Seminar - Exam

Aufgabe 1)

Analyse und Anwendung von Normen, Metriken und inneren ProduktenBetrachte den normierten Vektorraum \((V, \text{Norm})\) sowie den metrischen Raum \((V, d)\) und den innerproduktiven Raum \((V, \text{Inneres Produkt})\). Gegeben seien die Definitionen und Eigenschaften der Norm, der Metrik und des inneren Produkts. Verwende diese Informationen, um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

(a) Berechnung der Norm:Gegeben sei der Vektorraum \(V = \mathbb{R}^2\) mit der Norm \(\|\cdot\|\) definiert durch \(\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\) für \(\mathbf{x} = (x_1, x_2)\).Aufgabe: Berechne die Norm der Vektoren \(\mathbf{a} = (3, 4)\) und \(\mathbf{b} = (-1, 2)\). Prüfe, ob die Berechnungen die Normeigenschaften erfüllen.

Lösung:

Analyse und Anwendung von Normen, Metriken und inneren ProduktenTeil (a) Berechnung der Norm:Gegeben sei der Vektorraum \(V = \mathbb{R}^2\) mit der Norm \(\|\cdot\|\) definiert durch \(\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}\) für \(\mathbf{x} = (x_1, x_2)\).Aufgabe: Berechne die Norm der Vektoren \(\mathbf{a} = (3, 4)\) und \(\mathbf{b} = (-1, 2)\). Prüfe, ob die Berechnungen die Normeigenschaften erfüllen. Berechnung der Norm der Vektoren:

• Für den Vektor \(\mathbf{a} = (3, 4)\), berechnen wir die Norm wie folgt: \(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
• Für den Vektor \(\mathbf{b} = (-1, 2)\), berechnen wir die Norm wie folgt:\(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)

Prüfung der Normeigenschaften:

• Positive Definitheit: \(\|\mathbf{a}\| = 5 > 0\) und \(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{5} > 0\), falls \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\) keine Nullvektoren sind.
• Homogenität: Für ein Skalar \(\lambda\) und einem Vektor \(\mathbf{x} = (x_1, x_2)\) muss gelten, dass \(\|\lambda \mathbf{x}\| = |\lambda| \|\mathbf{x}\|\). Wenn wir für \(\mathbf{a} = (3, 4)\) und \(\lambda = 2\) dies überprüfen, dann erhalten wir: \(\|2 \mathbf{a}\| = \|2 (3, 4)\| = \|(6, 8)\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) und \(2 \|\mathbf{a}\| = 2 \cdot 5 = 10\). Dies bestätigt die Homogenität.
• Dreiecksungleichung: Für zwei Vektoren \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\) muss gelten, dass \(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \leq \|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\|\). Überprüfen wir dies für \(\mathbf{a} = (3, 4)\) und \(\mathbf{b} = (-1, 2)\): \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3 - 1, 4 + 2) = (2, 6)\) \(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| = \|(2, 6)\| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\) \(\|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\| = 5 + \sqrt{5}\) Da \(2\sqrt{10} \leq 5 + \sqrt{5}\), ist die Dreiecksungleichung erfüllt.

Ergebnis: Die Normen der Vektoren \(\mathbf{a} = (3, 4)\) und \(\mathbf{b} = (-1, 2)\) sind \(5\) bzw. \(\sqrt{5}\). Diese Berechnungen erfüllen die Eigenschaften der Norm (Positive Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung).

b)

(b) Untersuchung der Metrikeigenschaften:Es sei die Metrik \(d\) auf \(\mathbb{R}^2\) definiert durch \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|\).Aufgabe: Zeige, dass \(d\) eine Metrik ist, indem Du die drei Metrikeigenschaften nachweist:

• \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \geq 0\)
• \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = d(\mathbf{y}, \mathbf{x})\)
• Die Dreiecksungleichung: \(d(\mathbf{x}, \mathbf{z}) + d(\mathbf{z}, \mathbf{y}) \geq d(\mathbf{x}, \mathbf{y})\)

Lösung:

Analyse und Anwendung von Normen, Metriken und inneren ProduktenTeil (b) Untersuchung der Metrikeigenschaften:Es sei die Metrik \(d\) auf \(\mathbb{R}^2\) definiert durch \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|\).Aufgabe: Zeige, dass \(d\) eine Metrik ist, indem Du die drei Metrikeigenschaften nachweist:

• \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \geq 0\)
• \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = d(\mathbf{y}, \mathbf{x})\)
• Die Dreiecksungleichung: \(d(\mathbf{x}, \mathbf{z}) + d(\mathbf{z}, \mathbf{y}) \geq d(\mathbf{x}, \mathbf{y})\)

