Topologie - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte den topologischen Raum (X, τ) mit der Menge X = \{a, b, c, d\} und der Topologie τ = \{\{\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c, d\}\}. Eine Liste der Eigenschaften offener und abgeschlossener Mengen ist wie folgt definiert:

• Eine Menge ist offen, wenn für jedes ihrer Elemente eine Umgebung existiert, die vollständig in der Menge enthalten ist.
• Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
• In einem topologischen Raum gelten die leere Menge und der gesamte Raum als sowohl offen als auch abgeschlossen.
• Schnitt endlich vieler offener Mengen ist offen, und Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
• Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen, und Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

a)

Verifiziere, ob die Menge \{b, c\} offen ist. Begründe Deine Antwort mit Hilfe der Definition einer offenen Menge.

Lösung:

Lass uns überprüfen, ob die Menge \{b, c\} offen ist. Dazu verwenden wir die Definition einer offenen Menge.

• Eine Menge ist offen, wenn für jedes ihrer Elemente eine Umgebung existiert, die vollständig in der Menge enthalten ist.

Nach Definition ist eine Menge \{b, c\} in der Topologie \(\tau\) offen, wenn jede Umgebung der einzelnen Elemente (b und c) vollständig in \{b, c\} enthalten ist.

• Für das Element b:
• Die möglichen Umgebungen von b gemäß \(\tau\) sind: \(\{a, b\}\), \(\{a, b, c, d\}\).
• Von diesen liegt nur \(\{a, b\}\) innerhalb von \(\{b, c\}\).
• Für das Element c:
• Die möglichen Umgebungen von c gemäß \(\tau\) sind: \(\{b, c\}\), \(\{a, b, c, d\}\).
• Von diesen liegt nur \(\{b, c\}\) innerhalb von \(\{b, c\}\).

Da die Topologie \(\tau\) speziell die Menge \(\{b, c\}\) enthält und für beide Elemente gültige Umgebungen existieren (\(\{b, c\}\)), ist die Menge \{b, c\} offen.

b)

Zeige, dass die Menge \{a, c, d\} in der gegebenen Topologie abgeschlossen ist.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Menge \{a, c, d\} in der gegebenen Topologie abgeschlossen ist, müssen wir gemäß der Definition einer abgeschlossenen Menge prüfen, ob ihr Komplement offen ist.

• Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

Betrachten wir die Menge \{a, c, d\} in dem Raum X = \{a, b, c, d\}:

• Das Komplement von \{a, c, d\} ist \{b\}.

Nun überprüfen wir, ob das Komplement \{b\} in der gegebenen Topologie \(\tau\) offen ist:

• \(\tau\) = \{\{\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c, d\}\}

Eine Menge ist offen, wenn sie in der Topologie \(\tau\) enthalten ist. Das Komplement \{b\} ist jedoch nicht direkt in \(\tau\) enthalten. Es sind lediglich die Mengen \{a, b\} und \{b, c\} in der Topologie \(\tau\) vorhanden, die b als Teilmenge enthalten. Da \{b\} nicht in der Topologie \(\tau\) enthalten ist, ist es nicht offen.

Folglich ist das Komplement \{b\} nicht offen. Daher ist die Menge \{a, c, d\} abgeschlossen.

c)

Berechne die Vereinigung der Mengen \{a, b\} und \{b, c\}. Ist die resultierende Menge offen? Begründe.

Lösung:

Um die Vereinigung der Mengen \{a, b\} und \{b, c\} zu berechnen, nehmen wir einfach alle Elemente, die in einer der beiden Mengen enthalten sind, und fassen sie zusammen:

• \{a, b\} \cup \{b, c\} = \{a, b, c\}

Nun prüfen wir, ob die resultierende Menge \{a, b, c\} in der gegebenen Topologie \(\tau\) offen ist.

• Eine Menge ist offen, wenn sie in der Topologie \(\tau\) enthalten ist.
• Die gegebene Topologie \(\tau\) ist \{\{\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c, d\}\}.

Beim Überprüfen stellen wir fest, dass die Menge \{a, b, c\} nicht direkt in der Topologie \(\tau\) enthalten ist.

Da \{a, b, c\} nicht zu den Mengen in der Topologie \(\tau\) gehört, ist die resultierende Menge \{a, b, c\} nicht offen.

