Statistik und Verhaltensbiologie - Exam

Aufgabe 1)

Stellen Sie sich vor, Sie erforschen das Verhalten einer bestimmten Vogelart in einem abgegrenzten Gebiet. Sie messen die tägliche Aktivität (in Stunden) von 10 Vögeln über einen Zeitraum von zwei Wochen. Die aufgezeichneten Daten für die tägliche Aktivität der Vögel sind wie folgt:

• Vogel 1: 2, 3, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4
• Vogel 2: 1, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3
• Vogel 3: 4, 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 4
• Vogel 4: 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1

a)

Berechnen Sie den Mittelwert Berechnen Sie den Mittelwert der täglichen Aktivität für jeden der vier Vögel. Nutzen Sie die Formel: \(\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\)

• Erklären Sie, was der Mittelwert in diesem Zusammenhang über die tägliche Aktivität der Vögel aussagt.

Lösung:

Berechnung des Mittelwertes der täglichen Aktivität

Lass uns nun die durchschnittliche tägliche Aktivität für jeden der vier Vögel berechnen. Wir verwenden dazu die folgende Formel:

$\backslash overline\{x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i$

Hierbei ist n die Anzahl der Tage (14) und x_i die tägliche Aktivität (in Stunden).

Berechnung für jeden Vogel:

• Vogel 1:
  • Summe der täglichen Aktivitäten: 2 + 3 + 4 + 3 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 5 + 2 + 4 + 3 + 4 = 49
  • Anzahl der Tage: 14
  • Mittelwert: $\backslash overline\{x\}\; =\; \backslash frac\{49\}\{14\}\; =\; 3.5$
• Vogel 2:
  • Summe der täglichen Aktivitäten: 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 3 = 32
  • Anzahl der Tage: 14
  • Mittelwert: $\backslash overline\{x\}\; =\; \backslash frac\{32\}\{14\}\; =\; 2.29$
• Vogel 3:
  • Summe der täglichen Aktivitäten: 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 4 + 4 + 5 + 4 = 62
  • Anzahl der Tage: 14
  • Mittelwert: $\backslash overline\{x\}\; =\; \backslash frac\{62\}\{14\}\; =\; 4.43$
• Vogel 4:
  • Summe der täglichen Aktivitäten: 1 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 26
  • Anzahl der Tage: 14
  • Mittelwert: $\backslash overline\{x\}\; =\; \backslash frac\{26\}\{14\}\; =\; 1.86$

Interpretation des Mittelwertes

• Der Mittelwert gibt die durchschnittliche tägliche Aktivität eines Vogels über den Zeitraum von zwei Wochen an.
• Ein hoher Mittelwert deutet darauf hin, dass der Vogel tendenziell aktiver ist.
• Ein niedriger Mittelwert zeigt weniger Aktivität des Vogels an.

c)

Berechnen Sie den Modus Bestimmen Sie den Modus der täglichen Aktivität für jeden der vier Vögel.

• Diskutieren Sie die Bedeutung des Modus in Bezug auf die Häufigkeit der täglichen Aktivität der Vögel und weshalb der Modus in einer statistischen Analyse hilfreich sein könnte.

Lösung:

Berechnung des Modus der täglichen Aktivität

Der Modus ist der Wert, der in einem Datensatz am häufigsten vorkommt. Lass uns den Modus für jeden der vier Vögel bestimmen.

Bestimmung des Modus

• Vogel 1:
  • Daten: 2, 3, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4
  • Modus: 3 und 4 (beide kommen fünfmal vor)
• Vogel 2:
  • Daten: 1, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3
  • Modus: 2 (kommt siebenmal vor)
• Vogel 3:
  • Daten: 4, 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 4
  • Modus: 4 (kommt neunmal vor)
• Vogel 4:
  • Daten: 1, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1
  • Modus: 2 (kommt siebenmal vor)

Erklärung der Bedeutung des Modus

• Der Modus ist ein wichtiger statistischer Wert, da er den häufigsten Wert in einer Datenreihe anzeigt.
• Im Zusammenhang mit der täglichen Aktivität der Vögel gibt der Modus Aufschluss darüber, welche Aktivitätsstufe am häufigsten vorkommt.
• Der Modus ist besonders nützlich, wenn die Daten eine Verteilung haben, die nicht normal ist, oder wenn es mehrere Werte gibt, die gleich häufig auftauchen. Dies kann auf eine Vorliebe der Vögel für bestimmte Aktivitätslevel hinweisen.

d)

Dateninterpretation Vergleichen Sie die errechneten Mittelwerte, Medians und Modi für die täglichen Aktivitäten der vier Vögel.

