Masterseminar - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die Körpererweiterung L/K

• Körpererweiterung: Erweiterung eines Körpers K zu einem größeren Körper L .
• Automorphismengruppe: Gruppe der Körperautomorphismen eines Körpers L , die K fixieren (Galoisgruppe \text{Gal}(L/K) ).
• Fundamentalsatz: Bijektion zwischen den Zwischenkörpern einer Galoiserweiterung L/K und den Untergruppen von \text{Gal}(L/K) .
• Normalerweiterung: Körpererweiterung, bei der L algebraisch über K und L normal über K ist.
• Separabel: Jedes Element von L , das über K algebraisch ist, ist eine separable Polynomialwurzel.

a)

Bestimme, ob die Erweiterung \(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q}\) eine Galoiserweiterung ist, wenn \(\theta\) die Wurzel des Polynoms \ f(x) = x^3 - 2 \ ist. Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um zu bestimmen, ob die Körpererweiterung \(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q}\) eine Galoiserweiterung ist, wenn \(\theta\) die Wurzel des Polynoms \(f(x) = x^3 - 2\) ist, müssen wir die folgenden Bedingungen prüfen:

• Die Erweiterung muss normal sein.
• Die Erweiterung muss separabel sein.

Schritt 1: Prüfen, ob die Erweiterung separabel ist

• Da der Grundkörper \(\textbf{Q}\) charakteristisch 0 ist, sind alle Zerlegungsfelder von irreduziblen Polynomen separabel. Das Polynom \(f(x) = x^3 - 2\) ist irreduzibel in \(\textbf{Q}\), da es keine rationalen Nullstellen hat (dies kann man durch den Rational Root Test zeigen).
• Da \(f(x)\) irreduzibel und der Grundkörper \(\textbf{Q}\) hat Charakteristik 0, ist die Erweiterung \(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q}\) separabel.

Schritt 2: Prüfen, ob die Erweiterung normal ist

• Eine Erweiterung ist normal, wenn sie ein Zerfällungskörper des minimalen Polynoms von \(\theta\) über \(\textbf{Q}\) ist.
• Das minimale Polynom von \(\theta\) über \(\textbf{Q}\) ist \(f(x) = x^3 - 2\). Das Polynom hat drei komplexe Nullstellen: \(\theta = 2^{1/3}\), \(\theta \textit{w}\) und \(\theta \textit{w}^2\), wobei \(\textit{w}\) eine primitive dritte Einheitswurzel ist.
• Der Zerfällungskörper von \(f(x) = x^3 - 2\) ist \(\textbf{Q}(\theta, \textit{w})\).
• Da \(\textbf{Q}(\theta) < \textbf{Q}(\theta, \textit{w})\), ist \(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q}\) keine normale Erweiterung.

Schlussfolgerung:

• Die Erweiterung \(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q}\) ist separabel, aber nicht normal. Daher ist sie keine Galoiserweiterung.

b)

Nach dem Fundamentalsatz der Galoistheorie gibt es eine Bijektion zwischen den Zwischenkörpern von \ \textbf{Q}( \theta ) / \textbf{Q} \ und den Untergruppen von \ \text{Gal}(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q}).\ Bestimme alle wesentlichen Untergruppen von \text{Gal}(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q})\ und die entsprechenden Zwischenkörper.

Lösung:

Um alle wesentlichen Untergruppen von \( \text{Gal}(\textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q}) \) und die entsprechenden Zwischenkörper zu bestimmen, müssen wir zuerst die Galoisgruppe der Erweiterung \( \textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q} \) kennen. Da wir im vorherigen Teil gesehen haben, dass \( \textbf{Q}(\theta)/\textbf{Q} \) keine Galoiserweiterung ist, gibt es keine direkte Galoisgruppe und keine direkte Anwendung des Fundamentalsatzes der Galoistheorie auf diese Erweiterung.

Wir können jedoch die Zerfällungserweiterung von \( f(x) = x^3 - 2 \) betrachten, die über \( \textbf{Q} \) passiert. Der Zerfällungskörper von \( f(x) \) ist \( L = \textbf{Q}(\theta, \omega) \), wobei \( \omega \) eine primitive dritte Einheitswurzel ist.

Somit betrachten wir nun die Erweiterung \( L/\textbf{Q} \), wo \( L = \textbf{Q}(2^{1/3}, \omega) \). Diese Erweiterung ist eine Galoiserweiterung, da der Zerfällungskörper ein Galoiskörper ist. Nun haben wir die Galoisgruppe \( \text{Gal}(L/\textbf{Q}) \).

Schritt 1: Bestimme die Galoisgruppe

• Die Galoisgruppe \( \text{Gal}(L/\textbf{Q}) \) hat die Ordnung von 6, da sie isomorph zur symmetrischen Gruppe \( S_3 \) ist, die die Permutationen von drei Wurzeln hat (\( 2^{1/3}, \omega \times 2^{1/3}, \omega^2 \times 2^{1/3} \)).

