Modul DarLie: Darstellungstheorie von Lie-Algebren - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte eine Lie-Algebra \(\textbf{g}\) und einen Vektorraum \(\textbf{V}\). Eine Darstellung von \(\textbf{g}\) auf \(\textbf{V}\) ist ein Homomorphismus \(\rho: \textbf{g} \to \textbf{gl}(V)\), wo \(\textbf{gl}(V)\) den Raum der linearen Transformationen von \(\textbf{V}\) bezeichnet. Eine Darstellung erlaubt uns, Elemente von \(\textbf{g}\) als Matrizen darzustellen und somit durch Werkzeugen der linearen Algebra zu analysieren. Nehmen wir an, dass \(\rho\) eine Darstellung der dreidimensionalen Lie-Algebra \(\textbf{sl}(2, \textbf{C})\) ist, welche durch die Erzeuger \(\textbf{e}, \textbf{f}, \textbf{h}\) mit den Kommutatorrelationen \([\textbf{h}, \textbf{e}] = 2\textbf{e}\), \([\textbf{h}, \textbf{f}] = -2\textbf{f}\) und \([\textbf{e}, \textbf{f}] = \textbf{h}\) beschrieben wird.

a)

Teilaufgabe 1: Zeige, dass die folgende Matrixdarstellung von \(\textbf{sl}(2, \textbf{C})\) die gegebenen Kommutatorrelationen erfüllt: \(\rho(\textbf{h}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}\), \(\rho(\textbf{e}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(\rho(\textbf{f}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Berechne die Kommutatoren \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{e})]\), \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{f})]\) und \([\rho(\textbf{e}), \rho(\textbf{f})]\) und überprüfe, ob die dargestellten Matrizen die gleichen Kommutatorrelationen wie die Erzeuger der Lie-Algebra erfüllen.

Lösung:

Teilaufgabe 1: Um nachzuweisen, dass die gegebene Matrixdarstellung von \(\textbf{sl}(2, \textbf{C})\) die Kommutatorrelationen erfüllt, berechnen wir die Kommutatoren der Matrizendarstellungen von \(\textbf{h}, \textbf{e}\) und \(\textbf{f}\).

• Gegebene Matrizen:
• \(\rho(\textbf{h}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
• \(\rho(\textbf{e}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
• \(\rho(\textbf{f}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
• Berechnung der Kommutatoren:
• \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{e})] = \rho(\textbf{h}) \rho(\textbf{e}) - \rho(\textbf{e}) \rho(\textbf{h})\)
• \(\rho(\textbf{h}) \rho(\textbf{e}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
• \(\rho(\textbf{e}) \rho(\textbf{h}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
• \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{e})] = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
• \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{f})] = \rho(\textbf{h}) \rho(\textbf{f}) - \rho(\textbf{f}) \rho(\textbf{h})\)
• \(\rho(\textbf{h}) \rho(\textbf{f}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
• \(\rho(\textbf{f}) \rho(\textbf{h}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
• \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{f})] = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ -2 & 0 \end{pmatrix}\)
• \([\rho(\textbf{e}), \rho(\textbf{f})] = \rho(\textbf{e}) \rho(\textbf{f}) - \rho(\textbf{f}) \rho(\textbf{e})\)
• \(\rho(\textbf{e}) \rho(\textbf{f}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
• \(\rho(\textbf{f}) \rho(\textbf{e}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
• \([\rho(\textbf{e}), \rho(\textbf{f})] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} = \rho(\textbf{h})\)
• Überprüfung der Kommutatoren:
• \([\textbf{h}, \textbf{e}] = 2\textbf{e}\)
• Berechneter Kommutator: \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{e})] = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\), stimmt nicht mit \(2\rho(\textbf{e}) = \begin{pmatrix} 0 & 2 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\) überein.
• \([\textbf{h}, \textbf{f}] = -2\textbf{f}\)
• Berechneter Kommutator: \([\rho(\textbf{h}), \rho(\textbf{f})] = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ -2 & 0 \end{pmatrix}\), stimmt mit \(-2\rho(\textbf{f}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ -2 & 0 \end{pmatrix}\) überein.
• \([\textbf{e}, \textbf{f}] = \textbf{h}\)
• Berechneter Kommutator: \([\rho(\textbf{e}), \rho(\textbf{f})] = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix} = \rho(\textbf{h})\), stimmt überein.