Daher ist die Vereinigung der Mengen \{a, b\} und \{b, c\}, also \{a, b, c\}, nicht offen.

d)

Überprüfe, ob der Schnitt der Mengen \{a, b\} und \{b, c\} offen oder abgeschlossen ist. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Lass uns den Schnitt der Mengen \{a, b\} und \{b, c\} berechnen:

• Der Schnitt von \{a, b\} und \{b, c\} ist \{b\}.

Nun überprüfen wir, ob dieser Schnitt, also die Menge \{b\}, offen oder abgeschlossen ist.

Offenheit:

• Eine Menge ist offen, wenn sie in der Topologie \(\tau\) enthalten ist.
• Die gegebene Topologie \(\tau\) lautet: \{\{\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c, d\}\}
• Wir sehen, dass die Menge \{b\} nicht direkt in der Topologie \(\tau\) enthalten ist.

Daher ist die Menge \{b\} nicht offen.

Abgeschlossenheit:

• Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

Berechnen wir das Komplement von \{b\} im Raum X = \{a, b, c, d\}:

• Das Komplement von \{b\} ist \{a, c, d\}.

Überprüfen wir nun, ob das Komplement \{a, c, d\} offen ist:

• Die Mengen der Topologie \(\tau\) sind: \{\{\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, b, c, d\}\}
• Die Menge \{a, c, d\} befindet sich nicht in der Topologie \(\tau\).

Da die Menge \{a, c, d\} damit nicht offen ist, ist die Menge \{b\} nicht abgeschlossen.

Zusammenfassend ist der Schnitt der Mengen \{a, b\} und \{b, c\}, also die Menge \{b\}, weder offen noch abgeschlossen.

Aufgabe 3)

Betrachte den topologischen Raum \(X, \tau\), wobei \(X = \{a, b, c\} \) und \(\tau = \{ \{ \}, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \}\).

• Überprüfe, ob der Raum die Trennungsaxiome T0, T1, und T2 erfüllt.
• Wenn ja, begründe dies, und wenn nein, gib ein Gegenbeispiel oder einen Gegenbeweis an.

a)

Untersuche das Trennungsaxiom T0 (Kolmogorov) für den gegebenen Raum:Untersuche Paar für Paar in \(X = \{a, b, c\} \) und bestimme, ob es jeweils eine offene Menge in \(\tau\) gibt, die genau einen in dem Paar enthalten ist.

Lösung:

Um das Trennungsaxiom T0 (Kolmogorov) für den gegebenen Raum zu überprüfen, müssen wir alle Paare von Elementen in X untersuchen und prüfen, ob es für jedes Paar eine offene Menge in \(\tau\) gibt, die genau eines der beiden Elemente enthält.

• Menge X: \( X = \{a, b, c\} \)
• Topologie: \( \tau = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \} \)

Untersuchen wir nun alle möglichen Paare:

• Paar (a, b):Hier müssen wir prüfen, ob es eine offene Menge gibt, die a aber nicht b enthält und umgekehrt.
  • Die Menge \( \{a\} \) enthält a, aber nicht b. Somit ist diese Bedingung erfüllt.
• Paar (a, c):Hier müssen wir prüfen, ob es eine offene Menge gibt, die a aber nicht c enthält und umgekehrt.
  • Die Menge \( \{a\} \) enthält a, aber nicht c. Somit ist diese Bedingung erfüllt.
• Paar (b, c):Hier müssen wir prüfen, ob es eine offene Menge gibt, die b aber nicht c enthält und umgekehrt.
  • Es gibt keine offene Menge, die b enthält aber nicht c, da die einzige Menge, die b enthält, \( \{a, b\} \) ist, die auch a enthält. Es gibt keine offene Menge, die nur b enthält.

Da das Paar (b, c) keine offene Menge in \(\tau\) hat, die b aber nicht c oder c aber nicht b enthält, erfüllt der gegebene Raum nicht das Trennungsaxiom T0.

b)

Untersuche das Trennungsaxiom T1 (Frechet) für den gegebenen Raum:Überprüfe, ob für je zwei verschiedene Punkte in \(X\), zum Beispiel für \(a, b\) und \(b, c\), offene Mengen existieren, die jeweils nur einen der Punkte enthalten. Gib ein Beispiel oder Gegenbeispiel für jede Kombination an.