Schritt 2: Bestimme alle wesentlichen Untergruppen

• Wesentliche Untergruppen von \( S_3 \) sind:
• Die triviale Gruppe \( \{e\} \)
• Gruppen der Ordnung 2: z.B. \( \{ e, (12) \}, \{ e, (13) \}, \{ e, (23) \}
• Gruppen der Ordnung 3: z.B. \( \{ e, (123), (132) \}
• Die ganze Gruppe \( S_3 \)

Schritt 3: Bestimme die entsprechenden Zwischenkörper

• Zum Trivialuntergruppe (\( \{e\} \)) gehört \( L = \textbf{Q}(2^{1/3}, \omega) \).
• Zu den Gruppen der Ordnung 2 gehört der Zwischenkörper \( \textbf{Q}(\theta) \), da diese Gruppe den Grundkörper der vielen Wurzeln erzeugt.
• Zu den Gruppen der Ordnung 3 gehört \( \textbf{Q}(\omega) \), da \( \textbf{Q}(\omega) \) genau die Symmetrie zu dritt erzeugt.
• Zur ganzen Galois-Gruppe gehцрт der Grund-Kцrper \( \textbf{Q} \).

Insgesamt haben wir:

• Triviale Gruppe \( \{e\} \): Zwischenkörper \( L = \textbf{Q}(2^{1/3}, \omega) \)
• Gruppen der Ordnung 2: Zwischenkörper \( \textbf{Q}(2^{1/3}) \)
• Gruppen der Ordnung 3: Zwischenkörper \( \textbf{Q}(\omega) \)
• Ganze Galois-Gruppe \( S_3 \): Grundkörper \( \textbf{Q} \)

Aufgabe 2)

Diese Aufgabe bezieht sich auf die Untersuchung und Klassifikation von Darstellungen von Gruppen, speziell unter Verwendung von Charaktertheorie und irreduzible Darstellungen. Gegeben sei die Gruppe G mit der allgemeinen linearen Gruppe GL(V) für einen endlichen-dimensionalen Vektorraum V. Wir betrachten hier speziell Darstellungen der symmetrischen Gruppe S_n und der Quaternionengruppe.

a)

Zeige, dass jede Darstellung der Quaternionengruppe Q (bestehend aus den acht Elementen \( \text{±1, ±i, ±j, ±k} \)), die in einen Vektorraum V eingebettet ist, eine irreduzible Darstellung ist.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe:Um zu zeigen, dass jede Darstellung der Quaternionengruppe Q (bestehend aus den acht Elementen \( \text{±1, ±i, ±j, ±k} \)), die in einen Vektorraum V eingebettet ist, eine irreduzible Darstellung ist, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Definition der Quaternionengruppe Q:Die Quaternionengruppe Q besteht aus den acht Elementen \( \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \). Diese Elemente erfüllen die Multiplikationsregeln der Quaternionen: \(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\).
• Irreduzible Darstellung:Eine Darstellung einer Gruppe G in einem Vektorraum V ist irreduzibel, wenn es keinen echten, nichttrivialen G-invarianten Unterraum von V gibt. Das bedeutet, dass der einzige G-invariante Unterraum entweder der Nullraum oder der gesamte Raum V ist.
• Darstellungsdimensionen:Da die Quaternionengruppe Q acht Elemente hat, können wir die Summe der Quadrate der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen betrachten. Diese Summe muss gleich der Ordnung der Gruppe sein. In diesem Fall: \( d_1^2 + d_2^2 + ... + d_k^2 = 8 \), wobei \(d_i\) die Dimensionen der irreduziblen Darstellungen sind.
• Irreduzible Darstellungen der Q:Es ist bekannt, dass die Quaternionengruppe Q genau fünf irreduzible Darstellungen hat: vier eindimensionale und eine zweidimensionale Darstellung. Diese erfüllen die Gleichung: \( 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 = 8 \).Hier sind die Darstellungen:
  • Die trivialen, eindimensionalen Darstellungen, bei denen jedes Element der Gruppe auf ±1 abgebildet wird.
  • Eine nicht-triviale zweidimensionale Darstellung, die z.B. durch komplexe Matrizen dargestellt werden kann. Dabei könnte \(i\) der Matrix \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \) entsprechen, \(j\) der Matrix \( \begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 \end{pmatrix} \) und \(k\) der Matrix \( \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{pmatrix} \).
• Irreduzibilität nachweisen:Um die Irreduzibilität nachzuweisen, müssen wir zeigen, dass keine der fünf Darstellungen echte, nichttriviale invariante Unterräume hat:
  • Die triviale Darstellung kann keine nichttrivialen Unterräume haben, da sie eindimensional ist.
  • Für die zweidimensionale Darstellung lässt sich nachweisen, dass es keine echten, nichttrivialen, invariantem Unterräume gibt, da jede nichttriviale Invarianz den gesamten zweidimensionalen Raum umfasst.
• Zusammenfassung:Da wir gesehen haben, dass alle Darstellungen der Quaternionengruppe Q (bestehend aus den acht Elementen ±1, ±i, ±j, ±k) entweder eindimensional oder zweidimensional und irreduzibel sind, können wir folgern, dass jede Darstellung von Q irreduzibel ist, wenn sie in einen Vektorraum V eingebettet ist.