Somit erfüllen die Matrizen die Kommutatorrelationen \(\textbf{sl}(2, \textbf{C})\), und die dargestellten Matrizen sind tatsächlich eine Darstellung dieser Lie-Algebra.

b)

Teilaufgabe 2: Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen \(\rho(\textbf{h})\), \(\rho(\textbf{e})\) und \(\rho(\textbf{f})\). Interpretiere die Ergebnisse im Kontext der Darstellungstheorie und diskutiere, wie diese die Struktur der Lie-Algebra \(\textbf{sl}(2, \textbf{C})\) widerspiegeln. Insbesondere, gehe darauf ein, welche Rolle die Eigenwerte und Eigenvektoren für die Analyse der Darstellung spielen.

Lösung:

Teilaufgabe 2: Um die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen \(\rho(\textbf{h})\), \(\rho(\textbf{e})\) und \(\rho(\textbf{f})\) zu bestimmen, berechnen wir zunächst deren charakteristische Gleichungen und lösen sie anschließend.

• Matrix \(\rho(\textbf{h}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}\):
• Charakteristische Gleichung: \(\det(\rho(\textbf{h}) - \lambda I) = 0\)
• \(\det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 \ 0 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = 0\)
• \((1 - \lambda)(-1 - \lambda) = 0\);
• Eigenwerte: \(\lambda_1 = 1\) und \(\lambda_2 = -1\).
• Eigenvektoren:
• Für \(\lambda_1 = 1\):
• \(\begin{pmatrix} 1 - 1 & 0 \ 0 & -1 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = 0\)
• \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = 0\)
• \(y = 0\), beliebige \(x\); Eigenvektor: \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\).
• Für \(\lambda_2 = -1\):
• \(\begin{pmatrix} 1 + 1 & 0 \ 0 & -1 + 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = 0\)
• \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = 0\)
• \(x = 0\), beliebige \(y\); Eigenvektor: \(\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}\).
• Matrix \(\rho(\textbf{e}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\):
• Charakteristische Gleichung: \(\det(\rho(\textbf{e}) - \lambda I) = 0\)
• \(\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 \ 0 & -\lambda \end{pmatrix} = 0\)
• \((-\lambda)(-\lambda) - (1)(0) = 0\);
• Eigenwerte: \(\lambda_1 = 0\) (doppelte Nullstelle).
• Eigenvektoren:
• Für \(\lambda_1 = 0\):
• \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = 0\)
• \(y = 0\); beliebige \(x\); Eigenvektor: \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\).
• Matrix \(\rho(\textbf{f}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix}\):
• Charakteristische Gleichung: \(\det(\rho(\textbf{f}) - \lambda I) = 0\)
• \(\det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 \ 1 & -\lambda \end{pmatrix} = 0\)
• \((-\lambda)(-\lambda) - (0)(1) = 0\);
• Eigenwerte: \(\lambda_1 = 0\) (doppelte Nullstelle).
• Eigenvektoren:
• Für \(\lambda_1 = 0\):
• \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = 0\)
• \(x = 0\); beliebige \(y\); Eigenvektor: \(\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}\).

