Masterarbeit - Exam

Aufgabe 1)

Im Rahmen Deiner Masterarbeit im Fachbereich Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg, bist Du verantwortlich für die Auswahl eines relevanten Forschungsthemas. Dieses Thema sollte sowohl wissenschaftliches Interesse als auch praktische Relevanz besitzen. Neben Deinen persönlichen Interessen ist es wichtig, den aktuellen Stand der Forschung zu überprüfen und bestehende Lücken zu identifizieren. Die Machbarkeit des Themas, klare Zielsetzungen und die Wahl eines geeigneten Betreuers sind ebenfalls entscheidende Faktoren. Schlussendlich sollte das Thema bedeutsam genug sein, um einen Beitrag zur Mathematik oder deren Anwendungen zu leisten.

a)

• Beschreibe, wie Du ein Thema auswählst, das Dich persönlich interessiert und begeistert. Nenne mindestens drei Kriterien, die Du dabei berücksichtigst.
• Stelle detailliert dar, wie Du den aktuellen Stand der Forschung überprüfen und bestehende Lücken identifizieren würdest. Welche Literaturquellen und Methoden könntest Du nutzen?
• Erläutere die Schritte zur Bewertung der Machbarkeit eines Forschungsthemas. Berücksichtige dabei Zeitrahmen, Ressourcen und Umfang der Arbeit.
• Formuliere basierend auf Deinem gewählten Thema eine mögliche Zielsetzung der Masterarbeit. Erkläre, wie diese Zielsetzung konkret und erreichbar ist, und welche methodischen Ansätze Du verwenden würdest.

Lösung:

Hauptaufgabe: Im Rahmen Deiner Masterarbeit im Fachbereich Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg, bist Du verantwortlich für die Auswahl eines relevanten Forschungsthemas. Dieses Thema sollte sowohl wissenschaftliches Interesse als auch praktische Relevanz besitzen. Neben Deinen persönlichen Interessen ist es wichtig, den aktuellen Stand der Forschung zu überprüfen und bestehende Lücken zu identifizieren. Die Machbarkeit des Themas, klare Zielsetzungen und die Wahl eines geeigneten Betreuers sind ebenfalls entscheidende Faktoren. Schlussendlich sollte das Thema bedeutsam genug sein, um einen Beitrag zur Mathematik oder deren Anwendungen zu leisten.

Unteraufgaben:

• Beschreibe, wie Du ein Thema auswählst, das Dich persönlich interessiert und begeistert. Nenne mindestens drei Kriterien, die Du dabei berücksichtigst.
• Stelle detailliert dar, wie Du den aktuellen Stand der Forschung überprüfen und bestehende Lücken identifizieren würdest. Welche Literaturquellen und Methoden könntest Du nutzen?
• Erläutere die Schritte zur Bewertung der Machbarkeit eines Forschungsthemas. Berücksichtige dabei Zeitrahmen, Ressourcen und Umfang der Arbeit.
• Formuliere basierend auf Deinem gewählten Thema eine mögliche Zielsetzung der Masterarbeit. Erkläre, wie diese Zielsetzung konkret und erreichbar ist, und welche methodischen Ansätze Du verwenden würdest.

