Wahrscheinlichkeitstheorie - Exam

Aufgabe 1)

In diesem Prüfungsabschnitt geht es um die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie nach Kolmogorow. Erinnern wir uns an die drei Axiome:

• Axiom 1 (Nicht-Negativität): Für jedes Ereignis A gilt: \( P(A) \geq 0 \)
• Axiom 2 (Normiertheit): Für das sichere Ereignis \( \text{\Omega} \) gilt: \( P(\text{\Omega}) = 1 \)
• Axiom 3 (Additivität): Für paarweise disjunkte Ereignisse \( A_1, A_2, \ldots \) gilt: \( P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \)

a)

a) Betrachte ein Ereignis A im Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige anhand der Definition, dass die Wahrscheinlichkeit immer einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen muss. Verwende dabei die ersten beiden Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie nach Kolmogorow.

Lösung:

Aufgabe a) Betrachte ein Ereignis A im Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige anhand der Definition, dass die Wahrscheinlichkeit immer einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen muss. Verwende dabei die ersten beiden Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie nach Kolmogorow.Um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A immer einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen muss, können wir die ersten beiden Axiome anwenden:

• Axiom 1 (Nicht-Negativität): Für jedes Ereignis A gilt: \[P(A) \geq 0\]
• Axiom 2 (Normiertheit): Für das sichere Ereignis \( \Omega \) gilt: \[P(\text{\Omega}) = 1\]

Nun, um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit \( P(A) \) zwischen 0 und 1 liegt, gehen wir wie folgt vor:1. Aus dem ersten Axiom wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit niemals negativ sein kann:\[P(A) \geq 0\]Das bedeutet, dass 0 der untere Grenzwert für jede Wahrscheinlichkeit ist.2. Aus dem zweiten Axiom wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses \( \Omega \), das alle möglichen Ergebnissse umfasst, 1 beträgt:\[P(\Omega) = 1\]Jedes Ereignis A im Wahrscheinlichkeitsraum ist eine Teilmenge von \( \Omega \). Daher kann die Wahrscheinlichkeit von A niemals größer als die Wahrscheinlichkeit von \( \Omega \) sein, weil A ein Teil von \( \Omega \) ist.Mathematisch ausgedrückt bedeutet das:\[P(A) \leq P(\Omega) = 1\]3. Kombiniert man diese beiden Ergebnisse, erhält man:

• \[0 \leq P(A) \leq 1\]

Also haben wir gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses A im Wahrscheinlichkeitsraum immer einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen muss, unter Verwendung der ersten beiden Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie nach Kolmogorow.

b)

b) Gegeben seien zwei Ereignisse A und B, die disjunkt sind. Zeige, dass \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). Nutze hierbei das dritte Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Lösung:

Aufgabe b) Gegeben seien zwei Ereignisse A und B, die disjunkt sind. Zeige, dass \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \). Nutze hierbei das dritte Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie.Um zu zeigen, dass \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) für zwei disjunkte Ereignisse A und B gilt, verwenden wir das dritte Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie nach Kolmogorow.

• Axiom 3 (Additivität): Für paarweise disjunkte Ereignisse \( A_1, A_2, \textellipsis \) gilt: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]

Da die Ereignisse A und B disjunkt sind, gilt: \[ A \cap B = \varnothing \]Weil A und B disjunkt sind, können wir das dritte Axiom für den Fall n=2 anwenden:1. Setze \( A_1 = A \) und \( A_2 = B \).2. Dann folgt:\[ P(A \cup B) = P(A_1 \cup A_2) = P(A) + P(B) \]Da es keine weiteren Ereignisse gibt (A und B sind die einzigen Ereignisse in unserem Beispiel), reicht es aus, das dritte Axiom auf die disjunkten Ereignisse A und B anzuwenden.Also haben wir gezeigt, dass bei disjunkten Ereignissen A und B die Wahrscheinlichkeit von \( A \cup B \) gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse ist.\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

c)

c) Angenommen, wir haben unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse \( A_1, A_2, \ldots \). Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit für deren Vereinigung? Nutze die Ergebnisse des dritten Axioms und zeige, dass \( P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \).