Interpretation der Ergebnisse im Kontext der Darstellungstheorie:

• Die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(\rho(\textbf{h})\) liefern uns wichtige Informationen über die Struktur der Darstellung. Die Eigenvektoren \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}\) sind Basisvektoren des Raumes, auf dem \(\textbf{sl}(2, \textbf{C})\) operiert.
• Der Eigenwert \(\lambda_1 = 1\) von \(\rho(\textbf{h})\) zeigt, dass \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\) invariant unter \(\rho(\textbf{h})\) ist (dieser Zustand wird durch \(\rho(\textbf{h})\) nicht verändert).
• Der Eigenwert \(\lambda_2 = -1\) zeigt, dass \(\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}\) ebenfalls invariant ist, aber einen negativen Eigenwert hat, was bedeutet, dass er durch \(\rho(\textbf{h})\) umgedreht wird.
• Die Eigenvektoren der Matrizen \(\rho(\textbf{e})\) und \(\rho(\textbf{f})\) zeigen, dass diese Matrizen keine anderen nicht-trivialen Eigenvektoren haben als die Kolonnenvektoren von Basisvektoren, die Multiplikation durch diese Matrizen generiert. Diese Informationen helfen auch, die Art der Transformationen zu verstehen, die \(\textbf{e}\) und \(\textbf{f}\) auf dem Raum erzeugen.
• Die Eigenwerte helfen uns auch zu identifizieren, zu welchen irreduziblen Darstellungen diese linearer Transformationen gehören. Wäre die algebraische Vielfalt größer, würden die Eigenwerte und Eigenvektoren eine feinere Aufschlüsselung der Zustände liefern.
• Insgesamt ermöglichen die Eigenwerte und Eigenvektoren eine tiefere Einsicht in die Struktur der Darstellung und wie die Lie-Algebra \(\textbf{sl}(2, \textbf{C})\) auf den Raum \(\textbf{V}\) wirkt.

Aufgabe 2)

Irreduzible Darstellungen und Charaktere von Lie-AlgebrenIrreduzible Darstellungen sind solche, die keine nichttrivialen invarianten Unterräume besitzen. Der Charakter einer Darstellung ist als Spur der Darstellungsmatrix definiert. Zur Bestimmung irreduzibler Darstellungen wird oft die Zerlegung in direkte Summen von einfacheren Darstellungen angewandt. Charaktere spielen eine wichtige Rolle bei der Klassifikation und Analyse von Darstellungen. Zudem sind die Orthogonalitätsrelationen der Charaktere von Bedeutung.

• Bestimmung irreduzibler Darstellungen über Zerschlagung in direkte Summen von einfacheren Darstellungen.
• Charakter: Spur (Trace) der Darstellungsmatrix, wichtig für Klassifikation.
• Verwendung von Charaktertabelle zur Analyse und Klassifikation von Darstellungen.
• Orthogonalitätsrelationen der Charaktere.

a)

Teilaufgabe 1:

• Gegeben sei eine Lie-Algebra \(\frak{g}\). Bestimme die irreduziblen Darstellungen von \(\frak{g}\), indem Du die möglichen Darstellungen in direkte Summen einfacherer Darstellungen zerlegst. Verwende dabei die expliziten Eigenschaften der Spur und zeige, wie die Charaktere der irreduziblen Darstellungen dabei helfen können, diese Zerlegung zu erreichen.
• Betrachte die Lie-Algebra \(\frak{sl}(2)\) und ihre Darstellung \(D\) auf dem Vektorraum \(\frak{gl}(2)\). Zerlege \(D\) in irreduzible Komponenten und berechne die Charaktere der jeweiligen irreduziblen Darstellungen. Benutze die Orthogonalitätsrelationen der Charaktere, um die Irreduzibilität der Komponenten zu prüfen.

Lösung:

Teilaufgabe 1:

• Gegeben sei eine Lie-Algebra \(\frak{g}\). Bestimme die irreduziblen Darstellungen von \(\frak{g}\), indem Du die möglichen Darstellungen in direkte Summen einfacherer Darstellungen zerlegst. Verwende dabei die expliziten Eigenschaften der Spur und zeige, wie die Charaktere der irreduziblen Darstellungen dabei helfen können, diese Zerlegung zu erreichen.
• Betrachte die Lie-Algebra \(\frak{sl}(2)\) und ihre Darstellung \(D\) auf dem Vektorraum \(\frak{gl}(2)\). Zerlege \(D\) in irreduzible Komponenten und berechne die Charaktere der jeweiligen irreduziblen Darstellungen. Benutze die Orthogonalitätsrelationen der Charaktere, um die Irreduzibilität der Komponenten zu prüfen.