• Erläutern Sie, welche Unterschiede oder Gemeinsamkeiten in den Aktivitätsmustern der Vögel auftauchen und wie diese Ergebnisse unter Berücksichtigung von Mittelwert, Median und Modus zu interpretieren sind.
• Geben Sie mögliche biologische oder verhaltensbedingte Gründe für die beobachteten Unterschiede in den Aktivitätsmustern an.

Lösung:

Dateninterpretation

Nachdem wir die Mittelwerte, Medians und Modi für die täglichen Aktivitäten der vier Vögel berechnet haben, schauen wir uns die Ergebnisse an und vergleichen sie.

Zusammengefasste Berechnungen

• Vogel 1:
  • Mittelwert: 3.5
  • Median: 3.5
  • Modi: 3 und 4
• Vogel 2:
  • Mittelwert: 2.29
  • Median: 2
  • Modus: 2
• Vogel 3:
  • Mittelwert: 4.43
  • Median: 4
  • Modus: 4
• Vogel 4:
  • Mittelwert: 1.86
  • Median: 2
  • Modus: 2

Unterschiede und Gemeinsamkeiten in den Aktivitätsmustern

• Vögel 1 und 3 weisen sowohl einen höheren Mittelwert als auch höhere Medians und Modi auf. Dies bedeutet, dass diese beiden Vögel tendenziell aktiver sind als Vögel 2 und 4.
• Vögel 2 und 4 haben ähnliche Median- und Moduswerte, was darauf hindeutet, dass ihre tägliche Aktivität häufiger auf etwa 2 Stunden fällt. Diese beiden Vögel sind insgesamt weniger aktiv als Vögel 1 und 3.
• Vogel 3 zeigt ein konsistentes Aktivitätsmuster mit einer starken Häufung bei 4 Stunden pro Tag, was durch den mittleren Wert (Median) und den Modus unterstützt wird.

Interpretation der Ergebnisse

• Der Mittelwert gibt den durchschnittlichen Aktivitätsgrad des Vogels an, was uns einen allgemeinen Überblick über das Aktivitätsniveau der Vögel gibt.
• Der Median ist wichtig, um die mittlere Aktivitätsstufe zu erkennen und ist weniger anfällig für Ausnahmefälle als der Mittelwert.
• Der Modus zeigt die häufigste Aktivitätsstufe der Vögel an, was hilfreich ist, um zu verstehen, wie oft bestimmte Aktivitätslevel vorkommen.
• Die Kombination dieser drei statistischen Werte bietet einen umfassenden Überblick über das Aktivitätsmuster der Vögel.

Mögliche biologische oder verhaltensbedingte Gründe

• Biologische Unterschiede: Die unterschiedlichen Aktivitätsniveaus könnten auf Unterschiede im Alter, Geschlecht oder Gesundheitszustand der Vögel zurückzuführen sein.
• Verhaltensunterschiede: Vögel könnten unterschiedliche Tagesabläufe oder Vorlieben für bestimmte Tageszeiten haben. Beispielsweise könnten einige Vögel eher am Morgen aktiv sein, während andere ihre Aktivität auf den Nachmittag konzentrieren.
• Umweltfaktoren: Externe Faktoren wie Wetterbedingungen, Verfügbarkeit von Nahrung und die Anwesenheit von Raubtieren könnten ebenfalls eine Rolle spielen.
• Soziale Interaktionen: Die Präsenz anderer Vögel und soziale Hierarchien könnten das Aktivitätsmuster beeinflussen, da dominantere Vögel möglicherweise mehr oder weniger aktiv sind als ihre Artgenossen.

