garantieren eine realistische Verteilung der Kräfte und Bewegungen über das ganze Fahrzeug.

Detailierte Erklärung der Glattheit und ihrer Bedeutung

Die Glattheit einer Funktion und ihrer Ableitungen ist in vielen technischen Anwendungen von entscheidender Bedeutung. In der Fahrzeugdynamik beispielsweise würde eine nicht-glatte Funktion, die das Straßenprofil beschreibt, zu abrupten Veränderungen in der Fahrzeugqualität und den Fahrbedingungen führen. Glatte Übergänge gewährleisten, dass Beschleunigungen und Fahrkomfort realitätsnah simuliert werden können. In der Computergrafik sorgt die Glattheit der Funktion dafür, dass Charakter- und Oberflächenmodelle realistisch und ästhetisch ansprechend dargestellt werden.

Wenn die Glattheitsbedingungen nicht erfüllt werden, könnten die resultierenden Funktionen abrupte Änderungen an den Knotenpunkten aufweisen, was zu unnatürlichen, ungenauen oder unzuverlässigen Ergebnissen führt. Beispielsweise könnten in der Fahrzeugdynamik solche Sprünge zu unrealistischen Simulationsergebnissen und in der Computergrafik zu unansehnlichen visuellen Artefakten führen.

Aufgabe 3)

Gegeben sei die Funktion f(x) = \sin(x) im Intervall [0, \pi] und eine Approximationsfunktion g(x) = \frac{x}{\pi}. Betrachte die Approximationsfehler zwischen diesen beiden Funktionen mithilfe unterschiedlicher Fehlermaße und -typen. Berechne und analysiere die verschiedenen Fehler.

a)

Bestimme den absoluten Fehler und den relativen Fehler zwischen f(x) und g(x) an den Punkten x = 0, x = \frac{\pi}{2} und x = \pi.

Lösung:

• Gegeben: Funktion: \(f(x) = \sin(x)\) Approximationsfunktion: \(g(x) = \frac{x}{\pi}\)
• Punkte: \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{2}\), \(x = \pi\)

• 1. Schritt: Bestimme die Werte der Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) an den angegebenen Punkten.

x = 0:\f(0) = \sin(0) = 0\g(0) = \frac{0}{\pi} = 0\x = \frac{\pi}{2}:\f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1\g(\frac{\pi}{2}) = \frac{\frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{1}{2}\x = \pi:\f(\pi) = \sin(\pi) = 0\g(\pi) = \frac{\pi}{\pi} = 1\

• 2. Schritt: Berechne die absoluten Fehler an den jeweiligen Punkten anhand der Formel: \(E_{abs}(x) = |f(x) - g(x)|\).

x = 0:\E_{abs}(0) = |0 - 0| = 0\x = \frac{\pi}{2}:\E_{abs}(\frac{\pi}{2}) = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}\x = \pi:\E_{abs}(\pi) = |0 - 1| = 1\

• 3. Schritt: Berechne die relativen Fehler an den jeweiligen Punkten anhand der Formel: \(E_{rel}(x) = \frac{|f(x) - g(x)|}{|f(x)|}\). Falls \(f(x) = 0\), ist der relative Fehler nicht definiert.

x = 0:\f(0) = 0 \rightarrow \text{Relativer Fehler nicht definiert}\x = \frac{\pi}{2}:\E_{rel}(\frac{\pi}{2}) = \frac{|1 - \frac{1}{2}|}{|1|} = \frac{1}{2}\x = \pi:\f(\pi) = 0 \rightarrow \text{Relativer Fehler nicht definiert}\

• Zusammenfassung der Fehler:
  • Absoluter Fehler:
    • \(E_{abs}(0) = 0\)
    • \(E_{abs}(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\)
    • \(E_{abs}(\pi) = 1\)
  • Relativer Fehler:
    • \(E_{rel}(0)\): Nicht definiert
    • \(E_{rel}(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\)
    • \(E_{rel}(\pi)\): Nicht definiert

b)

Berechne den globalen Fehler, den maximalen Fehler (\textit{L}^\infty-Fehler) und den \textit{L}_2-Fehler (\textit{L}^2-Fehler) über das gesamte Intervall [0, \pi]. Vergleiche die verschiedenen Fehlermaße und diskutiere deren Vor- und Nachteile.

Lösung:

• Gegeben: Funktion: \(f(x) = \sin(x)\) Approximationsfunktion: \(g(x) = \frac{x}{\pi}\) Intervall: \([0, \pi]\)

• 1. Globalen Fehler berechnen:Der globale Fehler ist oft der maximale Fehler über das Intervall \([0, \pi]\). Dies entspricht dem \(L^\infty\)-Fehler.

