Modul DarLie: Darstellungstheorie von Lie-Algebren - Cheatsheet

Grundlagen der Darstellungstheorie: Untersuchung von linearen Abbildungen von algebraischen Strukturen auf Vektorräume

Definition:

Darstellungstheorie untersucht lineare Abbildungen von algebraischen Strukturen wie Gruppen, Algebren oder Lie-Algebren auf Vektorräume, um deren Strukturen durch Matrizen und lineare Transformationen zu analysieren.

Details:

• Lineare Abbildung: Eine Funktion \( \phi: V \to W \) zwischen Vektorräumen V und W, die Linearitätseigenschaften erfüllt.
• Algebraische Struktur: Eine Menge mit Operationen, z.B. Gruppen, Ringe, Algebren.
• Darstellung: Homomorphismus von einer algebraischen Struktur in den Raum der linearen Transformationen eines Vektorraums.
• Ziel: Einfachere Analyse der algebraischen Struktur durch Darstellung mittels Matrizen.
• Beispiel: Darstellung einer Gruppe G als Gruppe von Matrizen durch einen Homomorphismus \( \rho: G \to GL(V) \).

Irreduzible Darstellungen und Charakters von Darstellungen: Methoden zur Bestimmung und Anwendung

Definition:

Irreduzible Darstellungen: Darstellungen, die keine nichttrivialen invarianten Unterräume besitzen. Charaktere: Spur der Darstellungsmatrix.

Details:

• Bestimmung irreduzibler Darstellungen über Zerschlagung in direkte Summen von einfacheren Darstellungen.
• Charakter: Spur (Trace) der Darstellungsmatrix, wichtig für Klassifikation.
• Verwendung von Charaktertabelle zur Analyse und Klassifikation von Darstellungen.
• Orthogonalitätsrelationen der Charaktere.

Definition und Eigenschaften von Lie-Algebren: Struktur und grundlegende Theorie

Definition:

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum \( L \) zusammen mit einer bilinearen Abbildung \( [ \, , \, ]: L \times L \rightarrow L \), der Lie-Klammer, die antisymmetrisch ist und das Jacobi-Identität erfüllt.

Details:

• Antisymmetrie: \( [X,Y] = -[Y,X] \) für alle \( X, Y \in L \)
• Jacobi-Identität: \( [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0 \) für alle \( X, Y, Z \in L \)
• Beispiele: \( sl(n,\mathbb{R}) \), \(so(n)\)
• Strukturkonstanten bestimmen die Struktur, gegeben durch \( [e_i, e_j] = \sum_k c_{ij}^k e_k \)
• Darstellungen: lineare Abbildungen \( \rho: L \rightarrow gl(V) \), sodass \( \rho([X,Y]) = [\rho(X), \rho(Y)] \)

Beispiele und Klassifikation von Lie-Algebren: Wie su(n), so(n) und sl(n)

Definition:

Beispiele und Klassifikation von Lie-Algebren basierend auf speziellen Matrizenalgebren.

Details:

• \(\mathfrak{su}(n)\)
  • Algebra der schiefhermiteschen, spurfreien Matrizen vom Rang n.
  • Dimensions: \[n^2 - 1\]
• \(\mathfrak{so}(n)\)
  • Algebra der schiefsymmetrischen Matrizen.
  • Dimensions: \[\frac{n(n-1)}{2}\]
• \(\mathfrak{sl}(n)\)
  • Algebra der spurfreien Matrizen vom Rang n.
  • Dimensions: \[n^2 - 1\]

Wurzelsysteme und Cartan-Matrizen: Aufbau und Bedeutung in der Darstellungstheorie

Definition:

Wurzelsysteme und Cartan-Matrizen sind wesentliche Werkzeuge in der Darstellungstheorie von Lie-Algebren.

Details:

• Ein Wurzelsystem ist eine Menge von Vektoren, die bestimmten symmetrischen Bedingungen genügen und die Struktur einer Lie-Algebra beschreiben.
• Die Cartan-Matrix ist eine quadratische Matrix, die aus dem Wurzelsystem einer halbeinfachen Lie-Algebra abgeleitet wird. Sie enthält Informationen über die Winkel zwischen den Wurzeln und ihre Längenverhältnisse.
• Für ein Wurzelsystem \(\boldsymbol{\beta}\) ist die Cartan-Matrix \(A\) definiert durch: \[ A_{ij} = 2 \frac{(\beta_i, \beta_j)}{(\beta_i, \beta_i)} \]
• Cartan-Matrizen sind symmetrische und positiv definite Matrizen.
• Aufbau und Untersuchung der Darstellung von Lie-Algebren stark auf diesen Strukturen basieren.
• In der Darstellungstheorie helfen diese Strukturen, die irreduziblen Darstellungen zu charakterisieren und das Weyl-Gruppenverhalten zu verstehen.

Darstellungen der Poincaré-Gruppe in der Physik: Anwendung in der Symmetrieanalyse

Definition:

Darstellungen der Poincaré-Gruppe in der Physik befassen sich mit den mathematischen Strukturen, die die Symmetrien der Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie beschreiben.

Details:

• Poincaré-Gruppe umfasst Translationen und Lorentz-Transformationen
• Wichtig für die Beschreibung von Elementarteilchen
• Anwendung in der Quantenfeldtheorie und Teilchenphysik
• Irreduzible Darstellungen klassifizieren Teilchen nach Masse und Spin
• Basis für die Symmetrieanalyse physikalischer Systeme
• Verwendung der Casimir-Operatoren zur Bestimmung von Eigenwerten
• Unitarität der Darstellungen für physikalische Relevanz

Simple Zyklen und Automorphismengruppen: Ihre Rolle in der Klassifikation endlicher einfach zusammenhängender Gruppen

Definition:

Einfacher Zyklen und Automorphismengruppen sind von zentraler Bedeutung bei der Klassifikation endlicher einfach zusammenhängender Gruppen.

Details:

• Endliche Gruppen werden basierend auf ihren Automorphismengruppen klassifiziert.
• Einfacher Zyklen: Zyklen ohne innere Symmetrien/Bilder.
• Automorphismen: Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst.
• Einfach zusammenhängende Gruppen haben trivialen Automorphismusraum.

Gauge-Theorien und Lie-Algebren: Verbindung zu modernen physikalischen Theorien

Definition:

Mathematische Struktur, die fundamentale Wechselwirkungen in der Physik beschreibt; Lie-Algebren liefern die zugrundeliegenden Symmetrien.

Details:

• Gauge-Theorien beschreiben Felder und deren Wechselwirkungen über Eichtransformationen.
• Lie-Algebren modellieren kontinuierliche Symmetriegruppen der Eichtransformationen.
• Standardmodell der Teilchenphysik basiert auf der Lie-Algebra SU(3) × SU(2) × U(1).
• Eichfelder korrespondieren zu den Generatoren der Lie-Algebren.
• Wichtige Konzepte: lokale Symmetrie, Yang-Mills-Theorie.
• Differentialformen und Kovarianten Ableitungen: mathematische Werkzeuge in der Formulierung.