Aufgabe 2)

Betrachte eine Population, von der das arithmetische Mittel \( \bar{x} \) und die Standardabweichung \( \sigma \) unbekannt sind. Um den wahren Mittelwert der Population zu schätzen, hast Du eine Stichprobe der Größe \( n = 50 \) gezogen und dabei einen Stichprobenmittelwert von \( \bar{x} = 68 \) und eine Stichprobenstandardabweichung von \( s = 3,5 \) erhalten. Berechne und interpretiere nun ein 95%-Konfidenzintervall und ein 99%-Konfidenzintervall für den Populationsmittelwert.

a)

(a) Bestimme das 95%-Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert der Population. Verwende hierbei den entsprechenden \(z \)-Wert für ein 95% Konfidenzniveau und berücksichtige, dass die Populationsstandardabweichung unbekannt ist. Berechne das Intervall und interpretiere das Resultat im Kontext der Daten. Beachte, dass die Stichprobengröße hinreichend groß ist, sodass der Stichprobenmittelwert normalverteilt ist.

Lösung:

Um das 95%-Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert der Population zu berechnen, verwenden wir die Formel für das Konfidenzintervall, wenn die Populationsstandardabweichung unbekannt ist:

\[ \bar{x} \text{ ± } t_{\frac{α}{2}, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

• \[ \bar{x} \text{ = } 68 \] (Stichprobenmittelwert)
• \[ s \text{ = } 3,5 \] (Stichprobenstandardabweichung)
• \[ n \text{ = } 50 \] (Stichprobengröße)
• \[ t_{\frac{α}{2}, n-1} \] (kritischer t-Wert für 95% Konfidenzniveau und 49 Freiheitsgrade)

Zuerst bestimmen wir dem kritischen t-Wert für ein 95%-Konfidenzniveau und 49 Freiheitsgrade (n - 1). Dafür verwenden wir gängige t-Tabellen oder einen t-Wert-Rechner:

\[ t_{\frac{0,05}{2}, 49} \text{ ≈ } 2,0096 \]

Setzen wir die Werte in die Konfidenzintervall-Formel ein:

\[ 68 \text{ ± } 2,0096 \frac{3,5}{\text{ √ } 50} \]

Berechnen wir den Standardfehler:

\[ \frac{3,5}{ \text{ √ } 50} \text{ ≈ } 0,4949 \]

Nun berechnen wir die Grenze des Konfidenzintervalls:

\[ 2,0096 * 0,4949 \text{ ≈ } 0,9940 \]

Somit liegt der Konfidenzintervall bei:

\[ 68 \text{ ± } 0,9940 \]

\[ ( 67,006 \text{ bis } 68,994 ) \]

Interpretation: Wir sind zu 95% sicher, dass der wahre Mittelwert der Population zwischen 67,006 und 68,994 liegt.

b)

(b) Bestimme das 99%-Konfidenzintervall für denselben wahren Mittelwert der Population. Verwende hierbei den entsprechenden \(z \)-Wert für ein 99% Konfidenzniveau. Berechne das Intervall und erkläre, wie sich das Konfidenzintervall im Vergleich zum 95%-Konfidenzintervall geändert hat und warum.

Lösung:

Um das 99%-Konfidenzintervall für den wahren Mittelwert der Population zu berechnen, verwenden wir eine ähnliche Methode wie bei dem 95%-Konfidenzintervall, wobei wir den entsprechenden t-Wert für ein 99%-Konfidenzniveau verwenden.

Die Formel für das Konfidenzintervall lautet:

\[ \bar{x} \text{ ± } t_{\frac{α}{2}, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \]

• \[ \bar{x} \text{ = } 68 \] (Stichprobenmittelwert)
• \[ s \text{ = } 3,5 \] (Stichprobenstandardabweichung)
• \[ n \text{ = } 50 \] (Stichprobengröße)
• \[ t_{\frac{α}{2}, n-1} \] (kritischer t-Wert für 99% Konfidenzniveau und 49 Freiheitsgrade)

Zuerst bestimmen wir den kritischen t-Wert für ein 99%-Konfidenzniveau und 49 Freiheitsgrade (n - 1). Dafür verwenden wir gängige t-Tabellen oder einen t-Wert-Rechner:

\[ t_{\frac{0,01}{2}, 49} \text{ ≈ } 2,678 \]

Setzen wir die Werte in die Konfidenzintervall-Formel ein:

\[ 68 \text{ ± } 2,678 \frac{3,5}{\text{ √ } 50} \]

Berechnen wir den Standardfehler:

\[ \frac{3,5}{ \text{ √ } 50} \text{ ≈ } 0,4949 \]

Nun berechnen wir die Grenze des Konfidenzintervalls:

\[ 2,678 * 0,4949 \text{ ≈ } 1,3258 \]

Somit liegt das Konfidenzintervall bei:

\[ 68 \text{ ± } 1,3258 \]

\[ ( 66,6742 \text{ bis } 69,3258 ) \]

Interpretation: Wir sind zu 99% sicher, dass der wahre Mittelwert der Population zwischen 66,6742 und 69,3258 liegt.

