Modul CalcVar: Variationsrechnung - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei das Funktional:

• \[I[y] = \int_{0}^{1} \left( y'(x)^2 - y(x)^2\right) \, \,\text{d}x \]

Aufgabe: Bestimme die Funktion y(x), die das gegebene Funktional minimiert und die am Rand \( y(0) = 0 \) und \( y(1) = 0 \) erfüllt.

a)

(a) Leite die zugehörige Euler-Lagrange-Gleichung für das gegebene Funktional her.

Lösung:

Um die Euler-Lagrange-Gleichung für das gegebene Funktional herzuleiten, müssen wir die allgemeine Form der Euler-Lagrange-Gleichung verwenden:

• \( \frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{\text{d}L}{\text{d}y'} - \frac{\text{d}L}{\text{d}y} = 0 \)

Das gegebene Funktional hat die Form:

• \( I[y] = \int_{0}^{1} \left( y'(x)^2 - y(x)^2\right) \,\text{d}x \)

Hier ist \( L(y, y') = y'^2 - y^2 \). Nun müssen wir die partiellen Ableitungen von \( L \) bestimmen:

• \( \frac{\text{d}L}{\text{d}y} = \frac{\text{d}}{\text{d}y}( y'^2 - y^2 ) = -2y \)
• \( \frac{\text{d}L}{\text{d}y'} = \frac{\text{d}}{\text{d}y'}( y'^2 - y^2 ) = 2y' \)

Daraus folgt:

• \( \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left( 2y' \right) - \left( -2y \right) = 0 \)
• \( 2y'' + 2y = 0 \)

Die Euler-Lagrange-Gleichung für das gegebene Funktional lautet somit:

• \( y'' + y = 0 \)

b)

(b) Löse die Euler-Lagrange-Gleichung mit den gegebenen Randbedingungen und bestimme die Extremalfunktion y(x).

Lösung:

Nachdem wir in Teil (a) die Euler-Lagrange-Gleichung hergeleitet haben:

• \( y'' + y = 0 \)

müssen wir nun diese Gleichung lösen, um die Extremalfunktion \( y(x) \) zu finden, die das Funktional minimiert. Wir achten dabei auf die gegebenen Randbedingungen:

• \( y(0) = 0 \)
• \( y(1) = 0 \)

Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung \( y'' + y = 0 \) ist:

• \( y(x) = A \, \cos(x) + B \, \sin(x) \)

Um die Konstanten \( A \) und \( B \) zu bestimmen, wenden wir die Randbedingungen an.

• Für \( x = 0 \) ergibt sich:
• \( y(0) = A \, \cos(0) + B \, \sin(0) = A = 0 \) (da \( \cos(0) = 1 \) und \( \sin(0) = 0 \))
• \( A = 0 \)
• Für \( x = 1 \) ergibt sich:
• \( y(1) = A \, \cos(1) + B \, \sin(1) = B \, \sin(1) = 0 \) (da \( A = 0 \) aus der ersten Randbedingung)
• \( B = 0 \)

Da sowohl \( A \) als auch \( B \) gleich Null sind, ist die Lösung der Differentialgleichung:

• \( y(x) = 0 \)

Somit ist die Extremalfunktion, die das gegebene Funktional minimiert und die Randbedingungen \( y(0) = 0 \) und \( y(1) = 0 \) erfüllt,:

• \( y(x) = 0 \)

c)

(c) Überprüfe anschließend, ob die gefundene Lösung tatsächlich ein Minimum des Funktionals darstellt.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die gefundene Lösung \( y(x) = 0 \) tatsächlich ein Minimum des Funktionals darstellt, müssen wir die zweite Variation des Funktionals untersuchen. Für das Funktional:

• \( I[y] = \int_{0}^{1} \left( y'(x)^2 - y(x)^2 \right) \, \, \text{d}x \)

sei \( y(x) = 0 \) die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung mit den Randbedingungen. Nun betrachten wir eine kleine Variation \( \eta(x) \) um \( y(x) \):

• \( y(x) = \eta(x) \)

Wir nehmen an, dass \( \eta(0) = 0 \) und \( \eta(1) = 0 \) wie die ursprüngliche Funktion \( y(x) \).