Nachweis der Metrikeigenschaften:1. Positive Definitheit:Für alle \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^2\) gilt: \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| \geq 0\). Dies folgt direkt aus der Definition der Norm, da eine Norm immer nicht-negativ ist. Zusätzlich gilt: \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0\) genau dann, wenn \(\mathbf{x} = \mathbf{y}\).2. Symmetrie: Für alle \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^2\) gilt: \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \|-(\mathbf{y} - \mathbf{x})\| = \|\mathbf{y} - \mathbf{x}\| = d(\mathbf{y}, \mathbf{x})\). Dies folgt aus der Tatsache, dass die Norm eines Vektors und seines negativen Vektors gleich sind.3. Dreiecksungleichung: Für alle \(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^2\) gilt: \(d(\mathbf{x}, \mathbf{z}) + d(\mathbf{z}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{z}\| + \|\mathbf{z} - \mathbf{y}\| \geq \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = d(\mathbf{x}, \mathbf{y})\). Dies ist eine direkte Folge der Dreiecksungleichung für Normen: Für irgendwelche Vektoren \(\mathbf{a}\) und \(\mathbf{b}\) und \(\mathbf{c}\) gilt immer, dass \(\|\mathbf{a} + \mathbf{b}\| \leq \|\mathbf{a}\| + \|\mathbf{b}\|\). Hier setzt man \(\mathbf{a} = \mathbf{x} - \mathbf{z}\) und \(\mathbf{b} = \mathbf{z} - \mathbf{y}\). Ergebnis: Die Metrik \(d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|\) erfüllt alle drei Metrikeigenschaften: Positive Definitheit, Symmetrie und Dreiecksungleichung. Damit ist \(d\) eine gültige Metrik.

c)

(c) Anwendung des inneren Produkts:Gegeben sei der Vektorraum \(V = \mathbb{R}^3\) mit dem inneren Produkt \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3\).Aufgabe: Berechne das innere Produkt der Vektoren \(\mathbf{u} = (1,2,3)\) und \(\mathbf{v} = (4,5,6)\). Zeige, dass die Eigenschaften der Linearität, Symmetrie und positiven Definitheit erfüllt sind.

Lösung:

Analyse und Anwendung von Normen, Metriken und inneren ProduktenTeil (c) Anwendung des inneren Produkts:Gegeben sei der Vektorraum \(V = \mathbb{R}^3\) mit dem inneren Produkt \(\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3\).Aufgabe: Berechne das innere Produkt der Vektoren \(\mathbf{u} = (1,2,3)\) und \(\mathbf{v} = (4,5,6)\). Zeige, dass die Eigenschaften der Linearität, Symmetrie und positiven Definitheit erfüllt sind. Berechnung des inneren Produkts: Für die Vektoren \(\mathbf{u} = (1,2,3)\) und \(\mathbf{v} = (4,5,6)\) berechnen wir das innere Produkt wie folgt:

• \( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32 \)

Nachweis der Eigenschaften:1. Linearität: Das innere Produkt ist linear in jedem Argument. Das bedeutet für zwei Vektoren \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\) und für Skalare \(\alpha, \beta\):

• \(\langle \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = \alpha \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + \beta \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle \)

Überprüfung der Linearität:Sei \(\mathbf{u} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{v} = (4, 5, 6)\) und \(\mathbf{w} = (7, 8, 9)\), sowie \(\alpha = 2\) und \(\beta = 3\):

• \(\alpha \mathbf{u} = 2 \cdot (1, 2, 3) = (2, 4, 6)\)
• \(\beta \mathbf{v} = 3 \cdot (4, 5, 6) = (12, 15, 18)\)
• \(\alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} = (2, 4, 6) + (12, 15, 18) = (14, 19, 24)\)
• \(\langle (14, 19, 24), (7, 8, 9) \rangle = 14 \cdot 7 + 19 \cdot 8 + 24 \cdot 9 = 98 + 152 + 216 = 466\)
• \(\langle 2 \mathbf{u} + 3 \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 2 \langle \mathbf{u}, \mathbf{w} \rangle + 3 \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle\)
• \(\langle (1, 2, 3), (7, 8, 9) \rangle = 1 \cdot 7 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 9 = 7 + 16 + 27 = 50\)
• \(\langle (4, 5, 6), (7, 8, 9) \rangle = 4 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 9 = 28 + 40 + 54 = 122\)
• \(2 \cdot 50 + 3 \cdot 122 = 100 + 366 = 466\)

Damit ist die Linearität nachgewiesen.2. Symmetrie: Für alle \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\) gilt: \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\). Dies folgt direkt aus der Definition des inneren Produkts:

• \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3 = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\)

3. Positive Definitheit: Für alle \(\mathbf{u} \in V\) gilt: \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \geq 0\) und \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = 0\) genau dann, wenn \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\).