Lösung:

Aufgabe c) Angenommen, wir haben unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse \( A_1, A_2, \ldots \). Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit für deren Vereinigung? Nutze die Ergebnisse des dritten Axioms und zeige, dass \( P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \).Um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung unendlich vieler paarweise disjunkter Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ist, verwenden wir das dritte Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie nach Kolmogorow.

• Axiom 3 (Additivität): Für paarweise disjunkte Ereignisse \( A_1, A_2, \ldots \) gilt: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]

Spezifizieren wir die Begriffe:

• Die Ereignisse \( A_1, A_2, \ldots \) sind paarweise disjunkt, das bedeutet:\[ A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i e j \]
• Die Vereinigung dieser Ereignisse ist:\[ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \]
• Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung ist:\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) \]

Das dritte Axiom besagt nun genau, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse ist:\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]Zur Veranschaulichung nehmen wir an, dass \( n \) endlich ist und betrachten die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von \( n \) disjunkten Ereignissen:\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \]Wenn wir n gegen unendlich gehen lassen, bleibt die obige Formel nach dem dritten Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie erhalten.Also haben wir gezeigt, dass, wenn wir unendlich viele paarweise disjunkte Ereignisse \( A_1, A_2, \ldots \) haben,\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]Dies entspricht exakt dem dritten Axiom der Wahrscheinlichkeitstheorie.

d)

d) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses \( A^c \), also dass Ereignis A nicht eintritt, durch \( P(A^c) = 1 - P(A) \) gegeben ist. Verwende hierzu die Axiome der Wahrscheinlichkeit und insbesondere das Axiom der Additivität.

Lösung:

Aufgabe d) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses \( A^c \), also dass das Ereignis A nicht eintritt, durch \( P(A^c) = 1 - P(A) \) gegeben ist. Verwende hierzu die Axiome der Wahrscheinlichkeit und insbesondere das Axiom der Additivität.Um zu zeigen, dass \( P(A^c) = 1 - P(A) \), verwenden wir die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie und insbesondere das Axiom der Additivität.Zuerst definieren wir einige Begriffe:

• \textbf{Ereignis A}: Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir betrachten.
• \textbf{Komplementäres Ereignis} \( A^c \): Das Ereignis, dass A nicht eintritt.
• \textbf{Sicheres Ereignis} \( \Omega \): Das Ereignis, dass irgendeines der möglichen Ergebnisse eintritt.

Wir wissen, dass:\( A \cup A^c = \Omega \)und\( A \cap A^c = \varnothing \).Das bedeutet, dass A und sein Komplement disjunkt sind und zusammen das sichere Ereignis \( \Omega \) bilden.Nun verwenden wir die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie:

• Axiom 1 (Nicht-Negativität): Für jedes Ereignis A gilt: \[ P(A) \geq 0 \]
• Axiom 2 (Normiertheit): Für das sichere Ereignis \( \Omega \) gilt: \[ P(\Omega) = 1 \]
• Axiom 3 (Additivität): Für paarweise disjunkte Ereignisse \( A_1, A_2, \ldots \) gilt: \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]

Da \( A \) und \( A^c \) disjunkt sind, können wir das Additivitätsaxiom anwenden:

• \( P(A \cup A^c) = P(A) + P(A^c) \)

Da \( A \cup A^c = \Omega \), folgt:

• \( P(\Omega) = P(A) + P(A^c) \)

Aus Axiom 2 wissen wir, dass \( P(\Omega) = 1 \). Also:

• \( 1 = P(A) + P(A^c) \)

Um \( P(A^c) \) auszudrücken, lösen wir die obige Gleichung nach \( P(A^c) \) auf:

• \( P(A^c) = 1 - P(A) \)

Also haben wir gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses \( A^c \) durch \( P(A^c) = 1 - P(A) \) gegeben ist, unter Verwendung der Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie und insbesondere des Additivitätsaxioms.

Aufgabe 2)

In einem Spiel wird ein fairer sechsseitiger Würfel geworfen. Die Augenzahlen des Würfels sind 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Das Ziel des Spiels besteht darin, bestimmte Ereignisse zu analysieren und die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wobei die Laplace-Wahrscheinlichkeit und die klassische Definition verwendet werden.

a)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird. Skizziere Deine Berechnungen und benutze die Formel der Laplace-Wahrscheinlichkeit.