Das Funktional wird dann:

• \( I[y + \eta] = \int_{0}^{1} \left( (y'(x) + \eta'(x))^2 - (y(x) + \eta(x))^2 \right) \, \, \text{d}x \)

Da \( y(x) = 0 \), vereinfacht sich das Funktional zu:

• \( I[\eta] = \int_{0}^{1} \left( \eta'(x)^2 - \eta(x)^2 \right) \, \, \text{d}x \)

Nun müssen wir überprüfen, ob dieses Integral für alle geeigneten \( \eta(x) \) nicht-negativ ist. Das bedeutet, dass \( I[\eta] \geq 0 \) für alle \( \eta(x) \). Betrachten wir die Funktion \( \eta(x) \):

• \( I[\eta] = \int_{0}^{1} \left( \eta'(x)^2 - \eta(x)^2 \right) \, \, \text{d}x \)

Das Integral \( \int_{0}^{1} \eta'(x)^2 \, \, \text{d}x \) ist immer nicht-negativ, da es sich um das Integral des Quadrats der Ableitung handelt. Hingegen ist das Integral \( -\int_{0}^{1} \eta(x)^2 \, \, \text{d}x \) immer negativ oder null. Es ist nur null, wenn \( \eta(x) = 0 \).

Um sicherzustellen, dass \( I[\eta] \) tatsächlich nicht-negativ ist, müssen wir zeigen, dass der positive Beitrag durch \( \eta'(x) \) immer größer oder gleich dem negativen Beitrag durch \( \eta(x) \) ist. Dies ist nicht allgemein der Fall, was bedeutet, dass das Funktional \( I[\eta] \) negativ sein kann. Daher ist \( y(x) = 0 \) eine Extremal-, aber nicht notwendigerweise eine Minimallösung des Funktionals.

Um zu überprüfen, ob \( y = 0 \) wirklich ein Minimum ist, müsste man eventuell die zweite Variation berechnen oder zusätzliche Bedingungen aus der Theorie der Variationsrechnung einsetzen.

Aufgabe 2)

Betrachte das Funktional des Typs

• Gegeben: Funktional \(J[y]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx\)
• Randbedingungen: \(y(a) = y_a\), \(y(b)=y_b\)
• Wenn die Randpunkte variabel sind (z.B. \(a(t)\) und \(b(t)\)), verwendet man transversale Bedingungen
• Formulierung transversaler Bedingungen: \(L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = 0\)
• Beispiel: Brachistochrone Problem mit einem Ende frei beweglich

a)

Teilaufgabe 1: Gegeben sei das Funktional

• \(J[y]=\int_{a}^{b}(y'^2 - y^2)dx\)
• Randbedingungen: \(y(a) = 2\), \(y(b)\textrm{ variabel}\)
Finde die Euler-Lagrange-Gleichung für dieses Problem und leite die transversale Bedingung am Punkt \(b\) her.

Lösung:

Um die Euler-Lagrange-Gleichung und die transversale Bedingung für das gegebene Funktional zu finden, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Gegebenes Funktional:

  \[ J[y]=\int_{a}^{b}(y'^2 - y^2)dx \]

• Randbedingungen:

  \[ y(a) = 2, \quad y(b) \text{ variabel} \]

Schritt 1: Formuliere die Euler-Lagrange-Gleichung:

Das Funktional lautet: \[ J[y]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx \] wobei \[ L(x,y,y')=y'^2 - y^2 \] ist.

Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet: \[ \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0. \] Für das gegebene \[ L \]: \[ \frac{\partial L}{\partial y'} = 2y', \quad \frac{\partial L}{\partial y} = -2y. \]

Daraus ergibt sich: \[ \frac{d}{dx}(2y') - (-2y) = 0, \] oder \[ 2y'' + 2y = 0, \] oder \[ y'' + y = 0. \]

Somit ist die Euler-Lagrange-Gleichung für dieses Problem: \[ y'' + y = 0. \]

Schritt 2: Transversale Bedingung am Punkt \[ b \]

Die transversale Bedingung lautet: \[ L - y' \frac{\partial L}{\partial y'} = 0. \] Für \[ L \]: \[ L = y'^2 - y^2, \quad \frac{\partial L}{\partial y'} = 2y' \]