• \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2\) Da die Quadrate reeller Zahlen immer nicht-negativ sind, ist \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \geq 0\).
• \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = 0\) genau dann, wenn \(u_1 = u_2 = u_3 = 0\), also \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\).

Ergebnis: Das innere Produkt \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\) erfüllt die Eigenschaften der Linearität, Symmetrie und positiven Definitheit.

Aufgabe 3)

Kontext: Der Hahn-Banach-Satz ist ein fundamentaler Satz in der Funktionalanalysis, der die Fortsetzung beschränkter linearer Funktionale von einem Unterraum eines normierten Raumes auf den gesamten Raum ermöglicht, ohne dass sich die Norm ändert. Dieser Satz hat zahlreiche Anwendungen, einschließlich der Dualräume, der Existenz stetiger linearer Funktionale, Separationssätze und Momentenprobleme.

d)

Teilaufgabe 4: Angenommen, \(X\) ist ein normierter Raum und \(A\subseteq X\) ist eine kompakte Menge. Zeige, wie der Hahn-Banach-Satz als Werkzeug verwendet werden kann, um das Momentenproblem für die Menge \(A\) zu lösen.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe 4:

• Das Momentenproblem für eine kompakte Menge \(A\) in einem normierten Raum \(X\) besteht darin, ein lineares Funktional \(F\) zu finden, das bestimmten Momentenbedingungen entspricht. Wir zeigen nun Schritt für Schritt, wie der Hahn-Banach-Satz verwendet werden kann, um dieses Problem zu lösen.
• Angenommen, wir haben eine kompakte Menge \(A \subseteq X\) und eine Familie von Funktionen \(\{\phi_i\}_{i \in I}\). Wir möchten ein Funktional \(F\) finden, das die Momentenbedingungen \(F(\phi_i) = m_i\) für gegebene Momente \(m_i\) erfüllt.
• Wir gehen dabei wie folgt vor:
• Schritt 1: Bestimme einen geeigneten Unterraum \(U\) von \(X\).
• Betrachte den Unterraum \(U = \text{span}(\{\phi_i\}_{i \in I})\), der von der Familie der Funktionen \(\{\phi_i\}_{i \in I}\) erzeugt wird.
• Schritt 2: Definiere auf diesem Unterraum ein lineares Funktional \(f\).
• Setze \(f : U \to \mathbb{R}\) so, dass \(f(\phi_i) = m_i\) für alle \(i \in I\). Da \(f\) linear ist, können wir für eine beliebige Linearkombination \(\sum \alpha_i \phi_i \in U\) setzen:
• \(f\left( \sum \alpha_i \phi_i \right) = \sum \alpha_i f(\phi_i) = \sum \alpha_i m_i\)
• Schritt 3: Wähle eine passende Sublinearform \(p\).
• Setze \(p: X \to \mathbb{R}\) so, dass \(p(x) = K \|x\|\) für eine geeignete Konstante \(K\geq \sup\{|m_i|\ :\ i \in I\}\). Dies gewährleistet, dass \(f(u) \leq p(u)\) für alle \(u \in U\) gilt.
• Schritt 4: Wende den Hahn-Banach-Satz an.
• Nach dem Hahn-Banach-Satz existiert ein lineares Funktional \(F: X \to \mathbb{R}\), das \(f\) fortsetzt und dieselbe Norm hat, das heißt:
• \(F(x) = f(x)\) für alle \(x \in U\)
• \(F(x) \leq p(x) = K \|x\|\) für alle \(x \in X\)
• Schritt 5: Überprüfe, dass die Momentenbedingungen erfüllt sind:
• Da \(F\) eine Fortsetzung von \(f\) ist, gilt insbesondere:
• \(F(\phi_i) = f(\phi_i) = m_i\) für alle \(i \in I\)
• Zusammengefasst: Der Hahn-Banach-Satz erlaubt es uns, ein Funktional \(f\) von einem Unterraum \(U\) auf den gesamten Raum \(X\) fortzusetzen und dabei die Norm beizubehalten. Dies wird erreicht, indem eine Sublinearform \(p\) als Schranke verwendet wird. Im Momentenproblem stellt die Sublinearform sicher, dass die Momentenbedingungen erfüllt werden, woraus die Existenz des gewünschten Funktionals \(F\) folgt.

