Seminar - Cheatsheet

Normen, Metriken und inneres Produkt in Funktionalanalysis

Definition:

Normen, Metriken und das innere Produkt sind zentrale Konzepte in der Funktionalanalysis, die zur Untersuchung von Vektorräumen und deren Struktur dienen.

Details:

• Norm: Eine Funktion \( \|\cdot\|: V \rightarrow \mathbb{R}\) mit den Eigenschaften:
  • \( \|x\| \geq 0\) und \( \|x\| = 0\) wenn und nur wenn \( x = 0\)
  • \( \|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|\) für alle \( \alpha \in \mathbb{R}\) und \( x \in V\)
  • Dreiecksungleichung: \( \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\) für alle \( x, y \in V\)
• Metrik: Eine Funktion \( d: V \times V \rightarrow \mathbb{R}\) mit den Eigenschaften:
  • \(d(x,y) \geq 0\), \( d(x,y) = 0\) wenn \( x = y\)
  • \(d(x,y) = d(y,x)\) für alle \( x, y \in V\)
  • Dreiecksungleichung: \( d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)\) für alle \( x, y, z \in V\)
• Inneres Produkt: Eine Funktion \( \langle\cdot, \cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R}\) mit den Eigenschaften:
  • Linearität: \( \langle\alpha x + \beta y, z\rangle = \alpha \langle x, z\rangle + \beta \langle y, z\rangle\)
  • Symmetrie: \( \langle x, y\rangle = \langle y, x\rangle\)
  • Positiv definit: \( \langle x, x\rangle \geq 0\) und gleich 0 nur wenn \( x = 0\)

Spektraltheorie und Operatoren in Hilberträumen

Definition:

Spektraltheorie untersucht die Eigenschaften von Operatoren in Hilberträumen, insbesondere das Spektrum (Eigenwerte): zentrale Rolle in Quantenmechanik und Funktionsanalysis.

Details:

• Hilbertraum: vollständiger innerer Produktraum.
• Operator: Funktion, die Elemente eines Hilbertraums auf sich selbst abbildet.
• Eigenwertgleichung: \displaystyle A\psi = \lambda\psi
• Spektrum \displaystyle \sigma(A): Menge von \displaystyle \lambda, für die (A - \lambda I) nicht invertierbar.
• Unterschiedliche Arten: Punkt-, kontinuierliches und Residualspektrum.

Satz von Hahn-Banach und seine Anwendung

Definition:

Zentraler Satz der Funktionalanalysis; ermöglicht die Fortsetzung linearer Funktionale unter Erhaltung der Norm.

Details:

• Satz: Jedes beschränkte lineare Funktional auf einem Unterraum eines normierten Raums kann zu einem beschränkten linearen Funktional auf dem gesamten Raum fortgesetzt werden, ohne dass sich die Norm ändert.
• Formel: Sei p eine Sublinearform auf einem Vektorraum E, U ein linearer Unterraum von E und f ein lineares Funktional auf U, so gibt es ein lineares Funktional F auf E mit F_|U = f und F(x) ≤ p(x) für alle x ∈ E.
• Anwendungen: Dualräume, Existenz stetiger linearer Funktionale, Separationssätze, Momentenprobleme.

Gesetze der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz in Stochastik

Definition:

Gesetze der großen Zahlen: beschreiben das Verhalten des Durchschnitts großer Zufallsstichproben. Zentraler Grenzwertsatz: beschreibt die Annäherung der Summe unabhängiger Zufallsvariablen an die Normalverteilung, unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung.

Details:

• Gesetze der großen Zahlen: Konvergenz gegen den Erwartungswert bei großer Stichprobe
• Schwach: \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{n \to \infty} \mu\)
• Stark: \(P(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mu) = 1\)
• Zentraler Grenzwertsatz: Summe normalisiert \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\), \(\frac{S_n - n \cdot \mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)\)

Nullstellensatz von Hilbert in der algebraischen Geometrie

Definition:

Nullstellensatz von Hilbert verknüpft Ideale in Polynomringen mit algebraischen Mengen. Zentral in der algebraischen Geometrie; beschreibt die Beziehung zwischen Nullstellenmengen und idealen Strukturen.

Details:

• Schwache Form: Ein Ideal I in k[x1, ..., xn] hat genau dann die Nullstellenmenge V(I) leer, wenn I = k[x1, ..., xn].
• Starke Form: Für ein Ideal I in k[x1, ..., xn] und ein Polynom f verschwindet f auf V(I) genau dann, wenn f^m ∈ I für ein m ∈ ℕ.
• Applications: Primärzerlegungen, Dimensionstheorie, Varietät-Definitionen.

Numerische Lösung von Differentialgleichungen

Definition:

Verfahren zur approximativen Lösung von Differentialgleichungen mithilfe von digitalen Rechnern und numerischen Methoden.

Details:

• Explizite Verfahren (Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren)
• Implizite Verfahren (Trapezregel, implizite Runge-Kutta-Verfahren)
• Fehlerschätzer und adaptive Schrittweitensteuerung
• Stabilitätsanalyse und Steifigkeitsüberlegungen
• Partielle Differentialgleichungen (Finite-Differenzen-Methode, Finite-Elemente-Methode)

Fehleranalyse und Konvergenztheorie in der Numerischen Mathematik

Definition:

Analyse der Genauigkeit und der Stabilität numerischer Verfahren sowie deren Verhalten bei Annäherung an die exakte Lösung.

Details:

• Ziel: Abschätzung und Minimierung des Fehlers im Lösungsprozess
• Fehlerarten: Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Iterationsfehler
• Stabilität: Untersuchung, ob kleine Änderungen in den Eingangsdaten zu geringfügigen Änderungen im Ergebnis führen
• Konvergenz: Prüfen, ob eine Sequenz von Näherungslösungen gegen die exakte Lösung konvergiert
• Fehlerabschätzung: Verfahren zur Bestimmung der Fehlergrenzen von numerischen Lösungen
• Konditionszahl: Kriterium zur Bestimmung der Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Änderungen der Eingangsdaten

Phasenportraits und Stabilitätsanalyse in dynamischen Systemen

Definition:

Phasenportraits visualisieren die Trajektorien eines dynamischen Systems im Phasenraum. Stabilitätsanalyse untersucht das Verhalten von Gleichgewichtspunkten.

Details:

• Phasenportraits: Graphische Darstellung der Trajektorien
• Schlüsselinformationen: Fließrichtung, Flusspfade, Attraktoren
• Stabilitätsanalyse: Untersuche Gleichgewichtspunkte
• Kriterien: Eigenschaft von Eigenwerten der Jacobimatrix
• Gleichgewichtspunkt: \(f(x^*) = 0\)
• Stabilität: Eigenwerte \( \text{Re}(\text{Eigenwert}) < 0 \)
• Instabilität: Eigenwerte \( \text{Re}(\text{Eigenwert}) > 0 \)
• Haltest und Periodizität beachten