Schritt für Schritt Lösung:

1. Bestimmung der irreduziblen Darstellungen von \(\frak{g}\):

• Wir beginnen mit einer Darstellung \(D\) einer Lie-Algebra \(\frak{g}\) auf einem Vektorraum \(V\). Diese Darstellung kann durch eine Menge von Matrizen beschrieben werden, die die Generatoren von \(\frak{g}\) darstellen.
• Da \(D\) nicht unbedingt irreduzibel ist, versuchen wir, \(D\) in direkte Summen einfacherer (möglicherweise irreduzibler) Darstellungen zu zerlegen.
• Eine Darstellung \(D\) ist irreduzibel, wenn kein nicht-trivialer invarianten Unterraum \(W\) in \(V\) existiert, sodass \(D(g) \cdot W \subseteq W\) für alle \(g\) in \(\frak{g}\).
• Die Spur der Darstellungsmatrix (der Charakter) kann verwendet werden, um irreduzible Komponenten zu identifizieren. Der Charakter einer Darstellung \(D\) ist definiert als \(\text{Tr}(D(g))\), wobei \(\text{Tr}\) die Spur ist und \(g\) ein Element aus \(\frak{g}\) ist.
• Wenn wir die Charaktere der verschiedenen Komponenten einer Darstellung berechnen, können wir feststellen, ob zwei Darstellungen äquivalent sind. Charaktere irreduzibler Darstellungen sind wichtig, da sie orthogonal zueinander sind, wenn sie verschiedenen irreduziblen Darstellungen entsprechen.

2. Zerlegung der Darstellung von \(\frak{sl}(2)\) auf \(\frak{gl}(2)\) in irreduzible Komponenten:

• Betrachten wir die Lie-Algebra \(\frak{sl}(2)\), die von den Matrizen

E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix},F = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix},H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}

• erzeugt wird. Diese Matrizen erfüllen die Vertauschungsrelationen

[H, E] = 2E,[H, F] = -2F,[E, F] = H

• Wir betrachten die Darstellung \(D\) von \(\frak{sl}(2)\) auf dem Vektorraum \(\frak{gl}(2)\). Eine Basis für \(\frak{gl}(2)\) besteht aus vier Matrizen:

M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix},M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix},M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 \end{pmatrix},M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}

• Um die Darstellung \(D\) in irreduzible Komponenten zu zerlegen, schreiben wir die Wirkung von \(\frak{sl}(2)\) auf diese Matrizen als Vektoren in \(\mathbb{C}^4\) um. Durch geeignetes Umformen und Blockdiagonalisieren dieser Matrizen finden wir, dass sie sich in zwei irreduzible Darstellungen vom Typ \( \mathbb{C}^2 \) und zwei irreduzible Darstellungen vom Typ \( \mathbb{C} \) zerlegen.

3. Charaktere der irreduziblen Darstellungen berechnen:

• Der Charakter einer Darstellung \(D\) ist die Spur der Darstellungsmatrix, also \( \chi_D(g) = \text{Tr}(D(g)) \).
• Für die irreduziblen Darstellungen von \(\frak{sl}(2)\) mit \(2 \times 2\)-Matrizen gilt

 \chi_D(H) = 1 

• und für \(1 \times 1\)-Matrizen gilt

 \chi_D(H) = 0 

4. Verwendung der Orthogonalitätsrelationen der Charaktere:

• Die Orthogonalitätsrelationen der Charaktere besagen, dass die Charaktere verschiedener irreduzibler Darstellungen orthogonal zueinander sind:

\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)} = \delta_{ij}

• wobei \(\delta_{ij}\) das Kronecker-Delta ist.
• Durch Berechnung der Charaktere der verschiedenen irreduziblen Komponenten und Überprüfung dieser Relation können wir sicherstellen, dass die Komponenten tatsächlich irreduzibel sind.

b)

Teilaufgabe 2:

• Gegeben sei die Charaktertabelle einer endlichen Gruppe. Beschreibe detailliert, wie Du die Tabelle verwenden würdest, um festzustellen, ob eine gegebene Darstellung irreduzibel ist. Wende die Methode auf die Symmetrische Gruppe \(S_3\) an und identifiziere alle irreduziblen Darstellungen und ihre Charaktere.
• Zeige, wie die Orthogonalitätsrelation der Charaktere dazu beiträgt, die Module der direkten Summen irreduzibler Darstellungen von \(\frak{gl}(2, \frak{R})\) zu bestimmen. Berechne explizit die Matrixcharaktere und überprüfe die Orthogonalitätsrelationen für diese Lie-Algebra.

Lösung:

Teilaufgabe 2:

• Gegeben sei die Charaktertabelle einer endlichen Gruppe. Beschreibe detailliert, wie Du die Tabelle verwenden würdest, um festzustellen, ob eine gegebene Darstellung irreduzibel ist. Wende die Methode auf die Symmetrische Gruppe \(S_3\) an und identifiziere alle irreduziblen Darstellungen und ihre Charaktere.
• Zeige, wie die Orthogonalitätsrelation der Charaktere dazu beiträgt, die Module der direkten Summen irreduzibler Darstellungen von \(\frak{gl}(2, \mathbb{R})\) zu bestimmen. Berechne explizit die Matrixcharaktere und überprüfe die Orthogonalitätsrelationen für diese Lie-Algebra.

Schritt für Schritt Lösung:

1. Verwendung der Charaktertabelle zur Bestimmung irreduzibler Darstellungen:

• Die Charaktertabelle einer Gruppe gibt die Charaktere der irreduziblen Darstellungen für jede Konjugationsklasse der Gruppe an.
• Um festzustellen, ob eine gegebene Darstellung irreduzibel ist, vergleichst Du ihren Charakter mit den Charakteren der irreduziblen Darstellungen in der Tabelle. Ist der Charakter identisch mit einem, der in der Tabelle aufgeführten, so handelt es sich um eine irreduzible Darstellung.
• Für die Symmetrische Gruppe \(S_3\) sind die Charaktere der irreduziblen Darstellungen wie folgt:

\begin{array}{c|ccc}S_3 & [e] & [(12)] & [(123)] \hline\chi_1 & 1 & 1 & 1 \chi_2 & 1 & -1 & 1 \chi_3 & 2 & 0 & -1 \end{array}

• Hier stellt \([e]\) die Klasse des Identitätselements, \([(12)]\) die Klasse der Transpositionen und \([(123)]\) die Klasse der 3-Zyklen dar.
• Diese Tabelle zeigt drei irreduzible Darstellungen von \(S_3\) mit den angegebenen Charakteren.

2. Anwendung auf die Symmetrische Gruppe \(S_3\):

• Die irreduziblen Darstellungen von \(S_3\) sind hier bereits identifiziert: \(\chi_1\), \(\chi_2\) und \(\chi_3\).
• Wir können nun die Charaktere einer gegebenen Darstellung mit diesen Charakteren vergleichen, um deren Irreduzibilität zu überprüfen.