Vergleich zum 95%-Konfidenzintervall: Das 99%-Konfidenzintervall ist breiter als das 95%-Konfidenzintervall. Dies liegt daran, dass ein höheres Konfidenzniveau (99% im Vergleich zu 95%) eine größere Sicherheit in der Schätzung des Mittelwerts erfordert. Um diese erhöhte Sicherheit zu gewährleisten, muss das Intervall breiter sein, um den wahren Populationsmittelwert mit der höheren Wahrscheinlichkeit zu enthalten.

Aufgabe 3)

In einer wissenschaftlichen Untersuchung wird ein Hypothesentest durchgeführt, um zu prüfen, ob eine neue Lernmethode die mathematischen Fähigkeiten von Studierenden verbessert. Du führst einen zweiseitigen Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von \(\text{\alpha = 0.05}\). Es wird angenommen, dass die neue Lernmethode keinen Effekt hat (Nullhypothese). Die Alternativhypothese besagt, dass die neue Lernmethode einen Effekt auf die mathematischen Fähigkeiten hat. Angenommen, die Teststatistik folgt einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von \(\mu_0 = 0\) unter der Nullhypothese und einer Standardabweichung von \(\sigma = 1\). In der Untersuchung wird eine Stichprobe von \(n = 50\) Studierenden getestet und der Testwert \(Z\) berechnet.

a)

Berechne den kritischen Wert \(Z_{crit}\), ab welchem die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau \(\alpha = 0.05\) abgelehnt wird. Zeige die Schritte und formuliere die Entscheidungsregel.

Lösung:

Kritischen Wert berechnen

• 1. Signifikanzniveau verteilen

  Da es sich um einen zweiseitigen Test handelt, wird das Signifikanzniveau auf beide Enden der Normalverteilung verteilt. Das bedeutet, dass für jede Seite ein Signifikanzniveau von \(\frac{\alpha}{2} = 0.025\) gilt.

• 2. Kritische Z-Werte bestimmen

  Verwende eine Z-Tabelle oder normierte Verteilungstabellen, um die Z-Werte zu finden, die den oberen und unteren 2.5% der Verteilung entsprechen. Diese Z-Werte sind symmetrisch um den Mittelwert von 0 verteilt.

3. Kritische Z-Werte aus der Tabelle ablesen

• Für \(\alpha = 0.025\) ist der Z-Wert etwa \(Z_{crit} = 1.96\) für den oberen Bereich und \(-Z_{crit} = -1.96\) für den unteren Bereich der Verteilung.

4. Entscheidungsregel formulieren

• Wenn der berechnete Testwert \(Z\) größer als \(1.96\) oder kleiner als \(-1.96\) ist, wird die Nullhypothese abgelehnt. Andernfalls wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Zusammenfassend gilt:

• Nullhypothese ablehnen, wenn: \(Z > 1.96\) oder \(Z < -1.96\)
• Nullhypothese nicht ablehnen, wenn: \(-1.96 \leq Z \leq 1.96\)

b)

Angenommen, der tatsächliche Mittelwert unter der neuen Lernmethode beträgt \(\mu_a = 0.5\). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art \((\beta)\) zu begehen und die Teststärke \((1-\beta)\). Zeige Deine Berechnungen ausführlich.

Lösung:

Teststärke und Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art berechnen

• 1. Kritische Werte bestimmen

  Wie im vorherigen Teil berechnet, sind die kritischen Z-Werte für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.05\) bei einem zweiseitigen Test \(Z_{crit} = ±1.96\).

• 2. Teststatistik unter der Alternativhypothese umrechnen

  Bei der Alternativhypothese beträgt der tatsächliche Mittelwert \(\mu_a = 0.5\). Wir müssen die kritischen Z-Werte in die entsprechende Teststatistik unter der Alternativhypothese umrechnen.