Also, die transversale Bedingung lautet: \[ y'^2 - y^2 - y' 2y' = 0, \] oder \[ y'^2 - y^2 - 2(y')^2 = 0, \] oder \[ - y'^2 - y^2 = 0, \] das ergibt: \[ (y')^2 + y^2 = 0. \] Da \[ (y')^2 \] und \[ y^2 \] beide immer größer oder gleich null sind (und mindestens eine der beiden Komponenten positiv sein muss), folgt: \[ y(b) = 0. \]

Die transversale Bedingung am Punkt \[ b \] lautet also: \[ y(b) = 0. \]

Somit ist die vollständige Lösung für die gestellte Aufgabe gefunden.

b)

Teilaufgabe 2: Gegeben sei das Brachistochrone Problem, bei dem ein Ende der Kurve variabel ist. Leite die Gleichung der transversalen Bedingung her und erkläre physikalisch, was diese Bedingung bedeutet.

Lösung:

Um die Gleichung der transversalen Bedingung für das Brachistochrone-Problem herzuleiten und ihre physikalische Bedeutung zu erklären, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Das Brachistochrone-Problem ist ein klassisches Problem der Variationsrechnung, bei dem die Zeit minimiert wird, die ein Körper benötigt, um entlang einer Kurve von einem Punkt zu einem anderen unter dem Einfluss der Schwerkraft zu gelangen.
• Gegeben: Funktional \( J[y]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx \)
• Randbedingungen: \( y(a) = y_a \), \( y(b) \text{ variabel} \)

Schritt 1: Formuliere das Funktional für das Brachistochrone-Problem:

Die zu minimierende Funktion für die Zeit kann folgendermaßen formuliert werden: \[ L(x,y,y') = \frac{ \sqrt{1 + (y')^2} }{ \sqrt{2gy}} \] wobei \( g \) die Gravitationskonstante ist.

Schritt 2: Formuliere die transversale Bedingung:

Die allgemeine Form der transversalen Bedingung lautet: \[ L - y' \frac{\partial L}{\partial y'} = 0. \]

Für das Brachistochrone-Problem ergibt sich: \[ L = \frac{ \sqrt{1 + (y')^2} }{ \sqrt{2gy}} \] \[ \frac{\partial L}{\partial y'} = \frac{\partial}{\partial y'} \left( \frac{ \sqrt{1 + (y')^2 } }{ \sqrt{2gy} } \right) = \frac{ y' }{ \sqrt{2gy} \sqrt{ 1 + (y')^2 } } \]

Die transversale Bedingung ist daher: \[ \frac{ \sqrt{1 + (y')^2} }{ \sqrt{2gy} } - y' \cdot \frac{ y' }{ \sqrt{2gy} \sqrt{ 1 + (y')^2 } } = 0 \] oder \[ \frac{ \sqrt{1 + (y')^2} }{ \sqrt{2gy} } - \frac{ (y')^2 }{ \sqrt{2gy} \sqrt{ 1 + (y')^2 } } = 0 \] oder \[ \sqrt{1 + (y')^2} - \frac{ (y')^2 }{ \sqrt{1 + (y')^2} } = 0 \] oder \[ 1 + (y')^2 - (y')^2 = 0 \] oder \[ 1 = 0 \] Da dies immer als wahr angenommen werden kann, ergibt sich die transversale Bedingung auch hier als stets erfüllt.

Physikalische Bedeutung der transversalen Bedingung:

Im Kontext des Brachistochrone-Problems bedeutet die transversale Bedingung physikalisch, dass der Körper das konfigurierte Ende der Kurve am Punkt \( b \) erreicht unter minimaler Zeit. Diese Bedingung stellt sicher, dass die Trajektorie der Kurve optimal für die schnellste Reisedauer ist, im Einklang mit der Gravitationswirkung. Sie erlaubt uns zu verstehen, dass in einer idealen Situation, wenn die Endpunkte der Bahn variabel sind, keine zusätzlichen Optimierungen am Endpunkt notwendig sind.

d)

Teilaufgabe 4: Setze voraus, dass der Punkt \(a\) im Funktional \(J[y]=\int_{a}^{b}L(x,y,y') dx\) ebenfalls variabel ist und leite die entsprechende transversale Bedingung für \(a\) ab. Vergleiche diese mit der Bedingung für \(b\). Diskutiere die Bedeutung der unterschiedlichen Randbedingungen für die Formulierung des Problems.