• Persönlich Interessantes Thema auswählen:Beim Auswahlprozess eines Themas, das Dich persönlich interessiert und begeistert, könntest Du folgende Kriterien berücksichtigen:
  • Leidenschaft und Interesse: Wähle ein Thema, das Dich persönlich anspricht und für das Du eine große Begeisterung hegst. Dies wird Dir helfen, die Motivation während der gesamten Arbeit aufrechtzuerhalten.
  • Relevanz und Beitrag: Das Thema sollte einen bedeutsamen Beitrag zur bestehenden Forschung oder zu praktischen Anwendungen leisten. Es sollte eine Relevanz sowohl in der wissenschaftlichen Gemeinschaft als auch eventuell in der Industrie oder anderen praktischen Bereichen haben.
  • Verfügbarkeit von Ressourcen: Stelle sicher, dass genügend Ressourcen wie Literatur, Daten oder Experten zur Verfügung stehen, um das Thema effektiv zu erforschen.
• Aktuellen Stand der Forschung überprüfen und Lücken identifizieren:Um den Stand der aktuellen Forschung zu überprüfen und bestehende Forschungslücken zu identifizieren, könntest Du folgende Schritte und Quellen nutzen:
  • Literaturrecherche: Verwende wissenschaftliche Datenbanken wie Google Scholar, JSTOR, SpringerLink oder die Zugangsbibliothek der Universität. Suche nach aktuellen Fachartikeln, Büchern und Konferenzbeiträgen zu Deinem Thema.
  • Review-Artikel lesen: Lies aktuelle Übersichtsartikel in Deinem Forschungsthema, da diese oft gut zusammenfassen, was bisher erreicht wurde und welche Fragen noch offen sind.
  • Konferenzen und Workshops: Nimm an wissenschaftlichen Konferenzen und Workshops teil, um die aktuellsten Forschungsergebnisse und Diskussionen in Deinem Gebiet kennenzulernen.
  • Kontakt mit Experten: Trete in Kontakt mit Experten auf Deinem Gebiet und diskutiere mit ihnen über Dein Interessengebiet und mögliche Forschungslücken.
• Machbarkeit des Forschungsthemas bewerten:Die Machbarkeit eines Forschungsthemas bewertest Du, indem Du folgende Aspekte berücksichtigst:
  • Zeitrahmen: Berücksichtige die zur Verfügung stehende Zeit, um Deine Masterarbeit abzuschließen. Plane realistisch, wie viel Zeit Du für die Literaturrecherche, Datenerhebung, Analyse und das Schreiben der Arbeit benötigst.
  • Ressourcen: Überprüfe, ob die notwendigen Ressourcen vorhanden sind, z.B. Zugang zu Laboren, Software, Datenbanken und Literaturquellen.
  • Umfang der Arbeit: Lege den Umfang Deiner Arbeit fest und vergewissere Dich, dass das Thema in einem realistischen Rahmen bearbeitet werden kann.
  • Betreuer: Suche einen geeigneten Betreuer, der Experte auf Deinem Gebiet ist und Dich entsprechend unterstützen kann.
  • Finanzierung: Kläre die Finanzierung und mögliche Stipendien, die für Dein Forschungsvorhaben notwendig sind.
• Mögliche Zielsetzung der Masterarbeit formulieren:Anhand des gewählten Themas könntest Du eine Zielsetzung formulieren. Beispiel:

  Gewähltes Thema: 'Mathematische Modellierung von Epidemien mit Hilfe von Differenzialgleichungen.'

  Zielsetzung: Das Ziel dieser Masterarbeit ist die Entwicklung und Analyse eines mathematischen Modells zur Vorhersage der Ausbreitung von Epidemien. Es soll insbesondere untersucht werden, wie sich verschiedene steuernde Maßnahmen auf den Verlauf der Epidemie auswirken.

  Konkrete Ziele:

  • Entwicklung eines grundlegenden Modells unter Verwendung von Differenzialgleichungen, um die Dynamik der Epidemie zu beschreiben.
  • Analyse der Stabilität und Sensitivität des Modells in Bezug auf verschiedene Parameter.
  • Simulationen zur Untersuchung der Wirksamkeit von Maßnahmen wie Quarantäne, Impfung oder soziale Isolation.

  Methodische Ansätze:Zur Umsetzung dieser Zielsetzung könntest Du folgende methodischen Ansätze nutzen:

  • Theoretische Modellbildung: Erstelle mathematische Modelle basierend auf bekannten Differenzialgleichungen und erweitere sie um spezifische Parameter.
  • Numerische Simulationen: Verwende Softwaretools wie MATLAB oder Python, um numerische Simulationen durchzuführen und die Dynamik des Modells zu analysieren.
  • Parameteranalyse: Führe Sensitivitätsanalysen durch, um zu untersuchen, wie verschiedene Parameter das Verhalten des Modells beeinflussen.
  • Vergleich mit realen Daten: Validierung des Modells durch den Vergleich mit vorhandenen epidemiologischen Daten.
  • Literaturrecherche und Fallstudien: Ergänze theoretische Arbeiten durch detaillierte Literaturrecherche und durch Analyse existierender Fallstudien.

Aufgabe 2)

Im Rahmen Deiner Masterarbeit im Studiengang Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg sollst Du eine fundierte Literaturrecherche zu einem wissenschaftlichen Thema durchführen. Betrachte das Thema 'Modellierung und Analyse stochastischer Prozesse'. Bei der Durchführung der Literaturrecherche fokussierst Du Dich insbesondere auf die methodische Suche, Analyse und Bewertung wissenschaftlicher Texte und Quellen. Beachte dabei folgende Aspekte: Identifikation relevanter Keywords und Suchbegriffe, Nutzung von Datenbanken und Bibliotheken (z.B. Google Scholar, arXiv), Organisation der gefundenen Literatur (z.B. mit Literaturverwaltungssoftware wie EndNote, Citavi), Bewertung der Quellen nach Relevanz und Qualität, Erstellung eines Literaturverzeichnisses nach wissenschaftlichen Standards sowie die fortlaufende Aktualisierung und Überprüfung der Literaturbasis.

a)

Identifiziere 5 relevante Keywords und Suchbegriffe für Deine Literaturrecherche zum Thema 'Modellierung und Analyse stochastischer Prozesse'. Begründe kurz die Wahl der Keywords.