Aufgabe 4)

Gesetze der großen Zahlen und zentraler Grenzwertsatz in StochastikGesetze der großen Zahlen beschreiben das Verhalten des Durchschnitts großer Zufallsstichproben. Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt die Annäherung der Summe unabhängiger Zufallsvariablen an die Normalverteilung, unabhängig von der zugrundeliegenden Verteilung.

• Gesetze der großen Zahlen: Konvergenz gegen den Erwartungswert bei großer Stichprobe
• Schwach: \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{n \to \infty} \mu\)
• Stark: \(\text{P}(\text{lim}_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mu) = 1\)
• Zentraler Grenzwertsatz: Summe normalisiert \(\S_n = \sum_{i=1}^n X_i\), \(\frac{S_n - n \cdot \mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)\)

a)

Gegeben sei eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \[...\], X_n\) mit Erwartungswert \(E(X_i) = 5\) und Varianz \(Var(X_i) = 4\). Zeige, dass gemäß dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, der Durchschnitt dieser Zufallsvariablen gegen 5 konvergiert. Formuliere und beweise die notwendige Ungleichung.

Lösung:

Beweis gemäß dem schwachen Gesetz der großen Zahlen:Wir sind gegeben eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) mit Erwartungswert \(E(X_i) = 5\) und Varianz \(Var(X_i) = 4\). Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Durchschnitt dieser Zufallsvariablen gegen den Erwartungswert konvergiert. Formal möchten wir zeigen, dass \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{n \to \infty} 5\).Wir verwenden die Tschebyscheff-Ungleichung, um dies zu beweisen. Die Tschebyscheff-Ungleichung lautet:

• \[P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right)}{\epsilon^2}\]

Da die Zufallsvariablen unabhängig und identisch verteilt sind, können wir die Varianz der Durchschnittsfolge berechnen:

• \[Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} Var\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)\]

Da die Zufallsvariablen unabhängig sind, gilt:

• \[Var\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n Var(X_i) = n \, Var(X_i)\]

Setzen wir \(Var(X_i) = 4\) ein, ergibt sich:

• \[Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 4 = \frac{4}{n}\]

Setzen wir dies in die Tschebyscheff-Ungleichung ein, erhalten wir:

• \[P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - 5\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{4}{n \epsilon^2}\]

Wenn \(n\rightarrow \infty\) geht, konvergiert die rechte Seite gegen 0:

• \[\frac{4}{n \epsilon^2} \rightarrow 0\]

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchschnitt \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\) sich weit von 5 entfernt, gegen 0 konvergiert.Zusammenfassung:

• Wir haben gezeigt, dass gemäß dem schwachen Gesetz der großen Zahlen der Durchschnitt einer Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) mit Erwartungswert \(E(X_i) = 5\) und Varianz \(Var(X_i) = 4\) gegen 5 konvergiert.

b)

Betrachte dieselbe Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \[...\], X_n\). Zeige, wie der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann, um die Verteilung der Summe \(S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\) zu bestimmen, wenn \(n\) groß wird. Berechne die Standardabweichung der normalisierten Summe.

Lösung:

Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes:Wir betrachten dieselbe Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) mit Erwartungswert \(E(X_i) = 5\) und Varianz \(Var(X_i) = 4\). Unser Ziel ist es, den zentralen Grenzwertsatz (ZGS) anzuwenden, um die Verteilung der Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) zu bestimmen, wenn \(n\) groß wird.Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen (bei großer Stichprobe) einer Normalverteilung folgt. Formal gilt:

• \[\frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)\]

Hierbei steht \(\xrightarrow{d}\) für die Konvergenz in Verteilung. \(S_n\) ist die Summe der Zufallsvariablen, \(\mu\) ist der Erwartungswert, und \(\sigma\) die Standardabweichung der einzelnen Zufallsvariable.Setzen wir die gegebenen Werte ein:

• \(\mu = 5\)
• \(\sigma = \sqrt{Var(X_i)} = \sqrt{4} = 2\)

Da \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\), haben wir:

• \[\frac{S_n - 5n}{2\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)\]

Das bedeutet, dass wenn \(n\) groß ist, die standardisierte Summe von \(X_i\) approximativ einer Standardnormalverteilung \(N(0,1)\) folgt.Normalisierung der Summe:Wir interessieren uns nun für \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\). Wir können schreiben:

• \[\frac{1}{n} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \bar{X}_n\]

um die Verteilung dieser normalisierten Summe zu bestimmen, standardisieren wir \(\bar{X}_n\):