Lösung:

Um die transversale Bedingung für den Punkt \( a \), wenn dieser ebenfalls variabel ist, abzuleiten und mit der Bedingung für den Punkt \( b \) zu vergleichen, gehen wir systematisch vor:

• Gegebenes Funktional:

  \( J[y]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx \)

• Randbedingungen:

  \( y(a) = y_a, \quad y(b) = y_b \)

• Formulierung transversaler Bedingungen:

  \( L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = 0 \)

Schritt 1: Transversale Bedingung am variablen Punkt \( b \)

Formulierung transversaler Bedingungen für den variablen Punkt \( b \): \( L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = 0 \)

Diese Bedingung wurde in früheren Beispielen bereits hergeleitet und lautet:

Für das generell gegebene Funktional \( L \): \( L = L(x,y,y') \) und \( \frac{\partial L}{\partial y'} \)

Die transversale Bedingung lautet dann: \( L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = 0 \)

Schritt 2: Transversale Bedingung am variablen Punkt \( a \)

Wenn auch der Punkt \( a \) variabel ist, wird eine ähnliche Bedingung wie bei Punkt \( b \) verwendet:

Die Variation der Aktion muss auch am Anfangspunkt berücksichtigt werden. Dafür ergibt sich:

Für den Anfangspunkt \( a \) lautet die transversale Bedingung:

\( L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = 0 \)

Unterschiedliche Randbedingungen für die Formulierung des Problems:

• Wenn beide Randpunkte \( a \) und \( b \) festgelegt sind, gibt es keine transversalen Bedingungen für diese Punkte. Die Lösung des Problems liegt im Inneren des Integrationsbereichs.
• Wenn einer der Randpunkte variabel ist (z.B. \( b(t) \)), kommt eine transversale Bedingung ins Spiel, die die Abweichung bezüglich der Randbedingungen (Position und Geschwindigkeit) beschreibt.
• Wenn beide Randpunkte variabel sind, müssen beide transversalen Bedingungen für \( a \) und \( b \) berücksichtigt werden, was das Problem komplexer macht und zusätzliche Bedingungen auf die Lösung aufbringt.

Im Wesentlichen beschreibt die transversale Bedingung am variablen Punkt, dass die Funktion, die die Randpunkte verbindet, eine spezielle Relation zwischen Position und Ableitung (Geschwindigkeit) an diesen Punkten erfüllen muss. Dies kommt daher, dass bei variablen Randpunkten die Optimierung der Wegstrecke auch das Verhalten an den Rändern betrifft.

Aufgabe 3)

Betrachte ein physikalisches System, das durch die Lagrange-Dichte \(\mathcal{L}\) beschrieben wird. Die Lagrange-Dichte ist invariant unter der kontinuierlichen Transformation \(\delta q \rightarrow q + \epsilon f(q)\). Verwende das Noether-Theorem, um die entsprechenden Erhaltungssätze abzuleiten und zu analysieren.

a)

Zeige, dass aus der Invarianz der Lagrange-Dichte unter der Transformation \(\delta q \rightarrow q + \epsilon f(q)\) ein konservierter Noether-Strom \(J^{\mu}\) folgt. Bestimme die Form des Noether-Stroms \(J^{\mu}\) in Abhängigkeit von der Lagrange-Dichte \(\mathcal{L}\) und der Transformation \(f(q)\).

Lösung:

Um zu zeigen, dass aus der Invarianz der Lagrange-Dichte unter der Transformation \(\delta q \rightarrow q + \epsilon f(q)\) ein konservierter Noether-Strom \(J^{\mu}\) folgt, und um die Form des Noether-Stroms \(J^{\mu}\) zu bestimmen, gehen wir schrittweise vor.

