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Egal, ob Zusammenfassung, Altklausur, Karteikarten oder Mitschriften - hier findest du alles für den Studiengang Bachelor of Science Mathematik

Karteikarten Zusammenfassungen Altklausuren Test Forum

Universität Erlangen-Nürnberg

Bachelor of Science Mathematik

Prof. Dr.

2024

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Topologie - Cheatsheet
Topologie - Cheatsheet Definition und Eigenschaften von offenen und abgeschlossenen Mengen Definition: In einer Topologie sind offene und abgeschlossene Mengen zentrale Begriffe. Details: Eine Menge ist offen, wenn für jedes ihrer Elemente eine Umgebung existiert, die vollständig in der Menge enthalten ist. Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. In einer topologischen Raum ge...

Topologie - Cheatsheet

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Topologie - Exam
Topologie - Exam Aufgabe 1) Betrachte den topologischen Raum (X, τ) mit der Menge X = \{a, b, c, d\} und der Topologie τ = \{\{\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c, d\}\}. Eine Liste der Eigenschaften offener und abgeschlossener Mengen ist wie folgt definiert: Eine Menge ist offen, wenn für jedes ihrer Elemente eine Umgebung existiert, die vollständig in der Menge enthalten ist. Eine Menge ist abgesc...

Topologie - Exam

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Wann gilt eine Menge in einer Topologie als offen?

Wann gilt eine Menge in einer Topologie als abgeschlossen?

Welche Mengen sind in einem topologischen Raum sowohl offen als auch abgeschlossen?

Was ist eine Basis in der Topologie?

Wie erzeugt eine Subbasis eine Basis in der Topologie?

Wie kann man eine Topologie \(\tau\) durch Basiselemente darstellen?

Definieren Sie das T0-Axiom in der Topologie.

Was besagt das T2 (Hausdorff)-Axiom?

Beschreiben Sie das T4-Axiom (Normal).

Was ist ein Banachraum?

Wodurch zeichnet sich ein vollständiger Raum aus?

Nenne ein Beispiel für einen Banachraum.

Was versteht man unter einem Filter in der Topologie?

Wie werden Netze in der Topologie definiert?

Was ist der Nutzen von Filtern und Netzen in der Topologie?

Was besagt der Satz von Tychonoff?

Was ist die Bedingung für Kompaktheit laut dem Satz von Heine-Borel im \(\mathbb{R}^n\)?

Wie lautet die Formel für das Kartesische Produkt kompakter Räume im Satz von Tychonoff?

Was ist ein zusammenhängender Raum?

Was ist ein wegzusammenhängender Raum?

Welche Aussage über zusammenhängende und wegzusammenhängende Räume ist wahr?

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Diese Konzepte musst du verstehen, um Topologie an der Universität Erlangen-Nürnberg zu meistern:

01
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Grundlagen der Topologie

Einführung in die grundlegenden Konzepte und Definitionen der Topologie. Behandelt werden die Basen und Subbasen sowie die verschiedenen Arten von Umgebungen in topologischen Räumen.

  • Definition und Eigenschaften von offenen und abgeschlossenen Mengen
  • Basis und Subbasis einer Topologie
  • Filter und Netze als Verallgemeinerung der Folgen
  • Topologische Basisoperationen
  • Beziehungen zwischen verschiedenen Topologien
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02
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Metrische Räume

Erforschung der Eigenschaften metrischer Räume als Spezialfall topologischer Räume. Diskutiert werden die Konvergenz, Vollständigkeit und Abstandsbegriffe.

  • Definition eines metrischen Raums
  • Konvergente und Cauchy-Folgen
  • Vollständigkeit und Banachräume
  • Isomorphismen zwischen metrischen Räumen
  • Metrische topologische Begriffe
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03
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Topologische Räume

Untersuchung der allgemeine Struktur topologischer Räume, die keine Metrik voraussetzen. Fokus auf Trennungsaxiomen und Basis- und Subbasisbildung.

  • Definition und Beispiele topologischer Räume
  • Trennungsaxiome (T0, T1, T2, usw.)
  • Netze und Filter in topologischen Räumen
  • Zusammenhänge zwischen verschiedenen topologischen Eigenschaften
  • Produkte und Koprodukte topologischer Räume
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Kontinuität

Untersuchung der kontinuierlichen Funktionen zwischen topologischen Räumen. Eigenschaften und Beispiele von stetigen und gleichmäßig stetigen Abbildungen.

  • Definition stetiger Funktionen
  • Offene und abgeschlossene Abbildungen
  • Gleichmäßige Stetigkeit
  • Homöomorphismen
  • Fortsetzungssätze für stetige Funktionen
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Kompaktheit und Zusammenhang

Analyse der kompakter und zusammenhängender Räume sowie deren Bedeutung in der Mathematik. Untersuchung der verschiedenen Arten von Kompaktheiten und Zusammenhangsbegriffen.

  • Definition und Eigenschaften kompakter Räume
  • Lokale Kompaktheit und Parakompaktheit
  • Zusammenhängende und wegzusammenhängende Räume
  • Sätze von Tychonoff und Heine-Borel
  • Anwendungen von Kompaktheit und Zusammenhang
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Alles Wichtige zu diesem Kurs an der Universität Erlangen-Nürnberg

Topologie an Universität Erlangen-Nürnberg - Überblick

Der Kurs 'Topologie', angeboten im Rahmen des Mathematikstudiums an der Universität Erlangen-Nürnberg, bietet eine detaillierte Einführung in die grundlegenden Konzepte der Topologie. Diese Vorlesung, die im Wintersemester stattfindet, ist darauf ausgelegt, Dir fundierte Kenntnisse in diesem wichtigen Teilgebiet der Mathematik zu vermitteln. Sie besteht aus wöchentlichen Vorlesungen und Übungen, die parallel stattfinden. Die wöchentliche Vorlesung dauert zwei Stunden, gefolgt von einer einstündigen Übung, in der Du das Gelernte anwenden und vertiefen kannst. Die Prüfungsleistung wird am Ende des Semesters in Form einer schriftlichen Klausur erbracht. Zu den wichtigsten Themen, die im Laufe des Semesters behandelt werden, gehören Grundlagen der Topologie, metrische Räume, topologische Räume, Kontinuität, Kompaktheit und zusammenhängende Räume.

Wichtige Informationen zur Kursorganisation

Kursleiter: Prof. Dr.

Modulstruktur: Die Vorlesung besteht aus wöchentlichen Vorlesungen und Übungen. Jede Woche gibt es eine zweistündige Vorlesung und eine einstündige Übung.

Studienleistungen: Die Prüfungsleistung erfolgt in Form einer schriftlichen Klausur am Ende des Semesters.

Angebotstermine: Die Vorlesung wird im Wintersemester angeboten.

Curriculum-Highlights: Grundlagen der Topologie, metrische Räume, topologische Räume, Kontinuität, Kompaktheit, zusammenhängende Räume

So bereitest Du Dich optimal auf die Prüfung vor

Beginne frühzeitig mit dem Lernen, idealerweise schon zu Beginn des Semesters, um Dir die nötige theoretische Basis anzueignen.

Nutze verschiedene Ressourcen, wie Bücher, Übungsaufgaben, Karteikarten und Probeklausuren, um dein Wissen zu vertiefen.

Schließe Dich Lerngruppen an und tausche Dich mit anderen Studierenden aus, um gemeinsam Lösungsstrategien zu entwickeln.

Vergiss nicht, regelmäßige Pausen einzulegen und in diesen Zeiten komplett abzuschalten, um eine Überbelastung zu vermeiden.

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