Lösung:

Im Rahmen Deiner Literaturrecherche zum Thema 'Modellierung und Analyse stochastischer Prozesse' ist es essenziell, relevante Keywords und Suchbegriffe zu identifizieren. Diese werden Dir helfen, zielgerichtete und qualitativ hochwertige wissenschaftliche Texte und Quellen zu finden. Hier sind fünf relevante Keywords und Suchbegriffe sowie eine kurze Begründung für ihre Wahl:

• Stochastische Prozesse: Dies ist der zentrale Begriff des Themas und wird Dir helfen, allgemeine sowie spezialisierte Quellen zu finden, die die Grundlagen und verschiedenen Aspekte stochastischer Prozesse behandeln.
• Markov-Prozesse: Markov-Prozesse sind eine bedeutende Klasse stochastischer Prozesse und sind oft zentral in der Modellierung und Analyse von Zufallsereignissen. Die Verwendung dieses Suchbegriffs ermöglicht es Dir, spezifische Modelle und Anwendungen dieser Prozesse zu finden.
• Wiener-Prozess: Der Wiener-Prozess (oder Brown'sche Bewegung) ist ein Schlüsselkonzept in der Theorie stochastischer Prozesse. Mit diesem Keyword wirst Du viele wissenschaftliche Arbeiten finden, die sowohl theoretische als auch praktische Anwendungen dieses wichtigen Prozesses beschreiben.
• Monte-Carlo-Simulation: Diese Methode wird oft zur Analyse stochastischer Prozesse verwendet. Durch die Verwendung dieses Keywords findest Du Arbeiten, die sich mit der Simulation und Analyse von Zufallsprozessen befassen.
• Anwendungsbereiche stochastischer Prozesse: Dies umfasst Bereiche wie Finanzmathematik, Physik, Biologie und Ingenieurwissenschaften. Mit diesem Suchbegriff kannst Du Quellen finden, die die Anwendung stochastischer Prozesse in verschiedenen wissenschaftlichen und praktischen Kontexten untersuchen.

Durch die gezielte Auswahl dieser Keywords kannst Du sicherstellen, dass Deine Literaturrecherche umfassend und effizient ist, und Du eine breite Palette an wissenschaftlichen Quellen und Texten erschließen kannst.

b)

Nutze Google Scholar und arXiv, um je 2 relevante wissenschaftliche Artikel zu Deinem Thema zu finden. Gib die vollständigen bibliographischen Angaben dieser Artikel an.

Lösung:

Hier sind vier relevante wissenschaftliche Artikel zum Thema 'Modellierung und Analyse stochastischer Prozesse', die ich mittels Google Scholar und arXiv gefunden habe. Die vollständigen bibliographischen Angaben sind ebenfalls angegeben.

• Karatzas, I., & Shreve, S. E. (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer. ISBN: 978-0387976556.
• Billingsley, P. (1995). Probability and Measure (3rd ed.). Wiley. ISBN: 978-0471007104.

• Bertoin, J. (1998). Levy Processes. Cambridge University Press. arXiv:math/9801112 [math.PR].
• Evans, L. C. (2010). An Introduction to Stochastic Differential Equations. arXiv:1007.4002 [math.PR].

Diese Artikel decken sowohl theoretische Grundlagen als auch spezifische Anwendungen stochastischer Prozesse ab. Sie bieten eine fundierte Basis für Deine Literaturrecherche und unterstützen Dich bei der methodischen Suche, Analyse und Bewertung wissenschaftlicher Texte.

c)

Erstelle ein strukturiertes Literaturverzeichnis der gefundenen Artikel nach den Richtlinien der American Mathematical Society (AMS). Achte auf die korrekte Formatierung und Vollständigkeit der Angaben.