• Schritt 1: Noether-Theorem und Lagrange-DichteDas Noether-Theorem besagt, dass für jede kontinuierliche Symmetrie der Lagrange-Dichte \(\mathcal{L}\) ein Erhaltungssatz existiert. Es gibt eine Konserved Größe bzw. einen konservierten Strom.
• Schritt 2: Transformation und Variation der Lagrange-DichteWir betrachten die kontinuierliche Transformation \(\delta q \rightarrow q + \epsilon f(q)\). Diese führt zu einer Variation der Lagrange-Dichte. Wenn die Lagrange-Dichte unter dieser Transformation invariant ist, dann haben wir:

\[\delta \mathcal{L} = \epsilon \frac{d\mathcal{L}}{dq} f(q) = 0\]

• Schritt 3: Euler-Lagrange-GleichungenDie Euler-Lagrange-Gleichungen lauten:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \partial_{\mu} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} q)}\right) = 0\]

• Schritt 4: Noether-StromDer konservierte Noether-Strom \(J^{\mu}\) ist gegeben durch:

\[J^{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} q)} f(q)\]

Dies ist die Form des Noether-Stroms in Abhängigkeit von der Lagrange-Dichte \(\mathcal{L}\) und der Transformation \(f(q)\).

• Schritt 5: Erhaltung des Noether-StromsAus der Invarianz der Lagrange-Dichte folgt die Erhaltungsbedingung für den Strom:

\[\partial_{\mu} J^{\mu} = 0\]

b)

Gegeben ist die Lagrange-Dichte eines freien Teilchens: \(\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - V(q)\). Bestimme den Noether-Strom für die Zeittranslationssymmetrie und zeige, dass der erhaltene Noether-Strom der Energie des Systems entspricht.

Lösung:

Um den Noether-Strom für die Zeittranslationssymmetrie zu bestimmen und zu zeigen, dass der erhaltene Noether-Strom der Energie des Systems entspricht, betrachten wir die gegebene Lagrange-Dichte eines freien Teilchens:

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - V(q)\]

• Schritt 1: ZeittranslationssymmetrieBei der Zeittranslationssymmetrie wird die Zeit um eine kleine Größe \(\epsilon\) verschoben: \(t \rightarrow t + \epsilon\). Dies bedeutet, dass die Koordinate \(q(t)\) durch \(q(t + \epsilon)\) ersetzt wird. Für kleine \(\epsilon\) kann dies als infinitesimale Veränderung betrachtet werden:

\[\delta q = \dot{q} \epsilon\]

• Schritt 2: Variation der Lagrange-DichteDa die Lagrange-Dichte \(\mathcal{L}\) unter der Zeittranslationssymmetrie invariant ist, ergibt sich:

\[\delta \mathcal{L} = 0\]

• Schritt 3: Noether-StromDer Noether-Strom für eine kontinuierliche Symmetrie ist allgemein gegeben durch:

\[J^{\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} q)} \delta q - g^{\mu u} \mathcal{L} \epsilon\]

Für die Zeittranslation betrifft dies nur die Zeitkomponente des Stroms:

\[J^{0} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \dot{q} - \mathcal{L}\]

• Schritt 4: Berechnung des Noether-StromsWir berechnen die einzelnen Terme:
• Die Ableitung der Lagrange-Dichte nach der Geschwindigkeit ist:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} = m \dot{q}\]

• Damit ergibt sich:

\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \dot{q} = m \dot{q}^2\]

• Die Lagrange-Dichte selbst ist:

\[\mathcal{L} = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - V(q)\]

• Setzt man dies alles in den Ausdruck für den Noether-Strom ein, so erhält man:

\[J^{0} = m \dot{q}^2 - \left( \frac{1}{2} m \dot{q}^2 - V(q) \right)\]

• Dies vereinfacht sich zu:

\[J^{0} = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 + V(q)\]

• Schritt 5: Energie des SystemsWir erkennen, dass der Noether-Strom für die Zeittranslation der Hamilton-Funktion entspricht, die Energie des Systems (die Summe aus kinetischer und potentieller Energie):

\[E = \frac{1}{2} m \dot{q}^2 + V(q)\]

Demnach ist gezeigt, dass der erhaltene Noether-Strom der Energie des Systems entspricht.

c)

Betrachte ein System mit zwei Freiheitsgraden \(q_1(t)\) und \(q_2(t)\), deren Lagrange-Dichte unter der kontinuierlichen Transformation \(q_1 \rightarrow q_1 + \epsilon \) invariant ist. Leite die erhaltene Größe aus dieser Symmetrie ab und interpretiere die physikalische Bedeutung dieser Größe im Kontext des Systems.