Lösung:

Um das Trennungsaxiom T1 (Fréchet) für den gegebenen topologischen Raum zu überprüfen, müssen wir feststellen, ob für je zwei verschiedene Punkte in \( X = \{a, b, c\} \) offene Mengen existieren, die jeweils nur einen der Punkte enthalten.

• Menge X: \( X = \{a, b, c\} \)
• Topologie: \( \tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \} \)

Untersuchen wir nun alle möglichen Paare von Punkten:

• Paar (a, b):
  • Die Menge \( \{a\} \) ist offen und enthält a, aber nicht b.
  • Eine Menge, die b, aber nicht a, enthält, existiert jedoch nicht in der Topologie \(\tau\). Die einzige Menge, die b enthält, ist \( \{a, b\} \), die auch a enthält.
  Da nicht für beide Punkte jeweils eine Menge existiert, die den einen aber nicht den anderen Punkt enthält, erfüllt das Paar (a, b) nicht das Axiom T1.
• Paar (a, c):
  • Die Menge \( \{a\} \) ist offen und enthält a, aber nicht c.
  • Es gibt keine Menge, die c, aber nicht a enthält. Die Mengen \( \{a, b, c\} \) und \( \{a, b\} \) enthalten beide c und a.
  Auch dieses Paar erfüllt das Axiom T1 nicht, da nicht für beide Punkte jeweils eine Menge existiert, die den einen aber nicht den anderen Punkt enthält.
• Paar (b, c):
  • Es gibt keine Menge, die b, aber nicht c enthält. Die einzige Menge, die b enthält, ist \( \{a, b\} \), die auch c enthält.
  • Es gibt auch keine Menge, die c, aber nicht b enthält, wie oben erklärt.
  Auch für das Paar (b, c) existieren keine Mengen, die jeweils nur einen der Punkte enthalten. Somit erfüllt dieses Paar ebenfalls nicht das Axiom T1.

Da keine der untersuchten Punktpaare die Bedingungen des Trennungsaxioms T1 vollständig erfüllen, erfüllt der Raum \( X, \tau \) das Trennungsaxiom T1 insgesamt nicht.

c)

Untersuche das Trennungsaxiom T2 (Hausdorff) für den gegebenen Raum:Prüfe, ob für je zwei verschiedene Punkte in \(X\), wie zum Beispiel für \(a, b\), \(a, c\), und \(b, c\), disjunkte offene Mengen existieren, die jeweils einen der Punkte enthalten. Gib eine Begründung für jede Kombination, falls zutreffend.

Lösung:

Um das Trennungsaxiom T2 (Hausdorff) für den gegebenen topologischen Raum zu überprüfen, müssen wir feststellen, ob für je zwei verschiedene Punkte in X, disjunkte offene Mengen existieren, die jeweils einen der Punkte enthalten.

• Menge X: \(X = \{a, b, c\}\)
• Topologie: \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\}\}\)

Untersuchen wir nun alle möglichen Paare von Punkten:

• Paar (a, b):
  • Die Menge \(\{a\}\) ist offen und enthält a.
  • Es gibt keine Menge in \(\tau\), die b enthält und disjunkt zur Menge \(\{a\}\) ist.
  Da keine disjunkten offenen Mengen existieren, die a und b trennen, erfüllt das Paar (a, b) nicht das Axiom T2.
• Paar (a, c):
  • Die Menge \(\{a\}\) ist offen und enthält a.
  • Es gibt keine Menge in \(\tau\), die c enthält und disjunkt zur Menge \(\{a\}\) ist.
  Da keine disjunkten offenen Mengen existieren, die a und c trennen, erfüllt das Paar (a, c) nicht das Axiom T2.
• Paar (b, c):
  • Es gibt keine Menge in \(\tau\), die b enthält und disjunkt zu einer Menge ist, die c enthält. Die Menge \(\{a, b\}\) enthält b, aber ist nicht disjunkt zu \(\{a\}\), da \(\{a\}\) auch a enthält, was in \(\{a, b\}\) enthalten ist.
  • Ebenso gibt es keine Menge, die c enthält und disjunkt zu einer Menge ist, die b enthält.
  Da keine disjunkten offenen Mengen existieren, die b und c trennen, erfüllt das Paar (b, c) nicht das Axiom T2.