3. Standardfehler berechnen

\[SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{50}} ≈ 0.1414\]

4. Kritische Werte in die Originalskala umrechnen

Die kritischen Werte unter der Alternativhypothese sind:\[X_{crit} = \mu_0 + Z_{crit} \times SE = 0 + 1.96 \times 0.1414 ≈ 0.277\] und\[X_{crit} = \mu_0 - Z_{crit} \times SE = 0 - 1.96 \times 0.1414 ≈ -0.277\]

5. Z-Werte unter der Alternativhypothese berechnen

Wir berechnen die Z-Werte für \(X_{crit_L} = -0.277\) und \(X_{crit_U} = 0.277\) unter der Alternativhypothese:\[Z_{L} = \frac{-0.277 - 0.5}{0.1414} ≈ -5.5\] und \[Z_{U} = \frac{0.277 - 0.5}{0.1414} ≈ -1.6\]

6. Wahrscheinlichkeiten aus der Z-Tabelle ablesen

Die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Z-Wert in den entsprechenden Bereichen liegt, sind:\[P(Z ≤ -1.6) ≈ 0.0548\] und\[P(Z ≤ -5.5) ≈ 0.0000\] (praktisch 0)Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik nicht in diesen Bereichen liegt, ist:\[\beta = P(Z ≥ -5.5) - P(Z ≤ -1.6) ≈ 1 - 0.0548 = 0.9452\]

7. Teststärke berechnen

Die Teststärke (\(1-\beta\)) ist:\[1-\beta ≈ 1 - 0.9452 = 0.0548\]

Zusammenfassend beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art etwa 94.52%, und die Teststärke beträgt etwa 5.48%.

Aufgabe 4)

In einem Gebiet mit begrenzten Nahrungsressourcen leben zwei Populationen von Füchsen, die unterschiedliche Jagdstrategien entwickelt haben. Population A verfolgt eine Solostratgie, während Population B in Teams jagt. Beide Strategien haben evolutionäre Anpassungen durchlaufen, um die Fitness der jeweiligen Population zu maximieren.

a)

1. Adaptive Werte von Verhalten: Beschreibe, welche adaptive Vorteile die Solo-Jagdstrategie (Population A) und die Team-Jagdstrategie (Population B) jeweils für die Fitness der Füchse haben könnten. Berücksichtige dabei Faktoren wie Nahrungsversorgung, Energieaufwand und Gefahr durch Räuber.

Lösung:

1. Adaptive Werte von Verhalten:Die Solo-Jagdstrategie (Population A) und die Team-Jagdstrategie (Population B) haben jeweils spezifische adaptive Vorteile, die für die Fitness der Füchse von Bedeutung sind. Hier sind die Potenziale für beide Strategien dargelegt:

• Solo-Jagdstrategie (Population A):
  • Nahrungsversorgung: Ein Fuchs, der alleine jagt, muss keine Beute mit anderen teilen. Das bedeutet, dass die gesamte erbeutete Nahrung ihm zugutekommt, was insbesondere in Gebieten mit begrenzten Ressourcen von Vorteil sein kann.
  • Energieaufwand: Alleinige Jagd kann energieeffizienter sein, da keine Koordination mit anderen Füchsen erforderlich ist. Die Füchse müssen keine Energie aufwenden, um mit anderen zu kommunizieren oder ihre Beuteverteilung zu koordinieren.
  • Gefahr durch Räuber: Ein einzelner Fuchs ist beweglicher und hat möglicherweise eine größere Chance, Räubern zu entkommen, ohne auf andere Rücksicht nehmen zu müssen. Dazu kommt, dass eine geringere Gruppendichte möglicherweise weniger Aufmerksamkeit von größeren Räubern auf sich zieht.
• Team-Jagdstrategie (Population B):
  • Nahrungsversorgung: Die Team-Jagd kann effektiver sein, wenn die Beute schwierig zu fangen ist oder wenn größere Beutetiere bevorzugt werden, die ein einzelner Fuchs nicht alleine erlegen könnte. Dies könnte zu einer höheren Erfolgsquote und nachhaltigeren Nahrungsversorgung führen.
  • Energieaufwand: Obwohl die Koordination Energie kosten kann, kann die Arbeitsteilung während der Jagd den individuellen Energieaufwand reduzieren. Füchse können spezialisierte Rollen übernehmen (z.B. Treiber und Jäger), die zu einer effektiveren Jagd führen.
  • Gefahr durch Räuber: Die Gruppe kann durch kollektives Verhalten potenzielle Räuber abschrecken oder verwirren. Auch die gegenseitige Wachsamkeit kann die Wahrscheinlichkeit verringern, vom Räuber überrascht zu werden.

b)

2. Kosten-Nutzen-Analyse: Führe eine Kosten-Nutzen-Analyse für beide Jagdstrategien durch. Berücksichtige dabei energetische Kosten, Zeitaufwand und die Wahrscheinlichkeit des Jagderfolgs.