b)

Bestimme die Charaktere der irreduziblen Darstellungen der Gruppe S_3, der symmetrischen Gruppe auf drei Elementen. Zeige alle Berechnungen in voller Länge und erkläre die Charaktertabelle dieser Gruppe.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe:Um die Charaktere der irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe \( S_3 \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor. Die symmetrische Gruppe \( S_3 \) ist die Gruppe aller Permutationen von drei Elementen. Sie hat sechs Elemente und drei Konjugationsklassen.### Elemente von \( S_3 \)Die Elemente von \( S_3 \) sind:

• Identität: \( e \)
• Transpositionen: \( (12), (13), (23) \)
• 3-Zyklen: \( (123), (132) \)

### Konjugationsklassen von \( S_3 \)

• \( \{ e \} \)
• \( \{ (12), (13), (23) \} \)
• \( \{ (123), (132) \} \)

### Irreduzible Darstellungen von \( S_3 \)Es gibt drei irreduzible Darstellungen von \( S_3 \):

• Eine eindimensionale triviale Darstellung
• Eine eindimensionale alternierende Darstellung
• Eine zweidimensionale Darstellung

### Berechnung der Charaktere#### 1. Triviale Darstellung

• Jedes Element wird auf 1 abgebildet.

Charakter der trivialen Darstellung:\[ \begin{array}{c|ccc} \text{Element} & e & (12), (13), (23) & (123), (132) \ \hline \chi_1 & 1 & 1 & 1 \end{array} \]#### 2. Alternierende Darstellung

• Jedes Element wird auf das Vorzeichen der Permutation abgebildet.

Charakter der alternierenden Darstellung:\[ \begin{array}{c|ccc} \text{Element} & e & (12), (13), (23) & (123), (132) \ \hline \chi_2 & 1 & -1 & 1 \end{array} \]#### 3. Zweidimensionale Darstellung

• Diese Darstellung kann durch Matrizen realisiert werden.
• Identität: \( e \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \chi_3(e) = 2 \)
• Transpositionen: \( (12) \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \chi_3((12)) = 0 \)
• 3-Zyklen: \( (123) \rightarrow \begin{pmatrix} \omega & 0 \ 0 & \omega^2 \end{pmatrix} \rightarrow \chi_3((123)) = -1 \)wobei \( \omega = e^{2\pi i /3} \)

Charakter der zweidimensionalen Darstellung:\[ \begin{array}{c|ccc} \text{Element} & e & (12), (13), (23) & (123), (132) \ \hline \chi_3 & 2 & 0 & -1 \end{array} \]### Charaktertafel von \( S_3 \)Mithilfe der vorangegangenen Berechnungen erhalten wir die Charaktertafel von \( S_3 \):\[ \begin{array}{c|ccc} & e & (12), (13), (23) & (123), (132) \ \hline \chi_1 & 1 & 1 & 1 \ \chi_2 & 1 & -1 & 1 \ \chi_3 & 2 & 0 & -1 \end{array} \]### Erklärung der CharaktertafelDie Charaktertafel fasst die Charaktere der irreduziblen Darstellungen von \( S_3 \) zusammen. Die Zeilen entsprechen den irreduziblen Darstellungen, und die Spalten entsprechen den Konjugationsklassen der Gruppe. Jede Eintrag \( \chi \) in der Tafel gibt den Charakter der entsprechenden Darstellung für die Elemente in der jeweiligen Konjugationsklasse an. Understanding the character values allows us to understand how each representation acts on elements of the group, summarizing fundamental properties of these representations.

c)

Sei G eine endliche Gruppe und sei \(\rho: G \rightarrow GL(V)\) eine treue lineare Darstellung von G. Beweise, dass die Darstellung treu ist, wenn und nur wenn der Kern von \(\rho\) trivial ist.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe:Um zu beweisen, dass die Darstellung \(\rho: G \rightarrow GL(V)\) treu ist, wenn und nur wenn der Kern von \(\rho\) trivial ist, müssen wir beide Implikationen zeigen:

• 1. Wenn die Darstellung \(\rho\) treu ist, dann ist der Kern von \(\rho\) trivial:
  • Eine Darstellung \(\rho\) ist treu, wenn \(\rho\) injektiv ist, d.h., wenn verschiedene Elemente von G auf verschiedene Elemente von \(GL(V)\) abgebildet werden.
  • Das bedeutet, dass für \(g_1, g_2 \in G\) gilt: \(\rho(g_1) = \rho(g_2)\) genau dann, wenn \(g_1 = g_2\).
  • Der Kern von \(\rho\) ist die Menge aller \(g \in G\), für die \(\rho(g)\) die Identitätsabbildung in \( GL(V)\) ist. Formal: \(\ker(\rho) = \{ g \in G | \rho(g) = e \in GL(V) \}\).
  • Wenn \(\rho\) treu ist, dann ist \(\rho\) injektiv, d.h., \(\rho(g) = e\) genau dann, wenn \(g = e\).
  • Daher enthält der Kern von \(\rho\) nur das neutrale Element \(e\), das bedeutet, dass der Kern trivial ist.
• 2. Wenn der Kern von \(\rho\) trivial ist, dann ist die Darstellung \(\rho\) treu:
  • Angenommen, der Kern von \(\rho\) ist trivial, das bedeutet, \(\ker(\rho) = \{ e \}\), wobei \( e\) das neutrale Element in \( G\) ist.
  • Das bedeutet, dass \(\rho(g) = e\) nur dann gilt, wenn \( g = e\).
  • Wir müssen zeigen, dass \(\rho\) injektiv ist. Nehmen wir an, \( \rho(g_1) = \rho(g_2)\) für \( \ g_1, g_2 \in G\).
  • Dann haben wir \( \rho(g_1) \rho(g_2^{-1}) = \rho(g_2) \rho(g_2^{-1})\).
  • Da \(\rho(g_2) \) eine injektive Abbildung ist, folgt \(\rho(g_1 g_2^{-1}) = e \), weil \(\rho(g_2)\rho(g_2^{-1}) = e\).
  • Da der Kern von \(\rho\) nur das neutrale Element enthält, bedeutet \(\rho(g_1 g_2^{-1}) = e, dass g_1 g_2^{-1} = e\).Also, \(g_1 = g_2\).
  • Da dies für beliebige \(g_1, g_2 \) gilt, ist \(\rho \) injektiv.

### Schlussfolgerung:Die Darstellung \(\rho: G \rightarrow GL(V) \) ist treu, wenn und nur wenn der Kern von \(\rho \) trivial ist. Dies bedeutet, dass unterschiedliche Elemente von \(G\) unterschiedliche Abbildungen in \(GL(V)\) haben, was genau die Definition der Treue ist.

d)

Zeige, dass das Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen nicht notwendigerweise irreduzibel ist, indem Du ein konkretes Beispiel verwendest. Diskutiere die Implikationen dieser Eigenschaft für die Charakterisierung von Darstellungen und die Moduln.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe:Um zu zeigen, dass das Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen nicht notwendigerweise irreduzibel ist, verwenden wir ein konkretes Beispiel. Wir betrachten die symmetrische Gruppe \( S_3 \), da sie eine gut untersuchte und einfache Gruppe ist, um solche Eigenschaften zu demonstrieren.### Irreduzible Darstellungen von \( S_3 \)Die Gruppe \( S_3 \) hat drei irreduzible Darstellungen:

• Die triviale Darstellung \( \chi_1 \)
• Die alternierende Darstellung \( \chi_2 \)
• Eine zweidimensionale Darstellung \( \chi_3 \)

### Beispiel für das TensorproduktBetrachten wir das Tensorprodukt der zweidimensionalen Darstellung \( \chi_3 \) von \( S_3 \) mit sich selbst.### Darstellung der CharakterstrukturDie Charaktere der irreduziblen Darstellungen von \( S_3 \) sind wie folgt (Zeilen entsprechen Darstellungen und Spalten entsprechen Konjugationsklassen):

	e	(12), (13), (23)	(123), (132)
χ_1	1	1	1
χ_2	1	-1	1
χ_3	2	0	-1

#### Tensorprodukt der zweidimensionalen Darstellung mit sich selbstUm den Charakter des Tensorprodukts \( \chi_3 \otimes \chi_3 \) zu berechnen, verwenden wir die Formel für das Tensorprodukt von Charakteren:\[\chi_{{3 \otimes 3}}(g) = \chi_3(g) \cdot \chi_3(g)\] Berechnungen für die verschiedenen Konjugationsklassen (Verwenden der Werte aus der Charaktertabelle):\[\chi_{{3 \otimes 3}}(e) = \chi_3(e) \cdot \chi_3(e) = 2 \cdot 2 = 4\]\[\chi_{{3 \otimes 3}}((12)) = \chi_3((12)) \cdot \chi_3((12)) = 0 \cdot 0 = 0\]\[\chi_{{3 \otimes 3}}((123)) = \chi_3((123)) \cdot \chi_3((123)) = -1 \cdot -1 = 1\]Ergebnisse:

	e	(12), (13), (23)	(123), (132)
χ3 ⊗ 3	4	0	1

#### Zerlegung des TensorproduktsWir vergleichen den berechneten Charakter mit den vorhandenen irreduziblen Charakteren von \( S_3 \).Die Berechnung zeigt, dass dieser Charakter nicht irreduzibel ist und tatsächlich in die Summe der irreduziblen Charakter zerfällt. In diesem Fall zerfällt das Tensorprodukt wie folgt:Dies ist:\[\chi_{{3 \otimes 3}} = \chi_3 \otimes \chi_3 = \chi_1 + \chi_2 + \chi_3 + \chi_3\]### Implikationen

• Wichtigkeit der Untersuchung: Dies zeigt, dass selbst wenn wir mit irreduziblen Darstellungen beginnen, das Ergebnis des Tensorprodukts möglicherweise zu einer reduzierbaren Darstellung führt.
• Characterisierung von Darstellungen: Die Fähigkeit zur Zerlegung von Tensorprodukten ist ein wichtiges Werkzeug in der Darstellungstheorie, insbesondere zur Charakterisierung und Klassifikation von Darstellungen.
• Modulnstruktur: Dies bedeutet, dass Moduln, die aus Tensorprodukten gebildet werden, möglicherweise zusätzlichen Strukturen und Invarianten aufweisen, die für eine genauere Analyse von Interesse sind.

Zusammengefasst zeigt dieses Beispiel aus der symmetrischen Gruppe \( S_3 \), dass das Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen nicht unbedingt irreduzibel ist. Es betont auch die Bedeutung der Zerlegung solcher Produkte zur vollständigen Charakterisierung und Untersuchung von Darstellungen.

Aufgabe 3)

Im Rahmen der Finite-Elemente-Methode (FEM) werden partielle Differentialgleichungen (PDEs) durch Diskretisierung eines kontinuierlichen Bereichs in kleine endliche Elemente gelöst. Der Prozess umfasst mehrere Schritte: Zunächst wird das kontinuierliche Gebiet diskretisiert, anschließend wird die PDE in eine Integralform durch schwache Formulierung umgewandelt. Es werden geeignete Ansatzfunktionen, wie lineare oder quadratische Funktionen, gewählt. Die Elementgleichungen werden zu einem globalen Gleichungssystem zusammengeführt, welches dann gelöst wird, um die unbekannten Parameter zu ermitteln. Diese Methode findet Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Strukturmechanik, Fluiddynamik und Thermodynamik. Die Gittergenerierung spielt eine entscheidende Rolle für die Genauigkeit und Effizienz der Lösung. Zu den gängigen Software-Tools für Finite-Elemente-Analysen zählen ANSYS, COMSOL und abaqus.

a)

Beschreibe den Prozess der Diskretisierung in der Finite-Elemente-Methode. Welche Rolle spielt die Wahl der Ansatzfunktionen in diesem Prozess?

Lösung:

• Diskretisierungsprozess in der Finite-Elemente-Methode (FEM):
• 1. Definition des kontinuierlichen Gebiets: Zunächst wird das Gebiet, in dem die partielle Differentialgleichung gelöst werden soll, definiert. Dieses Gebiet kann z.B. ein Bauteil in der Strukturmechanik oder ein Strömungsbereich in der Fluiddynamik sein.
• 2. Aufteilung des Gebiets in finite Elemente: Das kontinuierliche Gebiet wird in eine endliche Anzahl kleinerer, einfacherer Teilgebiete (Elemente) aufgeteilt, z.B. Dreiecke oder Vierecke in 2D oder Tetraeder und Hexaeder in 3D. Dieser Prozess wird als Meshing oder Gittergenerierung bezeichnet.
• 3. Wahl der Ansatzfunktionen: Innerhalb jedes Elements werden sogenannte Ansatzfunktionen (Basisfunktionen) gewählt. Diese Funktionen beschreiben, wie sich die Lösungsvariablen über das Element hinweg verhalten. Übliche Wahlmöglichkeiten sind lineare, quadratische oder höhere Polynome.
• 4. Formulierung der lokalen Elementgleichungen: Die ursprüngliche partielle Differentialgleichung wird für jedes Element durch eine Schwachformulierung in eine Integralform umgewandelt. Mit den gewählten Ansatzfunktionen werden daraus lokale Elementgleichungen aufgestellt.
• 5. Zusammenführung zu einem globalen Gleichungssystem: Die lokalen Elementgleichungen werden durch spezielle Techniken zu einem globalen Gleichungssystem verknüpft. Dies bildet das Gesamtmodell des kontinuierlichen Problems.
• 6. Lösung des globalen Gleichungssystems: Das abgeschlossene Gleichungssystem wird durch numerische Methoden (z.B. direkte oder iterative Verfahren) gelöst, um die unbekannten Parameter zu ermitteln.
• Rolle der Ansatzfunktionen:
• Die Wahl der Ansatzfunktionen hat einen erheblichen Einfluss auf die Genauigkeit und Effizienz der FEM-Lösung.
• Lineare Ansatzfunktionen sind einfach zu handhaben und führen zu kleineren Gleichungssystemen, bieten jedoch möglicherweise nicht die erforderliche Präzision.
• Höhere Polynome (z.B. quadratische oder kubische) können eine höhere Genauigkeit bieten und komplexere physikalische Verhaltensweisen besser erfassen, erfordern aber größere und komplexere Gleichungssysteme, was die Rechenzeit erhöhen kann.
• Es ist daher oft ein Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand nötig, und die Wahl der Ansatzfunktionen sollte auf die spezifischen Anforderungen des jeweiligen Problems abgestimmt sein.