Lösung:

Um die erhaltene Größe aus der kontinuierlichen Transformation \(q_1 \rightarrow q_1 + \epsilon\) abzuleiten und deren physikalische Bedeutung zu interpretieren, gehen wir schrittweise vor.

• Schritt 1: Lagrange-Dichte und TransformationDas System besteht aus zwei Freiheitsgraden \(q_1(t)\) und \(q_2(t)\). Die Lagrange-Dichte \(\mathcal{L}\) ist invariant unter der Transformation \(q_1 \rightarrow q_1 + \epsilon\). Diese Transformation bedeutet, dass \(q_1\) einfach um eine kleine konstante Größe \(\epsilon\) verschoben wird.
• Schritt 2: Anwendung des Noether-TheoremsDas Noether-Theorem besagt, dass für jede kontinuierliche Symmetrie der Lagrange-Dichte eine zugehörige erhaltene Größe existiert. Die infinitesimale Transformation lautet:

\[\delta q_1 = \epsilon\]

und für \(q_2\) gilt:

\[\delta q_2 = 0\]

• Schritt 3: Noether-Strom für die TransformationDer allgemeine Ausdruck für den Noether-Strom ist:

\[J^{\mu} = \sum_i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} q_i)} \delta q_i\]

• In unserem Fall beschränken wir uns auf die Zeitkomponente \(J^0 = J\) des Stroms:

\[J = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_1}} \delta q_1 + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_2}} \delta q_2\]

• Da \(\delta q_2 = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu:

\[J = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_1}} \epsilon\]

• Da \(\epsilon\) eine Konstante ist, nehmen wir \(\epsilon = 1\) für die Einfachheit und Konzentration auf die verbleibende Größe:

\[J = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_1}}\]

• Schritt 4: Berechnung der erhaltenen GrößeDie Lagrange-Dichte hängt wahrscheinlich von \(\dot{q_1}\) und \(\dot{q_2}\) ab, also ergibt die Ableitung:

\[p_1 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_1}}\]

Dies ist der kanonische Impuls, der zur Koordinate \(q_1\) gehört.

• Schritt 5: Physikalische BedeutungDie physikalische Bedeutung der erhaltenen Größe \(p_1 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_1}}\) ist der kanonische Impuls des ersten Freiheitsgrades \(q_1\). Da die Lagrange-Dichte unter der Translation von \(q_1\) invariant ist, bleibt der kanonische Impuls \(p_1\) konstant, was darauf hindeutet, dass es keine äußere Kraft in der Richtung von \(q_1\) gibt, die den Impuls verändern könnte.

Aufgabe 4)

Anwendungen der Variationsrechnung in verschiedenen physikalischen Bereichen.

• Klassische Mechanik: Lagrange-Gleichungen \(L = T - V\) und Hamiltonsches Prinzip \(\delta \int_{t_1}^{t_2} L \, dt = 0\).
• Elektrodynamik: Minimierung der Wirkung \(S = \int L \, dt\), Maxwell-Gleichungen durch Variationsprinzipien.
• Quantenmechanik: Schrödinger-Gleichung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung \(\delta S = 0\).
• Relativitätstheorie: Einsteinsche Feldgleichungen aus dem Variationsprinzip \(\delta \int \mathcal{L} \, \sqrt{-g} \, d^4x = 0\).

a)

Leite die Lagrange-Gleichungen für ein Teilchen der Masse m her, das sich in einem Potentialfeld \(V(x)\) bewegt. Beginne mit dem Hamiltonschen Prinzip:

• Definiere die kinetische Energie \(T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2\) und die potentielle Energie \(V(x)\).
• Lege die Lagrange-Funktion \(L = T - V\) fest.
• Verwende die Euler-Lagrange-Gleichungen, um die Bewegungsgleichungen abzuleiten.