Lösung:

2. Kosten-Nutzen-Analyse:Um die Effizienz der beiden Jagdstrategien zu beurteilen, müssen die energetischen Kosten, der Zeitaufwand und die Erfolgswahrscheinlichkeit der Jagd in Betracht gezogen werden. Hier ist eine detaillierte Kosten-Nutzen-Analyse für die Solo- und Team-Jagdstrategien:

• Solo-Jagdstrategie (Population A):
  • Kosten:
    • Energetische Kosten: Ein einzelner Fuchs muss all seine Energie für die Suche, Verfolgung und Jagd der Beute aufwenden. Ohne Unterstützung von anderen Füchsen kann dies zu einem hohen Energieverbrauch führen, insbesondere bei Misserfolgen.
    • Zeitaufwand: Da der Fuchs alleine jagt, muss er mehr Zeit in die Suche und Verfolgung investieren. Die Effizienz ist hierbei geringer, da keine Arbeitsaufteilung oder Koordination möglich ist.
  • Nutzen:
    • Wahrscheinlichkeit des Jagderfolgs: Wenn die Beute leicht zu fangen ist oder sich die Umgebung gut auf die Solo-Jagd eignet, kann ein einzelner Fuchs erfolgreich sein. Der Erfolg hängt stark von den individuellen Fähigkeiten und Erfahrungen des Fuchses ab.
    • Nahrungsmittelverteilung: Bei erfolgreicher Jagd erhält der Fuchs die gesamte Beute für sich alleine, was einen signifikanten Nutzen für seine Energiespeicher und Fitness darstellt.
• Team-Jagdstrategie (Population B):
  • Kosten:
    • Energetische Kosten: Obwohl einzelne Teammitglieder durch spezialisierte Rollen Energie sparen können, benötigt die Koordination und Kommunikation während der Jagd zusätzliche Energie.
    • Zeitaufwand: Die Team-Jagd erfordert eine gewisse Zeit für die Planung und Koordination. Dies könnte die Jagdzeit gegenüber Solo-Jägern erhöhen.
  • Nutzen:
    • Wahrscheinlichkeit des Jagderfolgs: Die Team-Jagd ist oft erfolgreicher, besonders bei schwieriger oder größerer Beute, durch gemeinsame Strategien und Unterstützungsmaßnahmen.
    • Nahrungsmittelverteilung: Obwohl die Beute geteilt werden muss, kann die höhere Erfolgsquote und möglicherweise größere Beute den individuellen Anteil trotzdem ausreichend hoch halten. Darüber hinaus erhöht die Zusammenarbeit die Überlebenschancen der Gruppe insgesamt.

c)

3. Überlebens- und Reproduktionsvorteile:Analysiere die Auswirkungen der jeweiligen Jagdstrategien auf die Überlebens- und Reproduktionsrate der Füchse in beiden Populationen, unter Berücksichtigung der Anpassungsfähigkeit gegenüber wechselnden Umweltbedingungen.

Lösung:

3. Überlebens- und Reproduktionsvorteile:Die Jagdstrategien der beiden Populationen haben unterschiedliche Auswirkungen auf deren Überlebens- und Reproduktionsraten. Diese Effekte werden durch die Anpassungsfähigkeit gegenüber wechselnden Umweltbedingungen weiter beeinflusst. Im Folgenden werden die Überlebens- und Reproduktionsvorteile der Solo- und Team-Jagdstrategien analysiert:

• Solo-Jagdstrategie (Population A):
  • Überlebensvorteile:
    • Flexibilität: Einzelne Füchse können schnell auf Veränderungen in der Umwelt reagieren. Wenn die Nahrungsressourcen knapp werden, können sie leichter neue Gebiete erkunden oder ihre Jagdtechniken anpassen, ohne auf andere Rücksicht nehmen zu müssen.
    • Räuber-Vermeidung: Einzeln jagende Füchse ziehen weniger Aufmerksamkeit von Räubern auf sich, was ihre Überlebenschancen erhöhen kann.
  • Reproduktionsvorteile:
    • Individuelle Ressourcennutzung: Da ein einzelner Fuchs die erbeutete Nahrung nicht teilen muss, kann er größere Energiemengen für Wachstum, Erhaltung und Fortpflanzung nutzen, was seine Reproduktionsrate erhöht.
    • Nachkommenschaft: Gut angepasste Einzeljäger können unter günstigen Bedingungen ihre Gene effizient weitergeben und ihre Nachkommenschaft stärken.
• Team-Jagdstrategie (Population B):
  • Überlebensvorteile:
    • Kollektive Stärke: Die Gruppe kann sich besser gegen größere Beute und potenzielle Bedrohungen verteidigen. Durch Teamarbeit können sie größere Beutetiere zur Strecke bringen, was die Nahrungsversorgung stabilisiert.
    • Räuber-Abschreckung: Gruppenjagd kann durch gemeinschaftliche Verteidigung und Wachsamkeit das Risiko von Räuberangriffen reduzieren.
  • Reproduktionsvorteile:
    • Soziale Unterstützung: Die soziale Struktur innerhalb der Gruppe kann Paarungs- und Aufzuchtmöglichkeiten verbessern. Die Zusammenarbeit bei der Aufzucht der Jungtiere kann die Überlebensrate der Nachkommen erhöhen.
    • Stabile Nahrungsressourcen: Größere und häufigere Jagderfolge können zu einer stabileren Nahrungsversorgung führen, was die allgemeine Gesundheit und reproduktive Fitness der Füchse in der Gruppe begünstigt.
• Anpassungsfähigkeit gegenüber wechselnden Umweltbedingungen:
  • Die Solo-Jagdstrategie ermöglicht schnelle individuelle Anpassungen, wohingegen die Team-Jagdstrategie von der kollektiven Anpassung und Unterstützung innerhalb der Gruppe profitiert. Beide Strategien bieten daher unterschiedliche, aber effektive Mittel zur Bewältigung wechselnder Umweltbedingungen. Während der Solo-Jäger flexibel auf Veränderungen reagieren kann, bietet die Team-Jagdstrategie Stabilität und Sicherheit durch gemeinschaftliche Bewältigungsstrategien.

d)

4. Optimierung von Ressourcennutzung: Entwickle mathematische Modelle, um die optimale Ressourcennutzung für Population A und Population B zu berechnen. Formuliere die Gleichungen für die Ressourcennutzung und optimiere sie gegebenenfalls mithilfe der natürlichen Selektion. Du kannst dafür z.B. ein vereinfachtes Modell der Ressourcennutzung durch Lotka-Volterra-Gleichungen verwenden:

Lösung:

4. Optimierung von Ressourcennutzung:Mathematische Modelle können uns helfen, die optimale Ressourcennutzung für die Populationen A (Solo-Jagd) und B (Team-Jagd) zu berechnen. Dabei können wir die Lotka-Volterra-Gleichungen verwenden, um die Dynamik zwischen Füchsen und ihren verfügbaren Nahrungsressourcen zu modellieren.

• Grundannahmen und Variablen:
  • \(R(t)\): Ressourcenmenge zur Zeit \(t\)
  • \(A(t)\): Anzahl der Füchse in Population A zur Zeit \(t\) (Solo-Jäger)
  • \(B(t)\): Anzahl der Füchse in Population B zur Zeit \(t\) (Team-Jäger)
  • \(\alpha_A\): Wachstumsrate der Ressourcen bei Nutzung durch Population A
  • \(\beta_A\): Ressourcenverbrauchsrate von Population A
  • \(\gamma_A\): Wachstumsrate der Füchse in Population A
  • \(\delta_A\): Sterberate der Füchse in Population A
  • \(\alpha_B\): Wachstumsrate der Ressourcen bei Nutzung durch Population B
  • \(\beta_B\): Ressourcenverbrauchsrate von Population B
  • \(\gamma_B\): Wachstumsrate der Füchse in Population B
  • \(\delta_B\): Sterberate der Füchse in Population B
• Mathematische Modelle:Für Population A (Solo-Jagd):

  \[ \frac{dR_A}{dt} = \alpha_A R_A - \beta_A A R_A \] \[ \frac{dA}{dt} = \gamma_A A R_A - \delta_A A \]