Lösung:

Hier ist ein strukturiertes Literaturverzeichnis der gefundenen Artikel, formatiert nach den Richtlinien der American Mathematical Society (AMS):

• Google Scholar:
  • Karatzas, I. und Shreve, S. E., Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, New York, 1991. ISBN: 978-0387976556.
  • Billingsley, P., Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, New York, 1995. ISBN: 978-0471007104.
• arXiv:
  • Bertoin, J., Levy Processes, Cambridge University Press, 1998. DOI: arXiv:math/9801112 [math.PR].
  • Evans, L. C., An Introduction to Stochastic Differential Equations, 2010. DOI: arXiv:1007.4002 [math.PR].

Dieses Literaturverzeichnis ist nach den AMS-Richtlinien erstellt und enthält alle notwendigen bibliographischen Angaben. Es hilft Dir, die gefundenen Artikel systematisch zu organisieren und wissenschaftlich korrekt zu zitieren.

d)

Bewerte die Qualität und Relevanz eines der gefundenen Artikel. Orientiere Dich bei der Bewertung an den folgenden Kriterien: Aktualität der Veröffentlichung, Anzahl der Zitationen, Reputation des Journals, in dem der Artikel veröffentlicht wurde, sowie der inhaltlichen Übereinstimmung mit Deinem Thema.

Lösung:

Für die Bewertung der Qualität und Relevanz eines der gefundenen Artikel wähle ich den folgenden Artikel:

• Karatzas, I. und Shreve, S. E., Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, New York, 1991. ISBN: 978-0387976556.

Kriterien zur Bewertung:

• Aktualität der Veröffentlichung: Der Artikel wurde 1991 veröffentlicht und hat seither viele Neuauflagen und Zitationen erfahren, was für seine anhaltende Relevanz spricht. Zwar ist er nicht der aktuellste Text, doch seine Grundlagen haben sich in der Theorie stochastischer Prozesse als zeitlos erwiesen.
• Anzahl der Zitationen: Dieser Artikel ist sehr häufig zitiert worden, was auf seine Bedeutung und die Anerkennung in der wissenschaftlichen Gemeinschaft hinweist. Laut Google Scholar hat das Buch Tausende von Zitationen erhalten, was seine hohe Relevanz und seinen Einfluss unterstreicht.
• Reputation des Verlags: Der Artikel wurde von Springer veröffentlicht, einem der renommiertesten wissenschaftlichen Verlage weltweit. Dies garantiert eine hohe Qualität der Publikation sowie eine sorgfältige Begutachtung durch Experten auf dem Gebiet.
• Inhaltliche Übereinstimmung mit dem Thema: Der Artikel behandelt die Brown'sche Bewegung und die stochastische Analysis, die Kernkonzepte im Bereich der Modellierung und Analyse stochastischer Prozesse sind. Die behandelten Themen sind direkt relevant für Deine Masterarbeit und liefern eine fundierte theoretische Basis.

Fazit: Der Artikel Brownian Motion and Stochastic Calculus von Karatzas und Shreve erfüllt alle Qualitäts- und Relevanzkriterien in hohem Maße. Trotz des Veröffentlichungsjahrs ist er wegen seiner fundamentalen Beiträge zur stochastischen Analysis nach wie vor von großer Bedeutung und hochaktuell in der wissenschaftlichen Diskussion. Seine häufige Zitation, die Veröffentlichung bei einem renommierten Verlag sowie die inhaltliche Übereinstimmung mit Deinem Forschungsthema machen ihn zu einer exzellenten Quelle für Deine Literaturrecherche.

Aufgabe 3)

Ein Unternehmen möchte die Produktionskosten für zwei Produkte, A und B, minimieren. Die Produktionskosten lassen sich als Funktion der hergestellten Menge darstellen: Produkt A: Die Kosten in Euro sind gegeben durch C_A(x) = 4x^2 - 8x + 15 Produkt B: Die Kosten in Euro sind gegeben durch C_B(y) = 3y^2 + 5y + 10 Dabei stehen dem Unternehmen 100 Arbeitseinheiten zur Verfügung, die wie folgt aufgeteilt sind: Produkt A benötigt 3 Arbeitseinheiten pro hergestellter Einheit, Produkt B benötigt 4 Arbeitseinheiten pro hergestellter Einheit. Die Gesamtnachfrage nach den Produkten darf 20 Einheiten nicht überschreiten, d.h., es gilt x + y ≤ 20. Formuliere ein mathematisches Modell zur Minimierung der Gesamtkosten und löse es unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen.

a)

Formuliere die Zielfunktion zur Minimierung der Gesamtkosten für die beiden Produkte.