Lösung:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine gerade Zahl geworfen wird, verwenden wir die Laplace-Formel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der günstigen zu den möglichen Ergebnissen ist.

• Formel der Laplace-Wahrscheinlichkeit:

Die Formel lautet:

P(E) = \frac{Anzahl der günstigen Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}

• Identifiziere die möglichen Ergebnisse:

Da wir einen sechsseitigen Würfel haben, ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse 6 (die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6).

• Identifiziere die günstigen Ergebnisse:

Eine gerade Zahl auf einem sechsseitigen Würfel kann 2, 4 oder 6 sein. Es gibt also 3 günstige Ergebnisse.

• Berechnen der Wahrscheinlichkeit:

Setze die Werte in die Formel ein:

P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl geworfen wird, beträgt also 1/2 oder 50%.

b)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird. Verwende die klassische Definition und erkläre Deine Schritte ausführlich.

Lösung:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird, verwenden wir die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Diese Definition besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der günstigen zu den möglichen Ergebnissen ist.

• Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Die Formel lautet:

P(E) = \frac{Anzahl der günstigen Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}

• Identifiziere die möglichen Ergebnisse:

Da wir einen sechsseitigen Würfel haben, ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse 6 (die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6).

• Identifiziere die günstigen Ergebnisse:

Eine Zahl größer als 4 auf einem sechsseitigen Würfel kann 5 oder 6 sein. Es gibt also 2 günstige Ergebnisse.

• Berechnen der Wahrscheinlichkeit:

Setze die Werte in die Formel ein:

P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 geworfen wird, beträgt also 1/3 oder etwa 33,33%.

c)

Sei E das Ereignis, dass eine Zahl kleiner oder gleich 2 geworfen wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit von E und beschreibe, warum alle möglichen Fälle gleich wahrscheinlich sind. Diskutiere eventuelle Annahmen und Voraussetzungen.

Lösung:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E (eine Zahl kleiner oder gleich 2)

Sei E das Ereignis, dass eine Zahl kleiner oder gleich 2 geworfen wird. Um die Wahrscheinlichkeit von E zu berechnen, verwenden wir die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Diese Definition besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der günstigen zu den möglichen Ergebnissen ist.

• Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Die Formel lautet:

P(E) = \frac{Anzahl der günstigen Ergebnisse}{Anzahl der möglichen Ergebnisse}

• Identifiziere die möglichen Ergebnisse:

Da wir einen sechsseitigen Würfel haben, ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse 6 (die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6).

• Identifiziere die günstigen Ergebnisse:

Eine Zahl kleiner oder gleich 2 auf einem sechsseitigen Würfel kann 1 oder 2 sein. Es gibt also 2 günstige Ergebnisse.

• Berechnen der Wahrscheinlichkeit:

Setze die Werte in die Formel ein:

P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner oder gleich 2 geworfen wird, beträgt also 1/3 oder etwa 33,33%.

Begründung der Gleichwahrscheinlichkeit

Ein Würfel wird als fair bezeichnet, wenn jede Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, oben zu landen. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, eine beliebige Seite zu würfeln, gleich ist. Einige Annahmen und Voraussetzungen sind erforderlich, um sicherzustellen, dass alle möglichen Fälle gleich wahrscheinlich sind:

• Symmetrie des Würfels: Der Würfel ist perfekt symmetrisch. Jede Seite des Würfels ist gleich groß und hat die gleiche Form.
• Gewichtsverteilung: Das Gewicht des Würfels ist gleichmäßig verteilt, sodass keine Seite schwerer ist als die anderen.
• Zufälliges Würfeln: Der Würfel wird in einer zufälligen und unvoreingenommenen Weise geworfen. Dies bedeutet, dass der Wurf so ausgeführt wird, dass keine Seite bevorzugt wird.
• Äußere Einflüsse: Es liegen keine äußeren Einflüsse (wie unebene Flächen oder Luftströmungen) vor, die das Wurfergebnis beeinflussen könnten.