Da keine der untersuchten Punktpaare die Bedingungen des Trennungsaxioms T2 erfüllen, erfüllt der Raum \(X, \tau\) das Trennungsaxiom T2 insgesamt nicht.

d)

Wenn der Raum nicht alle Trennungsaxiome bis T2 erfüllt, modifiziere die Topologie so, dass sie mindestens die Axiome T0, T1, und T2 erfüllt:

• Skizziere, welche neuen offenen Mengen in \(\tau\) hinzugefügt oder entfernt werden müssten.
• Erläutere, warum die modifizierte Topologie jetzt die relevanten Axiome erfüllt.

Lösung:

Um die gegebene Topologie \(\tau\) so zu modifizieren, dass sie mindestens die Trennungsaxiome T0, T1 und T2 erfüllt, müssen wir sicherstellen, dass für jedes Axiom entsprechende offene Mengen existieren.

Gegebene Topologie: \(\tau = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \}\)

Schauen wir uns an, wie wir die Topologie ändern können, um die Trennungsaxiome zu erfüllen:

• T0 (Kolmogorov): Dieses Axiom verlangt, dass für jede zwei unterschiedlichen Punkte eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält. Das Axiom T0 wurde früher untersucht und erfüllt.
• T1 (Fréchet): Dieses Axiom verlangt, dass für jede zwei unterschiedlichen Punkte jeweils eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält. Wir müssen offene Mengen hinzufügen, die beispielsweise \(\{b\}\) und \(\{c\}\) enthalten.Neue Mengen: \(\{b\}\) und \(\{c\}\).
• T2 (Hausdorff): Dieses Axiom verlangt, dass für jede zwei unterschiedlichen Punkte jeweils disjunkte offene Mengen existieren, die die Punkte enthalten. Um das zu erreichen, müssen wir sicherstellen, dass es Mengen gibt, die disjunkt sind. Als Beispiel können wir die Menge \(\{b\}\) für b und \(\{c\}\) für c einführen.Neue Mengen: Disjunkte Mengen für alle Punktpaare, z.B. \(\{a\}\) und \(\{b, c\}\).

Die angepasste Topologie \(\tau\) könnte somit wie folgt aussehen:

• \(\tau' = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} \)

Begründung:

• T0: Für jedes Paar unterschiedlicher Punkte existiert eine Menge, welche genau einer der beiden Punkte enthält.
• T1: Für jedes Paar unterschiedlicher Punkte existiert eine Menge, welche genau einer der beiden Punkte enthält (gestellt durch offene Mengen wie \(\{b\}\) und \(\{c\}\)).
• T2: Für jedes Paar unterschiedlicher Punkte existieren disjunkte Mengen, etwa (\(\{a\}\) und \(\{b, c\}\)).

Durch Hinzufügen der geforderten Mengen erfüllt die angepasste Topologie \(\tau'\) die Trennungsaxiome T0, T1 und T2.

Aufgabe 4)

Gegeben sei ein normierter Raum (X, \|\cdot\|) mit der Norm \|\cdot\| und die Eigenschaft, dass jede Cauchy-Folge in diesem Raum konvergiert.

Zeige durch Bearbeitung folgender Teilaufgaben, dass dies die Definition eines Banachraumes erfüllt und veranschauliche dies durch Beispiele und Berechnungen.

a)

a) Sei (X, \|\cdot\|) ein normierter Raum und sei (x_n) eine Cauchy-Folge in X. Definiere genau, was es bedeutet, dass (x_n) eine Cauchy-Folge ist. Zeige dann, dass jede Cauchy-Folge in X konvergiert und damit, dass (X, \|\cdot\|) vollständig ist. Verwende dabei die Definition der Konvergenz in einem normierten Raum.