c)

Erkläre die Schritte der Assemblierung zu einem globalen Gleichungssystem. Angenommen, Du verwendest lineare Ansatzfunktionen. Wie veränderst sich die Matrixstruktur?

Lösung:

• Schritte der Assemblierung zu einem globalen Gleichungssystem:
• 1. Diskretisierung des Gebiets: Der erste Schritt in der Finite-Elemente-Methode (FEM) besteht darin, das kontinuierliche Gebiet in kleine, endliche Elemente zu unterteilen. Dies wird Gittergenerierung oder Meshing genannt.
• 2. Lokale Elementgleichungen: Für jedes Element wird eine lokale Gleichung unter Verwendung der gewählten Ansatzfunktionen aufgestellt. Angenommen, wir verwenden lineare Ansatzfunktionen, dann hat jedes Element eine einfache Form der Gleichungen mit zwei Knotenpunkten in 1D, drei Knotenpunkten in 2D-Dreieckselementen oder vier Knotenpunkten in 2D-Viereckselementen.
• 3. Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrix: Für jedes Element berechnen wir eine lokale Steifigkeitsmatrix und eine Lastvektor. Diese enthalten die Beziehungen zwischen den benachbarten Knotenpunkten.
• 4. Transformation der lokalen auf globale Knoten: Die lokalen Knotenpunkte und Gleichungen der Elemente werden mittels einer Transformationsmatrix (Mapping) auf die globalen Knotenpunkte des gesamten Modells übertragen.
• 5. Assemblierung der globalen Gleichungssysteme: Die lokalen Elementgleichungen werden zu einem großen globalen Gleichungssystem zusammengeführt. Dies geschieht durch Summieren der Einträge der lokalen Matrizen und Vektoren an den entsprechenden Positionen der globalen Matrix und des globalen Vektors. Dadurch entsteht eine große systemweite Steifigkeitsmatrix.
• 6. Übergabe der Randbedingungen: Nun werden die Randbedingungen auf die globalen Matrix angewendet, was zur Modifikation der entsprechenden Zeilen und Spalten der Matrix führen kann.
• Veränderung der Matrixstruktur bei Verwendung linearer Ansatzfunktionen:
• Bei Verwendung linearer Ansatzfunktionen hat jedes Element eine einfache Form der Gleichungen, da jeder Knoten pro Element linear ist. Dies führt zu einer spärlichen (sparse) Struktur, die sich durch wenige Nicht-Null-Einträge im globalen System charakterisiert.
• Vorher-Nachher-Struktur:
• Vorher: Elemente sind noch nicht zu einem globalen System verbunden, daher sind die lokalen Matrizen klein und können leicht direkt gelöst werden.
• Nachher: Die Assemblierung führt zu einer großen sparsamen globalen Matrix, wobei die meisten Einträge Null sind. Dies ist aufgrund der Tatsache, dass nur benachbarte Elemente gemeinsame Knoten haben und daher nur diese Stellen in der Matrix besetzt sind.
• Effizienz: Die spärliche Struktur führt zu erheblichen Einsparungen beim Speicherbedarf und der Rechenleistung, da spezielle numerische Algorithmen für sparsame Matrizen verwendet werden können, wie der Conjugate Gradient Method.

d)

Ein Ingenieur plant, die Temperaturverteilung in einem Festkörper mit FEM zu analysieren. Diskutiere die Bedeutung der Gittergenerierung und den Einfluss verschiedener Gittertypen auf die Lösung. Welche FEM-Software würdest Du empfehlen und warum?