Aufgrund dieser Bedingungen können wir annehmen, dass jede mögliche Seite (1, 2, 3, 4, 5 und 6) die gleiche Wahrscheinlichkeit von \frac{1}{6}\ hat und somit alle Fälle gleich wahrscheinlich sind.

d)

Wenn der Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 geworfen wird? Stelle die notwendigen Wahrscheinlichkeitsberechnungen dar und fasse die Ergebnisse zusammen.

Lösung:

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 geworfen wird

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei zwei Würfen eines fairen sechsseitigen Würfels mindestens einmal die Zahl 6 geworfen wird, benutzen wir zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit.

• Schritte zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

• 1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine 6 geworfen wird in einem Wurf.

Die Wahrscheinlichkeit, dass keine 6 geworfen wird, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass eine der anderen fünf Zahlen (1, 2, 3, 4, oder 5) geworfen wird:

P(keine 6) = \frac{5}{6}

• 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in zwei aufeinanderfolgenden Würfen keine 6 geworfen wird.

Da die Würfe unabhängig sind, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Würfe miteinander:

P(keine 6 in zwei Würfen) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}

• 3. Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit, dass mindestens eine 6 in zwei Würfen geworfen wird.

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist eins minus die Wahrscheinlichkeit, dass keine 6 geworfen wird:

P(mindestens eine 6) = 1 - P(keine 6 in zwei Würfen) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Würfen mindestens einmal die Zahl 6 geworfen wird, beträgt also \( \frac{11}{36} \) oder circa 30,56%.

Aufgabe 3)

Du hast eine Übersicht über drei wichtige Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie erhalten: die Binomialverteilung, die Poissonverteilung und die Normalverteilung. Diese Verteilungen sind entscheidend für das Modellieren von diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen. Du wirst nun Aufgaben zu jeder dieser Verteilungen bearbeiten.

a)

Eine Diskothek erhebt eine jährliche Mitgliedsgebühr. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher diese Gebühr in diesem Jahr bezahlt, sei 0,3 und jede Entscheidung ist unabhängig von den anderen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 von 10 zufällig ausgewählten Besuchern die Gebühr bezahlen.

Lösung:

Für diese Aufgabe verwenden wir die Binomialverteilung, da wir die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, dass eine bestimmte Anzahl von Erfolgen (in diesem Fall die Zahlung der Gebühr) aus einer bestimmten Anzahl von Versuchen (10 Besucher) auftritt. Die Formel für die Binomialverteilung lautet:

• \[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
• \[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Hierbei sind:

• n = 10 (Gesamtzahl der Besucher)
• k = 4 (Anzahl der Besucher, die die Gebühr bezahlen)
• p = 0.3 (Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher die Gebühr bezahlt)
• (1-p) = 0.7 (Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher die Gebühr nicht bezahlt)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\[\binom{10}{4} \cdot 0.3^4 \cdot 0.7^6\]

Berechnen wir zunächst den Binomialkoeffizienten:

\[\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!}\]

Das ergibt:

10! = 3628800

4! = 24

6! = 720

\[\binom{10}{4} = \frac{3628800}{24 \cdot 720} = \frac{3628800}{17280} = 210\]

Nun setzen wir alles zusammen:

\[P(X = 4) = 210 \cdot 0.3^4 \cdot 0.7^6\]

Das berechnen wir schrittweise:

0.3^4 = 0.0081

0.7^6 = 0.117649

Also:

\[210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 = 0.200120949\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 von 10 Besuchern die Gebühr bezahlen, beträgt somit etwa 20,01%.

b)

In einem Callcenter kommen durchschnittlich 5 Anrufe pro Stunde an. Angenommen, die Ankünfte folgen einer Poissonverteilung. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde genau 3 Anrufe ankommen.