Lösung:

Aufgabe a)

• Definition einer Cauchy-Folge: Eine Folge \((x_n)\) in einem normierten Raum \((X, \|\cdot\|)\) ist eine Cauchy-Folge, wenn für jedes \(\epsilon > 0\) eine natürliche Zahl \(N\) existiert, so dass für alle \(m, n \geq N\) gilt: \( \| x_m - x_n \| < \epsilon \).
• Beweis der Konvergenz:
  • Sei \((x_n)\) eine Cauchy-Folge in einem normierten Raum \((X, \|\cdot\|)\).
  • Aufgrund der Eigenschaft, dass jede Cauchy-Folge in \((X, \|\cdot\|)\) konvergiert, existiert ein Element \(x \in X\), so dass \(x_n \rightarrow x\).
  • Das bedeutet, dass für alle \(\epsilon > 0\) eine natürliche Zahl \(N\) existiert, so dass für alle \(n \geq N\) gilt: \( \| x_n - x \| < \epsilon \).
  • Schlussfolgerung: Da jede Cauchy-Folge in \((X, \|\cdot\|)\) konvergiert, ist der Raum vollständig. Das bedeutet, dass \((X, \|\cdot\|)\) ein Banachraum ist.
• Veranschaulichung durch ein Beispiel:
  • Betrachte den Raum \((\mathbb{R}, |\cdot|)\) und die Cauchy-Folge \((x_n)\) mit \(x_n = 2 - \frac{1}{n}\).
  • Für jedes \(\epsilon > 0\) wähle \(N \geq \frac{1}{\epsilon}\). Dann gilt für alle \(m, n \geq N\): \(|x_m - x_n| = \left| \left(2 - \frac{1}{m}\right) - \left(2 - \frac{1}{n}\right)\right| = \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| < \epsilon\).
  • Daher ist \((x_n)\) eine Cauchy-Folge. Da \(x_n\) gegen 2 konvergiert, ist der Raum \((\mathbb{R}, |\cdot|)\) vollständig und somit ein Banachraum.

b)

b) Nimm an, dass (X, \|\cdot\|) die euklidische Norm \|x\|_2 für x \in \mathbb{R}^n hat. Zeige, dass (X, \|\cdot\|_2) ein vollständiger Raum ist. Nutze dazu ein Beispiel einer Cauchy-Folge in X, zeige die Konvergenz und gib den Grenzwert an.

Lösung:

Aufgabe b)

• Vollständigkeit des Raumes \((\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)\): Der Raum \((\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)\) ist mit der euklidischen Norm versehen, definiert als \(\|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}\) für \(x \in \mathbb{R}^n\). Wir zeigen nun, dass dieser Raum vollständig ist.
• Beispiel einer Cauchy-Folge in \((\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)\): Betrachte die Folge \((x_k)\) in \(\mathbb{R}^n\) definiert durch \(x_k = \left(\frac{1}{k}, \frac{1}{k}, ..., \frac{1}{k}\right)\) (n-mal).
• Nachweis, dass \((x_k)\) eine Cauchy-Folge ist:
  • Für jedes \(\epsilon > 0\) wählen wir eine natürliche Zahl \(N\) so groß, dass \(\frac{1}{N} < \frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\).
  • Für alle \(k, m \geq N\) gilt: \(\|x_k - x_m\|_2 = \left( n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{m} \right)^2 \right)^{1/2} = \sqrt{n} \left| \frac{1}{k} - \frac{1}{m} \right| < \epsilon\).
  • Daher ist \((x_k)\) eine Cauchy-Folge.
• Nachweis der Konvergenz der Cauchy-Folge \((x_k)\):
  • Wir zeigen nun, dass \((x_k)\) gegen den Nullvektor \((0, 0, ..., 0)\) konvergiert.
  • Für jedes \(\epsilon > 0\) wählen wir \(N\) so groß, dass \(\frac{1}{N} < \frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\).
  • Für alle \(k \geq N\) gilt: \(\|x_k - 0\|_2 = \|x_k\|_2 = \left( n \left( \frac{1}{k} \right)^2 \right)^{1/2} = \frac{\sqrt{n}}{k} < \epsilon\).
  • Daher konvergiert \((x_k)\) gegen den Nullvektor \(0\).
• Schlussfolgerung: Da jede Cauchy-Folge in \((\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)\) konvergiert, ist der Raum vollständig. Somit ist \((\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)\) ein Banachraum.