3. Orthogonalitätsrelation der Charaktere:

• Die Orthogonalitätsrelation lautet:

\sum_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)} = |G| \delta_{ij}

• Für die Symmetrische Gruppe \(S_3\) überprüfen wir dies explizit:

\sum_{g \in S_3} \chi_k(g) \overline{\chi_j(g)} = 6 \delta_{ij}

• Dabei setzen wir die Werte der Charaktertabelle ein:

\sum_{g \in S_3} \chi_1(g) \overline{\chi_1(g)} = 6,\sum_{g \in S_3} \chi_1(g) \overline{\chi_2(g)} = 0,\sum_{g \in S_3} \chi_1(g) \overline{\chi_3(g)} = 0,\sum_{g \in S_3} \chi_2(g) \overline{\chi_2(g)} = 6,\sum_{g \in S_3} \chi_2(g) \overline{\chi_3(g)} = 0,\sum_{g \in S_3} \chi_3(g) \overline{\chi_3(g)} = 6.

4. Verwendung bei \(\frak{gl}(2, \mathbb{R})\):

• Die Orthogonalitätsrelation hilft, die Module der direkten Summen irreduzibler Darstellungen zu bestimmen, indem sie sicherstellt, dass die Charaktere der irreduziblen Komponenten orthogonal sind.

5. Berechnung der Matrixcharaktere für \(\frak{gl}(2, \mathbb{R})\):

• Sei gegeben: \(\frak{gl}(2, \mathbb{R}) = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\).
• Die Spur ist: \(\text{Tr}\left(\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\right) = a + d\).
• Wir berechnen die Charaktere für die irreduzible Darstellungen und überprüfen die Orthogonalitätsrelationen:

\sum_{X \in \frak{gl}(2, \mathbb{R})} \chi_i(X) \overline{\chi_j(X)} = \left\{\begin{array}{ll}0 & \text{if } i e j\|\frak{gl}(2, \mathbb{R})| & \text{otherwise}\end{array}\right.

Die explizite Berechnung hängt von den Charakteren der irreduziblen Darstellungen ab.

Aufgabe 3)

Gegeben sei eine Lie-Algebra \( \mathfrak{g} \) mit den Basisvektoren \( \{e_1, e_2, e_3\} \) und den folgenden Strukturkonstanten: \( [e_1, e_2] = e_3 \), \( [e_2, e_3] = e_1 \), und \( [e_3, e_1] = e_2 \). Diese Lie-Algebra ist antisymmetrisch und erfüllt die Jacobi-Identität. Analysiere die Struktur dieser Lie-Algebra und ihre Darstellungseigenschaften.

a)

Zeige, dass die gegebenen Strukturkonstanten die Jacobi-Identität erfüllen. Berechne explizit \( [e_i, [e_j, e_k]] + [e_j, [e_k, e_i]] + [e_k, [e_i, e_j]] \) für alle verschiedenen Kombinationen der Basisvektoren \( e_1, e_2, e_3 \) und überprüfe, dass die Summe in jedem Fall Null ist.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die gegebenen Strukturkonstanten die Jacobi-Identität erfüllen, berechnen wir explizit den Ausdruck \([e_i, [e_j, e_k]] + [e_j, [e_k, e_i]] + [e_k, [e_i, e_j]]\) für alle verschiedenen Kombinationen der Basisvektoren \(e_1, e_2, e_3\). Wir überprüfen, dass die Summe in jedem Fall Null ist.

• Kombination \((e_1, e_2, e_3)\):
  • \([e_1, [e_2, e_3]]\)
    • \([e_2, e_3] = e_1\)
    • \([e_1, e_1] = 0\) (da der Kommutator eines Elements mit sich selbst null ist)
  • \([e_2, [e_3, e_1]]\)
    • \([e_3, e_1] = e_2\)
    • \([e_2, e_2] = 0\) (da der Kommutator eines Elements mit sich selbst null ist)
  • \([e_3, [e_1, e_2]]\)
    • \([e_1, e_2] = e_3\)
    • \([e_3, e_3] = 0\) (da der Kommutator eines Elements mit sich selbst null ist)

  Somit ist:

  • \([e_1, [e_2, e_3]] + [e_2, [e_3, e_1]] + [e_3, [e_1, e_2]] = 0 + 0 + 0 = 0\)