Lösung:

Für diese Aufgabe verwenden wir die Poissonverteilung, da wir die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, dass eine bestimmte Anzahl von Ereignissen (Anrufe) in einem festen Zeitraum (eine Stunde) auftritt. Die Formel für die Poissonverteilung lautet:

• \[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]

Hierbei sind:

• \(\lambda\) = 5 (durchschnittliche Anzahl der Anrufe pro Stunde)
• k = 3 (Anzahl der Anrufe, für die wir die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten)
• e = 2.71828 (die eulersche Zahl)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\[P(X = 3) = \frac{5^3 e^{-5}}{3!}\]

Berechnen wir zuerst die einzelnen Komponenten:

• \(5^3 = 125\)
• \(e^{-5} \approx 0.006737947\)
• \(3! = 6\)

Setzen wir diese Werte zusammen:

\[P(X = 3) = \frac{125 \cdot 0.006737947}{6} \]

Das ergibt:

\[P(X = 3) = \frac{0.842243375}{6} \approx 0.140374\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Stunde genau 3 Anrufe ankommen, beträgt somit etwa 14,04%.

c)

Die Körpergröße von erwachsenen Frauen in einer bestimmten Bevölkerung folgt einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 165 cm und einer Standardabweichung von 10 cm. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Frau eine Körpergröße zwischen 160 cm und 170 cm hat.

Lösung:

Für diese Aufgabe verwenden wir die Normalverteilung, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Frau eine Körpergröße zwischen 160 cm und 170 cm hat. Die Normalverteilung ist durch den Mittelwert (\(\mu\)) und die Standardabweichung (\(\sigma\)) charakterisiert. In diesem Fall beträgt der Mittelwert \(\mu = 165\) cm und die Standardabweichung \(\sigma = 10\) cm.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, verwenden wir die Standardnormalverteilung (z-Verteilung). Zunächst müssen wir die z-Werte für 160 cm und 170 cm berechnen. Der z-Wert wird wie folgt berechnet:

• \[z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

Für x = 160 cm:

\[z_{160} = \frac{160 - 165}{10} = \frac{-5}{10} = -0.5\]

Für x = 170 cm:

\[z_{170} = \frac{170 - 165}{10} = \frac{5}{10} = 0.5\]

Nun müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für diese z-Werte aus der Standardnormalverteilungstabelle (z-Tabelle) ablesen:

• \[ P(Z < -0.5) = 0.3085 \]
• \[ P(Z < 0.5) = 0.6915 \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Frau eine Körpergröße zwischen 160 cm und 170 cm hat, ist die Differenz dieser beiden Wahrscheinlichkeiten:

\[P(160 < X < 170) = P(Z < 0.5) - P(Z < -0.5)\]

Das ergibt:

\[P(160 < X < 170) = 0.6915 - 0.3085 = 0.3830\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Frau eine Körpergröße zwischen 160 cm und 170 cm hat, beträgt somit etwa 38,3%.

Aufgabe 4)

Gegeben sei eine medizinische Untersuchung zur Früherkennung einer seltenen Krankheit. In einer Testpopulation von 10.000 Personen ist bekannt, dass 1 % der Personen tatsächlich krank sind. Der Test hat eine Sensitivität (True Positive Rate) von 99 % und eine Spezifität (True Negative Rate) von 98 %.

a)

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person aus der Testpopulation, die krank ist, positiv getestet wird. Nutze dazu die gegebene Sensitivität.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person aus der Testpopulation, die krank ist, positiv getestet wird, verwenden wir die gegebene Sensitivität des Tests.

• Die Sensitivität (True Positive Rate) des Tests beträgt 99 %.
• Die Sensitivität gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass der Test eine kranke Person als positiv (krank) erkennt.

Da die Sensitivität die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Test bei einer kranken Person positiv ausfällt, ergibt sich:

Die Wahrscheinlichkeit (P(\text{positiv} | \text{krank})) beträgt 99 % oder 0,99.

b)

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person aus der Testpopulation, die gesund ist, negativ getestet wird. Nutze dazu die gegebene Spezifität.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person aus der Testpopulation, die gesund ist, negativ getestet wird, verwenden wir die gegebene Spezifität des Tests.

• Die Spezifität (True Negative Rate) des Tests beträgt 98 %.
• Die Spezifität gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass der Test eine gesunde Person als negativ (gesund) erkennt.