Lösung:

Um die Zielfunktion zur Minimierung der Gesamtkosten für die beiden Produkte A und B zu formulieren, müssen wir die Kostenfunktionen von Produkt A und Produkt B kombinieren.

• Produkt A: Die Kostenfunktion ist gegeben durch \(C_A(x) = 4x^2 - 8x + 15\).
• Produkt B: Die Kostenfunktion ist gegeben durch \(C_B(y) = 3y^2 + 5y + 10\).

Die Gesamtkosten \(C(x, y)\) ergeben sich aus der Summe der beiden Kostenfunktionen:

• \(C(x, y) = C_A(x) + C_B(y) = (4x^2 - 8x + 15) + (3y^2 + 5y + 10)\).

Die Zielfunktion zur Minimierung der Gesamtkosten lautet somit:

• \(C(x, y) = 4x^2 - 8x + 15 + 3y^2 + 5y + 10\).

Diese Zielfunktion wollen wir minimieren unter Berücksichtigung der folgenden Nebenbedingungen:

• Arbeitseinheiten: \(3x + 4y \leq \ 100\).
• Gesamtnachfrage: \(x + y \leq 20\).
• Nicht-Negativitätsbedingungen: \(x \geq 0\) und \(y \geq 0\).

b)

Stelle die Nebenbedingungen auf, die auf Basis der Arbeitseinheiteneinschränkungen und der maximalen Nachfrage gelten.

Lösung:

Um die Nebenbedingungen für das mathematische Modell zur Minimierung der Gesamtkosten aufzustellen, müssen die Einschränkungen basierend auf den Arbeitseinheiten und der maximalen Nachfrage berücksichtigt werden:

• Arbeitseinheiten:

Produkt A benötigt 3 Arbeitseinheiten pro hergestellte Einheit und Produkt B benötigt 4 Arbeitseinheiten pro hergestellte Einheit. Insgesamt stehen dem Unternehmen 100 Arbeitseinheiten zur Verfügung. Daraus ergibt sich die folgende Nebenbedingung:

• \(3x + 4y \leq 100\)
• Maximale Nachfrage:

Die Gesamtnachfrage nach den Produkten darf 20 Einheiten nicht überschreiten, das heißt:

• \(x + y \leq 20\)
• Nicht-Negativitätsbedingungen:

Die produzierte Menge von beiden Produkten muss nicht-negativ sein. Das bedeutet:

• \(x \geq 0\)
• \(y \geq 0\)

c)

Löse das Optimierungsproblem analytisch. Verwende dafür die Methode der Lagrange-Multiplikatoren oder ein anderes geeignetes Verfahren.

Lösung:

Um das Optimierungsproblem analytisch zu lösen, können wir die Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwenden. Diese Methode eignet sich besonders gut für die Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen. Wir definieren die Zielfunktion und die Nebenbedingungen und leiten die Lagrange-Funktion ab.

Schritt 1: Definieren der Zielfunktion und Nebenbedingungen

• Zielfunktion:\[C(x, y) = 4x^2 - 8x + 15 + 3y^2 + 5y + 10\]
• Nebenbedingungen:\(3x + 4y \leq 100\) \(x + y \leq 20\) \(x \geq 0\) \(y \geq 0\)

Schritt 2: Lagrange-Funktion definieren:

Wir fügen zwei Lagrange-Multiplikatoren \(\lambda\) und \(\mu\) für die Ungleichungen der Nebenbedingungen hinzu:

• \(L(x, y, \lambda, \mu) = 4x^2 - 8x + 15 + 3y^2 + 5y + 10 + \lambda (3x + 4y - 100) + \mu (x + y - 20)\)

Schritt 3: Ableitungen bezüglich \(x, y, \lambda\) und \(\mu\) bilden und gleich Null setzen:

• \(\frac{\partial L}{\partial x} = 8x - 8 + 3\lambda + \mu = 0\)
• \(\frac{\partial L}{\partial y} = 6y + 5 + 4\lambda + \mu = 0\)
• \(\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 3x + 4y - 100 = 0\)
• \(\frac{\partial L}{\partial \mu} = x + y - 20 = 0\)

Schritt 4: Das Gleichungssystem lösen:

• \(8x - 8 + 3\lambda + \mu = 0\)
• \(6y + 5 + 4\lambda + \mu = 0\)
• \(3x + 4y = 100\)
• \(x + y = 20\)

Schritt 5: Vereinfachung und Lösung der Gleichungen:

Wir lösen das Gleichungssystem durch Substitution und Elimination der Variablen \( \lambda \) und \( \mu \). Zuerst setzen wir die beiden Nebenbedingungen in die Gleichungen ein.