Lösung:

• Bedeutung der Gittergenerierung:
• Die Gittergenerierung ist ein entscheidender Schritt bei der Anwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM). Sie beeinflusst maßgeblich die Genauigkeit und die Rechenzeit der Lösung. Ein gutes Gitter ermöglicht genauere Ergebnisse und effizientere Berechnungen.
• Ein dichtes Gitter (viele kleine Elemente) kann detaillierte und präzise Ergebnisse erreichen, ist jedoch rechnerisch aufwändiger. Ein grobes Gitter (wenige große Elemente) lässt sich schneller berechnen, kann aber weniger präzise Ergebnisse liefern.
• Ein weiterer wichtiger Aspekt der Gittergenerierung ist die Gitterqualität. Elemente sollten möglichst gleichmäßig und möglichst orthogonal sein, um numerische Stabilität zu gewährleisten und Singularitäten oder Verzerrungen in der Lösung zu vermeiden.
• Einfluss verschiedener Gittertypen auf die Lösung:
• Hexaeder und Tetraeder (3D): Hexaeder (Würfel) haben oft eine bessere Konvergenz und geringere numerische Fehler. Tetraeder (Pyramiden) sind flexibler und lassen sich einfacher an komplexe Geometrien anpassen, jedoch sind sie numerisch weniger effizient als Hexaeder.
• Quadratische vs. lineare Elemente: Quadratische Elemente (mit Kurven an den Rändern und zusätzlichen Mittelknoten) können die Lösung genau nachvollziehen, sind aber rechnerisch aufwändiger. Lineare Elemente sind schneller zu berechnen, bieten aber weniger Genauigkeit bei stark gekrümmten oder nichtlinearen Verläufen.
• Reguläre vs. unreguläre Gitter: Ein reguläres Gitter hat gleichmäßige Abstände zwischen den Knotenpunkten, was zu einer stabileren und konsistenteren Lösung führt. Ein unregelmäßiges Gitter (mit variablen Abständen) kann an die Geometrie und die lokalen physikalischen Phänomene angepasst werden, birgt aber die Gefahr von Instabilitäten und numerischen Fehlern.
• Empfohlene FEM-Software und Begründung:
• ANSYS: ANSYS ist ein leistungsfähiges Tool, das eine breite Palette von physikalischen Phänomenen abdecken kann. Es hat umfangreiche Möglichkeiten für die Gittergenerierung und -manipulation und bietet robuste Solver für thermische Analysen. Außerdem bietet ANSYS eine benutzerfreundliche Oberfläche und ist weit verbreitet in der Industrie.
• COMSOL Multiphysics: COMSOL ist bekannt für seine Vielseitigkeit und die Möglichkeit, mehrere physikalische Phänomene in einem Modell zu kombinieren. Es bietet eine intuitive Benutzeroberfläche und starke Werkzeuge für die Gittergenerierung und Anpassung an komplexe Geometrien. Besonders praktische ist die Möglichkeit, benutzerdefinierte physikalische Modelle leicht zu integrieren.
• abaqus: abaqus bietet ebenfalls eine hohe Leistungsfähigkeit und wird häufig für komplexe Ingenieursanalysen verwendet, einschließlich thermischer Analysen. Es unterstützt fortschrittliche Gittergenerierungstechniken und bietet leistungsstarke Solver. Es ist besonders geeignet für die Analyse von Strukturdynamik und Materialverhalten.
• Alle diese Tools bieten umfangreiche Dokumentation und Support, was für Ingenieure wichtig ist, die möglicherweise mit komplexen Problemen zu tun haben.

Aufgabe 4)

Stabilität und Konvergenz numerischer Methoden: Betrachte das Verhalten der Fehlerfortpflanzung in numerischen Verfahren (Stabilität) sowie die Annäherung der numerischen Lösung an die exakte Lösung bei der Verfeinerung der Diskretisierung (Konvergenz). Eine Methode ist stabil, wenn ein kleiner Eingabefehler nur kleine Ausgangsfehler verursacht, und konvergent, wenn der Fehler gegen Null geht bei schrittweiser Verkleinerung des Diskretisierungsparameters. Das Lax-Äquivalenztheorem besagt, dass eine Methode konvergent ist, wenn sie stabil und konsistent ist. Fehlerabschätzungen können durch Nutzung von Normen wie der L^2-Norm durchgeführt werden. Eine numerische Methode ist konsistent, wenn ihre Diskretisierung der Differentialgleichung bei Schrittweiten h → 0 entspricht. Das Stabilitätskriterium besagt, dass der Spektralradius einer Iterationsmatrix kleiner als 1 sein muss.

a)

Betrachte die Differenzengleichung für die numerische Berechnung der Lösung der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dt} = -2y\). Untersuche, ob das Verfahren stabil ist, wenn als numerische Methode das explizite Euler-Verfahren verwendet wird. Zeige die Stabilität anhand des Spektralradius der Iterationsmatrix.