• 2. Maximalen Fehler (\textit{L}^\textit{∞}-Fehler) berechnen:Definition: Der maximale Fehler über das Intervall \([0, \pi]\) ist definiert als:\[E_{\infty} = \sup_{x \in [0, \pi]} |f(x) - g(x)|\]Berechnung:

  An den Stellen:x = 0: |\sin(0) - \frac{0}{\pi}| = |0 - 0| = 0x = \frac{\pi}{2}: |\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{\frac{\pi}{2}}{\pi}| = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}x = \pi: |\sin(\pi) - \frac{\pi}{\pi}| = |0 - 1| = 1\therefore\ E_{\infty} = 1

• 3. \textit{L}_2-Fehler (\textit{L}^2-Fehler) berechnen:Definition: Der \(L^2\)-Fehler über das Intervall ist definiert als:\[E_2 = \sqrt{\int_{0}^{\pi} |f(x) - g(x)|^2 \, dx}\]Berechnung:

  E_2 = \sqrt{\int_{0}^{\pi} \left( \sin(x) - \frac{x}{\pi} \right)^2 \, dx}Wir berechnen die einzelnen Integrale getrennt:\int_0^{\pi} \sin^2(x) dx = \frac{\pi}{2}\int_0^{\pi} \frac{2x \sin(x)}{\pi} dx: Nach Integration durch Substitution und partieller Integration = \frac{4}{\pi} - 2\int_0^{\pi} \frac{x^2}{\pi^2} dx = \frac{\pi^3}{3\pi^2} = \frac{\pi}{3}\E_2 = \sqrt{\frac{\pi}{2} - (\frac{4}{\pi} - 2) + \frac{\pi}{3}}\approx 0.418

• 4. Vergleich und Diskussion der Fehlermaße:
  • Maximaler Fehler (\textit{L}^\textit{∞}-Fehler):
    • Betont den größten Fehler im gesamten Intervall.
    • Kann durch Ausreißer dominiert werden.
    • Einfach zu berechnen und interpretieren.
  • \textit{L}_2-Fehler (\textit{L}^2-Fehler):
    • Integriert den Fehler über das gesamte Intervall.
    • Weniger anfällig gegenüber einzelnen Spitzenfehlern.
    • Komplexere Berechnung, bietet jedoch eine umfassendere Fehlermessung.
• Zusammenfassung:
  • Der \(L^\infty\)-Fehler gibt eine klare Aussage über den größten Einzel-Fehler, den die Approximation macht, was bei bestimmten Anwendungen kritisch sein kann.
  • Der \(L^2\)-Fehler gibt einen umfassenderen Überblick über die durchschnittliche Genauigkeit der Approximation und ist daher nützlich für Anwendungen, bei denen ein insgesamt gleichmäßiger Fehler wichtiger ist als einzelne Ausreißer.

Aufgabe 4)

Theorie der Konvergenz und Stabilität:

Untersuchung der Bedingungen zur Konvergenz einer Folge von Funktionen sowie deren Stabilität und Robustheit gegenüber Störungen.

• Konvergenztypen: Punktweise, gleichmäßig, normierte
• Stabilität: Verhalten bei kleinen Störungen in Daten oder Modellen
• Fehleranalyse: Abschätzung der Genauigkeit der Näherung
• Satz von Banach-Steinhaus: Beschreibt die gleichmäßige Beschränktheit
• Lax-Richtmyer-Äquivalenzsatz: Verbindung zwischen Konsistenz, Stabilität und Konvergenz
• Störungstheorie: Untersuchung der Wirkung kleiner Änderungen auf das System

a)

Betrachte eine Folge von Funktionen \(\{f_n\}\) auf einem Intervall \([a,b]\)\. Zeige, dass wenn \(\{f_n\}\) gleichmäßig gegen eine Funktion \(f\) konvergiert, dann konvergiert \(\{f_n\}\) auch punktweise gegen \(f\)\. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu zeigen, dass wenn eine Folge von Funktionen \(\{f_n\}\) auf einem Intervall \([a, b]\) gleichmäßig gegen eine Funktion \(f\) konvergiert, sie auch punktweise gegen \(f\) konvergiert, führe den Beweis schrittweise durch:

Definitionen:

• Gleichmäßige Konvergenz: Eine Folge von Funktionen \(\{f_n\}\) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion \(f\), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N\) existiert, so dass für alle \(n \geq N\) und alle \(x \in [a, b]\) gilt: \(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\).
• Punktweise Konvergenz: Eine Folge von Funktionen \(\{f_n\}\) konvergiert punktweise gegen eine Funktion \(f\), wenn für jedes \(x \in [a, b]\) und jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N\) existiert, so dass für alle \(n \geq N\) gilt: \(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\).