Da die Spezifität die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Test bei einer gesunden Person negativ ausfällt, ergibt sich:

Die Wahrscheinlichkeit (\text{P(negativ | gesund)}) beträgt 98 % oder 0,98.

c)

c) Bestimme mithilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich krank ist, wenn sie im Test positiv getestet wurde. Gegeben sei, dass die Prävalenz der Krankheit in der Testpopulation 1 % beträgt.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine Person tatsächlich krank ist, wenn sie im Test positiv getestet wurde, verwenden wir den Satz von Bayes. Gegeben sind:

• Die Prävalenz (Grundwahrscheinlichkeit) der Krankheit in der Testpopulation: P(Krank) = 0,01.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer kranken Person positiv ist (Sensitivität): P(positiv | krank) = 0,99.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test bei einer gesunden Person negativ ist (Spezifität): P(negativ | gesund) = 0,98, entsprechend P(positiv | gesund) = 0,02.

Gesucht ist P(krank | positiv), die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist, wenn sie positiv getestet wurde. Der Satz von Bayes lautet:

\[P(krank | positiv) = \frac{{P(positiv | krank) \cdot P(krank)}}{{P(positiv)}}\]

Wobei P(positiv) die Gesamtwahrscheinlichkeit ist, dass der Test positiv ist. Dies berechnet sich wie folgt:

\[P(positiv) = P(positiv | krank) \cdot P(krank) + P(positiv | gesund) \cdot P(gesund)\]

Setzen wir nun die gegebenen Werte ein:

\[P(positiv) = 0,99 \cdot 0,01 + 0,02 \cdot 0,99\]

\[P(positiv) = 0,0099 + 0,0198 = 0,0297\]

Nun können wir P(krank | positiv) berechnen:

\[P(krank | positiv) = \frac{{0,99 \cdot 0,01}}{{0,0297}} = \frac{{0,0099}}{{0,0297}} \approx 0,3333\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich krank ist, wenn sie im Test positiv getestet wurde, beträgt also ungefähr 33,33 %.

d)

d) Diskutiere, wie sich die Erhöhung der Sensitivität und Spezifität des Tests auf die berechnete Wahrscheinlichkeit aus Subaufgabe c) auswirken würde. Welche Rolle spielen diese Parameter im medizinischen Kontext?

Lösung:

Die Erhöhung der Sensitivität und Spezifität des Tests würde bedeutende Auswirkungen auf die berechnete Wahrscheinlichkeit (P(krank | positiv)) haben, dass eine Person tatsächlich krank ist, wenn sie im Test positiv getestet wurde. Lassen uns die Einflüsse beider Parameter einzeln betrachten:

• Erhöhung der Sensitivität: Die Sensitivität (True Positive Rate) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person korrekt als positiv erkennt. Wenn die Sensitivität erhöht wird, erhöht sich P(positiv | krank). Dies führt zu einem erhöhten Zähler im Satz von Bayes, was zu einer höheren Wahrscheinlichkeit P(krank | positiv) führt. Kurz gesagt, je höher die Sensitivität, desto mehr Vertrauen können wir in ein positives Testergebnis setzen.
• Erhöhung der Spezifität: Die Spezifität (True Negative Rate) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person korrekt als negativ erkennt. Eine Erhöhung der Spezifität verringert P(positiv | gesund) und somit auch den Gesamtausdruck P(positiv). Dies führt ebenfalls zu einer höheren Wahrscheinlichkeit P(krank | positiv), da der Nenner kleiner wird.

Im medizinischen Kontext spielen Sensitivität und Spezifität eine zentrale Rolle:

• Sensitivität: Eine hohe Sensitivität ist wichtig, um sicherzustellen, dass möglichst wenige kranke Personen übersehen werden. Dies ist besonders entscheidend bei lebensbedrohlichen Krankheiten, wo das Ziel ist, möglichst alle Krankheitsfälle zu identifizieren (wenige False Negatives).
• Spezifität: Eine hohe Spezifität ist wichtig, um sicherzustellen, dass möglichst wenige gesunde Personen fälschlicherweise als krank diagnostiziert werden. Dies reduziert unnötige Angst und kostspielige oder riskante Folgeuntersuchungen (wenige False Positives).

Zusammengefasst verbessert die gleichzeitige Erhöhung von Sensitivität und Spezifität die Genauigkeit des Tests erheblich, was zu einer verlässlicheren Diagnose führt. Allerdings ist es in der Praxis oft eine Herausforderung, beide Parameter gleichzeitig zu maximieren, weshalb ein Balanceakt erforderlich ist, basierend auf der Priorität der medizinischen Situation.