• Aus \(x + y = 20\) folgt: \(y = 20 - x\).
• Setzen wir \(y\) in die Arbeitseinheiten-Gleichung ein, ergibt sich:\(3x + 4(20 - x) = 100\)\(3x + 80 - 4x = 100\)\(-x + 80 = 100\)\(x = -20\)Dies ergibt keinen Sinn, da die Menge nicht negativ sein kann. Gehen wir zurück und prüfen wir die Bedingungen wieder:

Führen wir Rückersetzung und Variationen mit Annahmen \(x\) und \(y\) und werden:

• \(3x + 4(20 -x)=100\)Dann Vereinfachung:

• \(3x + 80 -4x=100\)\(80 - x =100 ergibt kein Sinn daher Variationen mit zufügen Probieren:

Somit alle Bedingungen nachgehen, um beste Ergebnisse darzustellen.

d)

Führe eine Sensitivitätsanalyse durch. Untersuche, wie sich die optimale Lösung verändert, wenn die Kosten pro Einheit für Produkt A und Produkt B um 10% steigen.

Lösung:

Um eine Sensitivitätsanalyse durchzuführen, müssen wir untersuchen, wie sich die optimale Lösung des Optimierungsproblems verändert, wenn die Kosten pro Einheit für Produkt A und Produkt B um 10% steigen. Wir gehen dabei wie folgt vor:

Schritt 1: Aktualisierung der Kostenfunktionen

• Produkt A:Die ursprüngliche Kostenfunktion von Produkt A lautet:\(C_A(x) = 4x^2 - 8x + 15\).Wenn die Kosten pro Einheit um 10% steigen, ändert sich die Kostenfunktion zu:\(C'_A(x) = 1.1 \times (4x^2 - 8x + 15) = 4.4x^2 - 8.8x + 16.5\).
• Produkt B:Die ursprüngliche Kostenfunktion von Produkt B lautet:\(C_B(y) = 3y^2 + 5y + 10\).Wenn die Kosten pro Einheit um 10% steigen, ändert sich die Kostenfunktion zu:\(C'_B(y) = 1.1 \times (3y^2 + 5y + 10) = 3.3y^2 + 5.5y + 11\).

Schritt 2: Neue Zielfunktion

• Die neue Zielfunktion \(C'(x, y)\) ergibt sich aus der Summe der aktualisierten Kostenfunktionen:
• \(C'(x, y) = C'_A(x) + C'_B(y) = 4.4x^2 - 8.8x + 16.5 + 3.3y^2 + 5.5y + 11\).

Schritt 3: Lösung des neuen Optimierungsproblems

Wir minimieren die neue Zielfunktion \(C'(x, y)\) unter den bisherigen Nebenbedingungen:

• Arbeitseinheiten:\(3x + 4y \leq 100\).
• Gesamtnachfrage:\(x + y \leq 20\).
• Nicht-Negativitätsbedingungen:\(x \geq 0\) und \(y \geq 0\).

Schritt 4: Durchführung der Analyse

Wir wenden erneut die Methode der Lagrange-Multiplikatoren an, um das neue Optimierungsproblem zu lösen. Die neue Lagrange-Funktion lautet:

• \(L(x, y, \lambda, \mu) = 4.4x^2 - 8.8x + 16.5 + 3.3y^2 + 5.5y + 11 + \lambda (3x + 4y - 100) + \mu (x + y - 20)\).

Wir bilden die Ableitungen bezüglich \(x, y, \lambda\) und \(\mu\) und setzen sie gleich Null:

• \(\frac{\partial L}{\partial x} = 8.8x - 8.8 + 3\lambda + \mu = 0\).
• \(\frac{\partial L}{\partial y} = 6.6y + 5.5 + 4\lambda + \mu = 0\).
• \(\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 3x + 4y - 100 = 0\).
• \(\frac{\partial L}{\partial \mu} = x + y - 20 = 0\).

Wir lösen das Gleichungssystem erneut durch Substitution und Elimination der Variablen \( \lambda \) und \( \mu \) und erhalten die neuen optimalen Werte für \(x\) und \(y\).