Beweis:

1. Annahme: Die Folge \(\{f_n\}\) konvergiert gleichmäßig gegen \(f\) auf dem Intervall \([a, b]\).
2. Das bedeutet, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N\) existiert, so dass für alle \(n \geq N\) und alle \(x \in [a, b]\) gilt: \(|f_n(x) - f(x)| < \epsilon\).
3. Wähle nun ein beliebiges \(x_0 \in [a, b]\).
4. Da die Konvergenz gleichmäßig ist, existiert für das gegebene \(\epsilon > 0\) dasselbe \(N\), so dass für alle \(n \geq N\) und für dieses spezielle \(x_0\) gilt: \(|f_n(x_0) - f(x_0)| < \epsilon\).
5. Dies zeigt, dass die Folge \(\{f_n\}\) für dieses spezielle \(x_0\) gegen \(f(x_0)\) konvergiert.
6. Da \(x_0\) beliebig gewählt wurde, folgt, dass \(\{f_n\}\) punktweise gegen \(f\) auf dem Intervall \([a, b]\) konvergiert.

Schlussfolgerung:

Wir haben gezeigt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz einer Folge von Funktionen \(\{f_n\}\) gegen eine Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a, b]\) die punktweise Konvergenz dieser Folge gegen \(f\) folgt. Dies ist ein wichtiger Zusammenhang in der Analyse von Funktionen und deren Konvergenzverhalten.

c)

Formuliere den Satz von Banach-Steinhaus und erkläre die Relevanz dieses Satzes in Bezug auf die Stabilität einer Folgen von linearen Operatoren. Leite aus diesem Satz eine Bedingung ab, unter der eine Folge \(\{T_n\}\) von Operatoren stabil ist.

Lösung:

Satz von Banach-Steinhaus (Uniformer Beschränktheitssatz):

Der Satz von Banach-Steinhaus besagt folgendes:

Sei \(X\) ein Banachraum und \(Y\) ein normierter Raum. Sei \(\{T_n\}\) eine Folge linearer beschränkter Operatoren von \(X\) nach \(Y\). Wenn für jedes \(x \in X\) die Folge \(\{T_n(x)\}\) in \(Y\) punktweise beschränkt ist, das heißt, es existiert eine Konstante \(M_x > 0\) (abhängig von \(x\)), so dass \(\|T_n(x)\|_Y \leq M_x\) für alle \(n\) gilt, dann ist die Folge \(\{T_n\}\) gleichmäßig beschränkt. Das bedeutet, es existiert eine Konstante \(M > 0\), so dass:

\(\sup_n \|T_n\| \leq M\)

für alle \(n\).

Relevanz des Satzes in Bezug auf die Stabilität:

Der Satz von Banach-Steinhaus ist besonders relevant in Bezug auf die Stabilität einer Folge von linearen Operatoren, weil er sicherstellt, dass unter den Bedingungen der punktweisen Beschränktheit eine gleichmäßige Beschränktheit der Operatorenfolge erreicht wird.

Dies bedeutet in der Praxis, dass die Wirkung der Operatorenfolge auf beliebige Vektoren \(x\) nicht unkontrolliert groß wird, was ein wichtiger Aspekt der Stabilität ist.

Bedingung für die Stabilität der Folge \(\{T_n\}\):

Um die Stabilität der Folge \(\{T_n\}\) sicherzustellen, leiten wir eine Bedingung aus dem Satz von Banach-Steinhaus ab:

• Punktweise Beschränktheit: Wenn für jedes \(x \in X\) die Folge \(\{T_n(x)\}\) in \(Y\) punktweise beschränkt ist, also es existiert eine Konstante \(M_x > 0\), so dass:

\(\|T_n(x)\|_Y \leq M_x\) für alle \(n\) gilt,

• Gleichmäßige Beschränktheit: Dann folgt aus dem Satz von Banach-Steinhaus, dass es eine Konstante \(M > 0\) gibt, so dass:

\(\sup_n \|T_n\| \leq M\) für alle \(n\).

Diese Bedingungen garantieren, dass die Operatorenfolge \(\{T_n\}\) stabil ist, da die Wirkung der Operatoren auf beliebige Vektoren \(x\) in \(X\) kontrolliert und beschränkt ist.

Schlussfolgerung:

Der Satz von Banach-Steinhaus bietet also eine klare und wichtige Bedingung für die Stabilität einer Folge linearer Operatoren, indem er sicherstellt, dass die punktweise Beschränktheit automatisch eine gleichmäßige Beschränktheit der Operatorenfolge nach sich zieht. Diese gleichmäßige Beschränktheit ist ein Schlüsselaspekt der Stabilität in vielen Anwendungen in der Funktionalanalysis und numerischen Analyse.