• \[\frac{\bar{X}_n - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - 5}{\frac{2}{\sqrt{n}}} \xrightarrow{d} N(0,1)\]

Daraus folgt, dass \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\) approximativ einer Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu = 5\) und Standardabweichung \(\frac{2}{\sqrt{n}}\) folgt.Berechnung der Standardabweichung der normalisierten Summe:Die Standardabweichung der normalisierten Summe \(\frac{1}{n} S_n\) bzw. \(\bar{X}_n\) ist:

• \[\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n}}\]

Zusammenfassung:

• Wir haben gezeigt, dass die Verteilung der Summe \(S_n\) gemäß dem zentralen Grenzwertsatz, bei großem \(n\), approximativ einer Normalverteilung folgt.
• Die normalisierte Summe \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \bar{X}_n\) folgt ebenfalls einer Normalverteilung mit Erwartungswert \(5\) und Standardabweichung \(\frac{2}{\sqrt{n}}\).

c)

Beschreibe die Bedeutung des starken Gesetzes der großen Zahlen im Kontext des gegebenen Zufallsprozesses. Wie unterscheidet sich die Aussagekraft des starken Gesetzes von der des schwachen Gesetzes der großen Zahlen? Erkläre dies anhand formeller Definitionen und gib ein Beispiel an, wie diese Gesetze in der Praxis angewendet werden könnten.

Lösung:

Bedeutung des starken Gesetzes der großen Zahlen im Kontext des gegebenen Zufallsprozesses:Das starke Gesetz der großen Zahlen (SGGLZ) besagt, dass die Folge der Durchschnittswerte einer Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen fast sicher gegen den Erwartungswert konvergiert. Dies bedeutet, dass für eine gegebene Sequenz von Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) mit Erwartungswert \(\mu\) gilt:

• \[ \text{P}\left(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} \sum_{{i=1}}^{{n}} X_i = \mu \right) = 1 \]

Dies bedeutet, dass der Durchschnitt \(\frac{1}{n} \sum_{{i=1}}^n X_i\) nahezu sicher gegen den Erwartungswert \(\mu\) konvergiert, wenn \(n\) gegen unendlich geht.Unterschiede zwischen schwachem und starkem Gesetz der großen Zahlen:

• Schwaches Gesetz der großen Zahlen (SGGLZ): Dieses Gesetz besagt, dass der Durchschnitt der Zufallsvariablen in Wahrscheinlichkeit gegen den Erwartungswert konvergiert. Formal ausgedrückt:\[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{n \to \infty} \mu\]

Dies bedeutet, dass für jede positive Zahl \(\epsilon\)

• \[ \text{P}\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu \right| \geq \epsilon \right) \rightarrow 0 \text{ wenn } n \rightarrow \infty \]

• Starkes Gesetz der großen Zahlen (SGLZ): Dieses Gesetz besagt, dass der Durchschnitt der Zufallsvariablen fast sicher gegen den Erwartungswert konvergiert. Formal ausgedrückt:\[ \text{P}\left(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} \sum_{{i=1}}^{{n}} X_i = \mu \right) = 1 \]

Dies ist eine stärkere Aussage als das SGGLZ, da es fast sichere Konvergenz anstatt Konvergenz in Wahrscheinlichkeit behandelt.Beispiel für die Anwendung in der Praxis:Angenommen, wir analysieren die durchschnittlichen täglichen Umsätze eines kleinen Unternehmens:

• Schwaches Gesetz: Wenn wir eine große Stichprobe täglicher Umsätze betrachten, können wir erwarten, dass der Durchschnitt dieser Umsätze in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren durchschnittlichen täglichen Umsatz konvergiert. Dies bedeutet, dass bei genügend großen Datenmengen, die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchschnitt der Umsätze weit vom tatsächlichen Durchschnitt entfernt ist, gegen Null geht.
• Starkes Gesetz: Dies gibt uns die Sicherheit, dass der Durchschnitt der täglichen Umsätze tatsächlich fast immer gegen den wahren Durchschnitt konvergiert, wenn wir eine große Anzahl von Beobachtungen betrachten. Das Unternehmen kann daher fast sicher sein, dass es bei ausreichend langer Beobachtungszeit seine tatsächlichen durchschnittlichen täglichen Einnahmen kennt und somit fundierte Geschäftsentscheidungen treffen kann.

Zusammengefasst liefert das starke Gesetz der großen Zahlen eine stärkere und verlässlichere Aussage über die Konvergenz des Durchschnitts von Zufallsvariablen als das schwache Gesetz der großen Zahlen.