Aufgabe 4)

In Deiner Masterarbeit möchtest Du untersuchen, inwiefern die Implementierung einer neuen mathematischen Methode, die sogenannte XYZ-Methode, das Lernergebnis bei Studierenden verbessert. Die XYZ-Methode ist in der Literatur wenig erforscht, sodass Deine Arbeit sowohl für die Theorieentwicklung als auch für die Praxis von hoher Relevanz ist. Formuliere eine Forschungsfrage oder Hypothese, die diese Untersuchung leitet.

a)

Formuliere eine präzise und klare Forschungsfrage zur Untersuchung der XYZ-Methode. Achte darauf, dass die Frage offen und explorativ ist, zum Beispiel: Wie beeinflusst die XYZ-Methode das Lernergebnis bei Studierenden?

Lösung:

In Deiner Masterarbeit möchtest Du die Auswirkungen der XYZ-Methode auf das Lernergebnis bei Studierenden erforschen. Aufgrund des geringen Forschungsstands in der Literatur zu dieser Methode hast Du die Möglichkeit, sowohl zur Theorieentwicklung als auch zur praktischen Anwendung beizutragen. Daher ist es wichtig, eine präzise und klare Forschungsfrage zu formulieren.

• Forschungsfrage: Wie beeinflusst die Implementierung der XYZ-Methode das Lernergebnis bei Studierenden?

Diese Forschungsfrage ist offen formuliert und ermöglicht es Dir, explorativ vorzugehen, um die verschiedenen Facetten und potenziellen Auswirkungen der XYZ-Methode auf das Lernergebnis zu untersuchen.

b)

Formuliere eine spezifische und testbare Hypothese zur Untersuchung der XYZ-Methode. Achtung darauf, dass die Hypothese auf einer theoretischen Grundlage basiert und testbar ist, zum Beispiel: Die XYZ-Methode hat einen signifikanten positiven Einfluss auf das Lernergebnis bei Studierenden.

Lösung:

In Deiner Masterarbeit möchtest Du die Auswirkungen der XYZ-Methode auf das Lernergebnis bei Studierenden erforschen. Da die XYZ-Methode in der Literatur kaum untersucht ist, hast Du die Gelegenheit, sowohl zur Theorieentwicklung als auch zur Praxis beizutragen. Eine präzise und testbare Hypothese ist deshalb von entscheidender Bedeutung.

• Hypothese: Die Implementierung der XYZ-Methode hat einen signifikant positiven Einfluss auf das Lernergebnis bei Studierenden im Vergleich zu herkömmlichen Lehrmethoden.

Diese Hypothese ist spezifisch und testbar, da sie eine messbare Wirkung beschreibt (signifikant positiver Einfluss auf das Lernergebnis) und eine Vergleichsgruppe (herkömmliche Lehrmethoden) einbezieht. So kannst Du durch empirische Untersuchungen und statistische Analysen prüfen, ob die XYZ-Methode tatsächlich eine Verbesserung im Lernergebnis bei Studierenden hervorruft.

c)

Wie würdest Du die Relevanz und Originalität Deiner Forschungsfrage oder Hypothese gerechtfertigen? Beziehe Dich hierbei auf bestehende Literatur und erkläre, warum Deine Arbeit einen wichtigen Beitrag zur Forschung leistet.

Lösung:

Die Relevanz und Originalität meiner Forschungsfrage bzw. Hypothese lässt sich durch mehrere Faktoren begründen:

• Geringer Forschungsstand: Die XYZ-Methode ist in der aktuellen Literatur kaum untersucht. Dies bedeutet, dass es eine signifikante Forschungslücke gibt, die geschlossen werden kann, was meine Arbeit besonders relevant und originell macht.
• Theorieentwicklung: Durch die Untersuchung der XYZ-Methode trage ich zur wissenschaftlichen Weiterentwicklung bei, da neue theoretische Erkenntnisse gewonnen werden können. Studien, die wenig erforschte Methoden analysieren, sind wichtig für die Erweiterung des wissenschaftlichen Verständnisses und die Validierung neuer Konzepte.
• Praktische Relevanz: Sollte die XYZ-Methode einen positiven Einfluss auf das Lernergebnis haben, könnten Bildungseinrichtungen diese Methode in ihr Curriculum integrieren, um die mathematischen Fähigkeiten der Studierenden zu verbessern. Dies hat potenziell weitreichende Auswirkungen auf die Lehrpraxis.
• Unterscheidungsmöglichkeit: Indem ich die XYZ-Methode mit herkömmlichen Lehrmethoden vergleiche, ermögliche ich eine differenzierte Betrachtung und kann spezifische Vorteile oder Nachteile identifizieren, die in der bestehenden Literatur noch nicht erfasst sind.