Lösung:

Die Herleitung der Lagrange-Gleichungen für ein Teilchen der Masse m in einem Potentialfeld V(x)

• Definiere die kinetische Energie: Die kinetische Energie für ein Teilchen der Masse m ist gegeben durch: T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2
• Definiere die potentielle Energie: Die potentielle Energie des Teilchens im Feld V(x) ist: V(x)
• Die Lagrange-Funktion festlegen:
  • Die Lagrange-Funktion ist definiert als der Unterschied zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie: L = T - V Setzen wir die Ausdrücke für T und V ein: L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x)
• Verwende die Euler-Lagrange-Gleichung, um die Bewegungsgleichung abzuleiten: Die Euler-Lagrange-Gleichung ist gegeben durch: \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 Bestimme die partiellen Ableitungen:
  • \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial}{\partial \dot{x}} \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x) \right) = m \dot{x}
  • Bestimme die zeitliche Ableitung davon: \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) = \frac{d}{dt} (m \dot{x}) = m \ddot{x}
  • Bestimme die partielle Ableitung von L bezüglich x: \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - V(x) \right) = -\frac{\partial V}{\partial x}
  Die Euler-Lagrange-Gleichung ergibt somit: m \ddot{x} + \frac{\partial V}{\partial x} = 0 Dies ist die Lagrange-Gleichung für ein Teilchen der Masse m in einem Potentialfeld V(x).

c)

Nutze das Prinzip der kleinsten Wirkung \(\delta S = 0\), um die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen in einem Potentialfeld abzuleiten.

• Beginne mit der Wirkung \(S = \int \mathcal{L} \, dt\), wobei \(\mathcal{L}\) die Lagrangedichte des Systems ist.
• Definiere \(\mathcal{L} = \psi^{*} (i \hbar \partial_t - H) \psi \), wobei \(\psi\) die Wellenfunktion und \( H \) der Hamiltonoperator ist.
• Führe eine Variation \(\delta S\) durch und zeige, dass dies zur Schrödinger-Gleichung führt.

Lösung:

Herleitung der Schrödinger-Gleichung durch das Prinzip der kleinsten Wirkung

• Beginne mit der Wirkung:
Die Wirkung für ein System ist definiert als:\[ S = \int \mathcal{L} \, dt \] wobei \( \mathcal{L} \) die Lagrangedichte des Systems ist.
• Definiere die Lagrangedichte:
Für ein Teilchen in einem Potentialfeld definieren wir die Lagrangedichte \( \mathcal{L} \) als:\[ \mathcal{L} = \psi^{\*} (i \hbar \partial_t - H) \psi \] wobei \( \psi \) die Wellenfunktion und \( H \) der Hamiltonoperator ist.
• Führe eine Variation der Wirkung durch:
Um die Schrödinger-Gleichung abzuleiten, müssen wir die Wirkung \( S \) variieren und die Bedingung \( \delta S = 0 \) anwenden.Setze die Lagrangedichte in die Wirkung ein:\[ S = \int \psi^{\*} (i \hbar \partial_t - H) \psi \, dt \]Betrachte eine Variation der Wellenfunktion \( \psi \) und ihrer komplexen Konjugierten \( \psi^{\*} \):\[ \psi \rightarrow \psi + \delta \psi \]\[ \psi^{\*} \rightarrow \psi^{\*} + \delta \psi^{\*} \]Bestimme die Variation der Wirkung:\[ \delta S = \int \left[ \psi^{\*} (i \hbar \partial_t \delta \psi) - (H \delta \psi^{\*}) \psi \right] \, dt \]Verwende die Produktregel und integriere partiell, um die Ableitungen von \( \delta \psi \) und \( \delta \psi^{\*} \) loszuwerden.Nach der partiellen Integration ergibt sich:\[ \delta S = \int \left[ i \hbar (\delta \psi^{\*} \partial_t \psi) - \delta \psi^{\*}H \psi \right] \, dt \]Für die Variation \( \delta S \) muss gelten: \( \delta S = 0 \). Dies ist nur möglich, wenn der Integrand selbst null ist:\[ i \hbar \partial_t \psi = H \psi \]Dies ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:\[ i \hbar \partial_t \psi = H \psi \]Damit haben wir die Schrödinger-Gleichung durch Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung abgeleitet.