Für Population B (Team-Jagd):

\[ \frac{dR_B}{dt} = \alpha_B R_B - \beta_B B R_B \] \[ \frac{dB}{dt} = \gamma_B B R_B - \delta_B B \]

\[ \frac{dR_A}{dt} = 0 \rightarrow \alpha_A R_A - \beta_A A R_A = 0 \] \[ \frac{dA}{dt} = 0 \rightarrow \gamma_A A R_A - \delta_A A = 0 \]

\[ \frac{dR_B}{dt} = 0 \rightarrow \alpha_B R_B - \beta_B B R_B = 0 \] \[ \frac{dB}{dt} = 0 \rightarrow \gamma_B B R_B - \delta_B B = 0 \]

• Durch das Lösen dieser Gleichungen können wir die optimalen Werte für \(R_A\), \(A\), \(R_B\) und \(B\) ermitteln, die eine stabile Population und nachhaltige Ressourcennutzung gewährleisten.
• Die natürliche Selektion begünstigt Füchse, die Ressourcen effizient nutzen, was zu einer Anpassung der Populationsgrößen und -strukturen führt.

e)

 \[\frac{dN}{dt} = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right) - \frac{cNP}{1 + dN}\] \[\frac{dP}{dt} = e \frac{cNP}{1 + dN} - mP\]

Lösung:

Um die optimalen Jagdstrategien der Füchse zu modellieren, passen wir die gegebenen modifizierten Lotka-Volterra-Gleichungen an. Gehen wir daher Schritt für Schritt vor:Die gegebenen Gleichungen sind:

\[\frac{dN}{dt} = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right) - \frac{cNP}{1 + dN}\] \[\frac{dP}{dt} = e \frac{cNP}{1 + dN} - mP\]

• \(N\): Beutepopulation (hier: Ressourcenmenge)
• \(P\): Räuberpopulation (hier: Füchse)
• \(r\): intrinsische Wachstumsrate der Beutepopulation
• \(K\): Tragekapazität der Umgebung
• \(c\): Fangrate der Füchse
• \(d\): Sättigungseffekt der Beutepopulation auf die Fangrate
• \(e\): Effizienz der Nahrungsumwandlung in neue Füchse
• \(m\): Sterberate der Füchse

\[\frac{dR_A}{dt} = rR_A \left(1 - \frac{R_A}{K}\right) - \frac{cR_A A}{1 + dR_A}\]\[\frac{dA}{dt} = e \frac{cR_A A}{1 + dR_A} - mA\]

\[\frac{dR_B}{dt} = rR_B \left(1 - \frac{R_B}{K}\right) - \frac{cR_B B}{1 + dR_B}\]\[\frac{dB}{dt} = e \frac{cR_B B}{1 + dR_B} - mB\]

• Um die optimalen Ressourcennutzungspunkte für beide Populationen zu berechnen, setzen wir die Änderungsraten gleich Null und lösen die Gleichungen:
Für Population A:

\[\frac{dR_A}{dt} = 0 \rightarrow rR_A \left(1 - \frac{R_A}{K}\right) - \frac{cR_A A}{1 + dR_A} = 0\]\[\frac{dA}{dt} = 0 \rightarrow e \frac{cR_A A}{1 + dR_A} - mA = 0\]

\[\frac{dR_B}{dt} = 0 \rightarrow rR_B \left(1 - \frac{R_B}{K}\right) - \frac{cR_B B}{1 + dR_B} = 0\]\[\frac{dB}{dt} = 0 \rightarrow e \frac{cR_B B}{1 + dR_B} - mB = 0\]

• Durch das Lösen dieser Gleichungen erhalten wir die optimalen Werte für \(R_A\), \(A\), \(R_B\) und \(B\), die eine stabile Population und nachhaltige Ressourcennutzung sicherstellen.
• Die natürliche Selektion fördert die Füchse, die die Ressourcen effizient nutzen können, wodurch die Populationsgrößen und -strukturen entsprechend angepasst werden.