Masterseminar - Cheatsheet

Galoistheorie

Definition:

Studium von Körpererweiterungen und deren Symmetrieeigenschaften mithilfe von Automorphismengruppen.

Details:

• Körpererweiterung: Erweiterung eines Körpers \(K\) zu einem größeren Körper \(L\).
• Automorphismengruppe: Gruppe der Körperautomorphismen eines Körpers \(L\), die \(K\) fixieren (Galoisgruppe \(\text{Gal}(L/K)\)).
• Fundamentalsatz: Bijektion zwischen den Zwischenkörpern einer Galoiserweiterung \(L/K\) und den Untergruppen von \(\text{Gal}(L/K)\).
• Normalerweiterung: Körpererweiterung, bei der \(L\) algebraisch über \(K\) und \(L\) normal über \(K\) ist.
• Separabel: Jedes Element von \(L\), das über \(K\) algebraisch ist, ist eine separable Polynomialwurzel.

Darstellungstheorie

Definition:

Darstellungstheorie untersucht, wie algebraische Strukturen durch lineare Transformationen dargestellt werden können.

Details:

• Hauptziel: Klassifikation und Untersuchung von Darstellungen von Gruppen, Lie-Algebren und anderen algebraischen Strukturen.
• Eine Darstellung einer Gruppe G ist ein Gruppenhomomorphismus von G in die allgemeine lineare Gruppe GL(V) für einen Vektorraum V.
• Eine Darstellung ist treu, wenn der Homomorphismus injektiv ist.
• Darstellungen können irreduzibel sein, wenn sie keine nicht-trivialen invarianten Unterräume besitzen.
• Hauptwerkzeuge: Charaktertheorie, Moduln, Tensorprodukte.
• Beispiele: Darstellungen der symmetrischen Gruppe S_n, Darstellungen der Quaternionengruppe.

Finite-Elemente-Methoden

Definition:

Numerische Methode zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) durch Diskretisierung eines kontinuierlichen Bereichs in kleine endliche Elemente.

Details:

• Diskretisierung: Aufteilung eines kontinuierlichen Gebiets in endliche Elemente.
• Schwache Formulierung: Umwandlung der PDE in eine Integralform.
• Ansatzfunktionen: Wahl geeigneter Basisfunktionen (z.B. lineare oder quadratische Funktionen).
• Assemblierung: Zusammenführung der Elementgleichungen zu einem globalen Gleichungssystem.
• Lösung: Lösung des resultierenden Gleichungssystems für die unbekannten Parameter.
• Anwendung: Strukturmechanik, Fluiddynamik, Thermodynamik.
• Gittergenerierung: Wichtig für die Genauigkeit und Effizienz der Lösung.
• Finite-Elemente-Software: Tools wie ANSYS, COMSOL, abaqus.

Stabilität und Konvergenz numerischer Methoden

Definition:

Stabilität: Verhalten der Fehlerfortpflanzung in numerischen Verfahren. Konvergenz: Annäherung der numerischen Lösung an die exakte Lösung bei Verfeinerung der Diskretisierung.

Details:

• Stabilität: Methode ist stabil, wenn kleiner Eingabefehler kleine Ausgangsfehler verursacht.
• Konvergenz: Methode ist konvergent, wenn Fehler gegen Null geht bei schrittweisen Verkleinerung des Diskretisierungsparameters.
• Lax-Äquivalenztheorem: Stabilität + Konsistenz = Konvergenz.
• Fehlerabschätzung: Nutzung von Normen, z.B. L^2-Norm.
• Numerische Konsistenz: Diskretisierung entspricht der Differentialgleichung bei h → 0.
• Stabilitätskriterium: Spektralradius von Iterationsmatrix muss kleiner als 1 sein.

Simulation und Analysis von Modellen

Definition:

Simulation und Analyse von Modellen untersucht das Verhalten komplexer Systeme durch Computerexperimente und mathematische Modelle.

Details:

• Simulationen: Virtuelle Experimente zur Vorhersage des Verhaltens von Systemen
• Modelldefinition: Mathematische Beschreibung eines Systems
• Analysetechniken: Statistische Methoden, Sensitivitätsanalyse
• Verwendung von Software: Matlab, Python, R
• Differentialgleichungen: Modellierung zeitabhängiger Systeme
• Diskrete Modelle: z.B. Markov-Ketten, Agenten-basierte Modelle
• Validierung: Vergleich der Simulationsergebnisse mit realen Daten
• Kenngrößen: Erwartungswert, Varianz, Konvergenzgeschwindigkeit

Markov-Ketten

Definition:

Eine Markov-Kette ist ein stochastischer Prozess, der die Markov-Eigenschaft erfüllt, d.h., die zukünftigen Zustände hängen nur vom aktuellen Zustand und nicht von den vorherigen ab.

Details:

• Diskrete und kontinuierliche Zeitmodelle
• Transition Matrix \( P = (p_{ij}) \) mit \( p_{ij} = P(X_{n+1} = j | X_n = i) \)
• Ergodizität: Langfristverteilung unabhängig vom Anfangszustand
• Stationäre Verteilung \( \pi = P^T \pi \)
• Absorbing States und Rekurrenz

Stochastische Differentialgleichungen

Definition:

SDEs beschreiben Systeme, die Zufallsprozesse beinhalten. Wesentlich in Stochastik und Finanzmathematik.

Details:

• Lösung: Optimiere Martingale und Itô-Integral.
• Allgemeine Form: \[dX_t = \text{drift}(t, X_t)dt + \text{diffusion}(t, X_t)dW_t\]
• Itô-Formel: Schlüssel zur Berechnung von Funktionen stochastischer Prozesse: \[df(X_t) = f'(X_t)dX_t + \frac{1}{2}f''(X_t)(dX_t)^2\]
• Anwendung: Modellierung von Aktienkursen, Zinsmodellen, stochastischer Kontrolle, etc.

Interdisziplinäre Anwendungen mathematischer Konzepte

Definition:

Anwendung mathematischer Konzepte in anderen Disziplinen zur Lösung komplexer Probleme.

Details:

• Verwendung in Physik: z.B. Differentialgleichungen in der Quantenmechanik
• Biologie: Modelle für Populationen.
• Informatik: Algorithmen und Komplexitätstheorie
• Ökonomie: Optimierung und Spieltheorie
• Ingenieurwissenschaften: Strukturanalyse und Steuerungstheorie