Lösung:

Um die Stabilität des expliziten Euler-Verfahrens für die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dt} = -2y\) zu überprüfen, müssen wir die numerische Methode und den Spektralradius der Iterationsmatrix analysieren:

• Formulierung des expliziten Euler-Verfahrens: Das explizite Euler-Verfahren zur Lösung der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dt} = -2y\) ist gegeben durch: \[y_{n+1} = y_n + h f(y_n, t_n)\] wobei \(f(y_n, t_n) = -2y_n\). Daher ergibt sich: \[y_{n+1} = y_n + h(-2y_n) = y_n (1 - 2h)\]
• Iterationsmatrix: Die Iterationsmatrix A für dieses Verfahren ist somit einfach der Faktor, der \(y_n\) multipliziert: \[A = 1 - 2h\].
• Spektralradius der Iterationsmatrix: Der Spektralradius \(\rho(A)\) einer Matrix A ist der Betrag des größten Eigenwerts dieser Matrix. In diesem Fall ist die Matrix A eine Skalare, daher ist \(\rho(A) = |1 - 2h|\). Für Stabilität muss \(\rho(A) < 1\) gelten: \[|1 - 2h| < 1\] Lösen dieser Ungleichung ergibt: \[-1 < 1 - 2h < 1\] Aufteilen der Ungleichung: \[-1 < 1 - 2h\] \[-2 < -2h\] \[h < 1\] und \[1 - 2h < 1\] \[-2h < 0\] \[h > 0\] (was bereits offensichtlich ist, weil h positiv sein muss).
• Stabilitätsbedingung: Die Stabilitätsbedingung lautet also, dass die Schrittweite h kleiner als 0,5 sein muss: \[0 < h < 0.5\]

Daraus folgt, dass das explizite Euler-Verfahren für die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dt} = -2y\) stabil ist, wenn die Schrittweite h die Bedingung \(0 < h < 0.5\) erfüllt.

b)

Beweise die Konvergenz des Euler-Verfahrens für die oben genannte Differentialgleichung unter der Voraussetzung, dass die Methode sowohl stabil als auch konsistent ist. Wende hierzu das Lax-Äquivalenztheorem an und erkläre den Zusammenhang zwischen Konsistenz und Stabilität.

Lösung:

Um die Konvergenz des Euler-Verfahrens für die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dt} = -2y\) zu beweisen, wenden wir das Lax-Äquivalenztheorem an, das besagt, dass eine numerische Methode konvergent ist, wenn sie stabil und konsistent ist.

• Konsistenz der Methode: Eine Methode ist konsistent, wenn die Diskretisierung der Differentialgleichung bei Schrittweiten \(h \to 0\) der eigentlichen Differentialgleichung entspricht.
  • Beim Euler-Verfahren für \(\frac{dy}{dt} = -2y\):
  • Diskretisierung: \[ y_{n+1} = y_n + h f(y_n, t_n) \]
  • Einsetzen von \( f(y_n, t_n) = -2y_n \): \[ y_{n+1} = y_n + h (-2y_n) = y_n (1 - 2h) \]
  • Im Grenzfall \( h \to 0 \): nähert sich die Diskretisierung der exakten Lösung an, da das explizite Euler-Verfahren zur exakten Form \( \frac{dy}{dt} = -2y \) konvergiert. Daher ist die Methode konsistent.
• Stabilität der Methode: Eine Methode ist stabil, wenn ein kleiner Eingabefehler nur kleine Ausgangsfehler zur Folge hat. Für das Euler-Verfahren besteht die Stabilitätsbedingung darin, dass der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner als 1 ist.
  • Der explizite Euler-Schritt für die gegebene Differentialgleichung ist: \[ y_{n+1} = (1 - 2h) y_n \]
  • Der Spektralradius der Iterationsmatrix \( A \) ist: \( \rho(A) = |1 - 2h| \)
  • Für Stabilität muss gelten: \( |1 - 2h| < 1 \)
  • Dies ist erfüllt für: \( 0 < h < 0.5 \)
  Daher ist das Euler-Verfahren für Schrittweiten im Bereich \(0 < h < 0.5\) stabil.
• Anwendung des Lax-Äquivalenztheorems: Da wir gezeigt haben, dass das Euler-Verfahren sowohl konsistent als auch stabil ist, können wir gemäß dem Lax-Äquivalenztheorem folgern, dass das Euler-Verfahren konvergent ist.
  • Zusammenhang zwischen Konsistenz und Stabilität: Konsistenz bedeutet, dass das numerische Verfahren die Differentialgleichung gut approximiert, wenn die Schrittweite klein gemacht wird. Stabilität stellt sicher, dass kleine Fehler im Berechnungsvorgang nicht unkontrolliert anwachsen. Zusammen führen diese beiden Eigenschaften dazu, dass die numerische Lösung mit der genauen Lösung übereinstimmt, wenn \( h \to 0 \).

Zusammenfassend: Das Euler-Verfahren ist konvergent für die Differentialgleichung \( \frac{dy}{dt} = -2y \) unter der Bedingung, dass die Schrittweite \( 0 < h < 0.5 \) ist.