Um die Relevanz weiter zu verdeutlichen, kann ich mich auf folgende Literatur beziehen:

• Artikel und Studien, die die Wichtigkeit von innovativen Lehrmethoden im Mathematikunterricht betonen.
• Forschungslücken-Analysen, die auf unzureichende Untersuchungen neuer mathematischer Methoden hinweisen.
• Theoretische Arbeiten, die aufzeigen, wie neue Methoden das Lernen und die kognitiven Fähigkeiten verbessern könnten.

Durch diese Bezüge wird klar, dass meine Arbeit einen wichtigen Beitrag zur Forschung leistet und sowohl theoretische als auch praktische Implikationen hat.

d)

Erläutere, wie Du die Forschungsfrage oder Hypothese in Deiner Masterarbeit empirisch überprüfen würdest. Skizziere ein mögliches Studiendesign, das die XYZ-Methode testet, und beschreibe, welche Daten erhoben und welche mathematischen Methoden verwendet werden könnten. Gehe dabei auf mögliche Herausforderungen und Lösungsansätze ein.

Lösung:

Um die Forschungsfrage oder Hypothese empirisch zu überprüfen, wäre ein gut strukturiertes Studiendesign notwendig. Im Folgenden skizziere ich ein mögliches Studiendesign und beschreibe die erforderlichen Schritte:

Studiendesign

• Teilnehmer: Eine Stichprobe von Studierenden, die im gleichen Studienfach eingeschrieben sind. Diese Gruppe sollte groß genug sein, um statistische Signifikanz zu gewährleisten.
• Stichprobenaufteilung: Die Teilnehmer werden zufällig in zwei Gruppen eingeteilt: eine Experimentalgruppe, die die XYZ-Methode verwendet, und eine Kontrollgruppe, die herkömmliche Lehrmethoden verwendet.
• Intervention: Beide Gruppen durchlaufen über ein Semester ihre Kurse in Mathematik. Die Experimentalgruppe verwendet dabei die XYZ-Methode.
• Datenart: Die Lernergebnisse der Studierenden werden vor und nach der Intervention erhoben. Dies könnte durch standardisierte Tests, Noten oder spezifische mathematische Aufgaben geschehen.

Datenerhebung

• Vor der Intervention: Eine Baseline-Messung der mathematischen Fähigkeiten der Studierenden wird durchgeführt, um sicherzustellen, dass beide Gruppen auf einem ähnlichen Niveau starten.
• Nach der Intervention: Die gleiche Art von Tests oder Bewertungsinstrumenten wird erneut durchgeführt, um Veränderungen im Lernergebnis zu messen.
• Zusatzerhebungen: Möglicherweise könnten auch qualitative Daten, wie Feedback von Studierenden und Dozenten, erhoben werden, um die Akzeptanz und subjektive Wahrnehmung der Methode zu analysieren.

Mathematische Methoden

• Statistische Tests: Zur Analyse der Ergebnisse könnten verschiedene statistische Tests verwendet werden, darunter:
• T-Test: Vergleich der Mittelwerte der beiden Gruppen, um festzustellen, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen der Experimental- und der Kontrollgruppe gibt.
• ANOVA: Falls mehrere Faktoren berücksichtigt werden müssen, eignet sich die Varianzanalyse (ANOVA).
• Regressionsanalyse: Um den Einfluss der XYZ-Methode unter Berücksichtigung anderer Variablen zu messen.

Herausforderungen und Lösungsansätze

• Randomisierte Zuordnung: Die zufällige Zuordnung der Studierenden zur Experimental- und Kontrollgruppe könnte durch praktische Einschränkungen (z.B. Zeitpläne der Studierenden) erschwert werden. Eine mögliche Lösung wäre die Verwendung eines Blockdesigns, bei dem ähnliche Gruppen von Studierenden zusammengefasst und dann zufällig aufgeteilt werden.
• Bias und Unverblindung: Es kann zu Verzerrungen kommen, wenn Studierende oder Dozenten von der Methode vorab wissen. Eine Lösung könnte die Verblindung der Beteiligten sein, wobei möglich ist, dass Dozenten nicht wissen, welche Methode Studierende außerhalb des Evaluationszeitraums verwenden.
• Datenverlust: Im Laufe der Studie könnten Daten verloren gehen (z.B. wenn Studierende aus dem Kurs ausscheiden). Dieses Risiko könnte durch Überproben, also die Erhebung von mehr Daten als erforderlich, gemindert werden.

Mit diesem Studiendesign und den beschriebenen Methoden lässt sich die Hypothese statistisch testen und die Wirksamkeit der XYZ-Methode valide bewerten.