Modul FRA2: Fortgeschrittene Risikoanalyse 2 - Cheatsheet

Definition und Grundlagen quantitativer Risikomodelle

Definition:

Teilgebiet der Finanzmathematik; verwendet mathematische Modelle zur Quantifizierung und Analyse von Risiken.

Details:

• Quantitative Risikomodelle nutzen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und statistische Methoden.
• Häufig verwendete Modelle: Value at Risk (VaR), Expected Shortfall (ES), und Credit Risk Modelle.
• Modellannahmen und Parameter müssen sorgfältig validiert werden.
• Integration von Marktdaten und historischen Daten notwendig.
• Beispiele für Verteilungen: Normalverteilung, Lognormalverteilung, Pareto-Verteilung.
• Ziele: Risikokontrolle, Kapitalallokation, Erfüllung regulatorischer Anforderungen.

Monte-Carlo-Simulation: Grundlagen und Implementierung

Definition:

Monte-Carlo-Simulation: Numerische Methode zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten durch zufällige Stichproben.

Details:

• Grundprinzip: Wiederholte Zufallsexperimente zur näherungsweisen Bestimmung von Verteilungskennwerten
• Implementierung: Generierung von Zufallszahlen (z.B. mit \texttt{numpy.random})
• Berechnung: Aggregation der Simulationsergebnisse (z.B. Mittelwert, Varianz)
• Anwendung: Bewertung komplexer Risiko- und Unsicherheitsmodelle
• Formeln: \[\text{Erwartungswert} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i\]\[\text{Varianz} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^2\]

Identifikation und Klassifizierung von Risiken im Risikomanagement

Definition:

Prozess zur Bestimmung und Kategorisierung potenzieller Risiken in einem System oder Projekt.

Details:

• Risikomatrix: Darstellung der Risiken nach Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadenspotenzial
• SWOT-Analyse: Stärken, Schwächen, Chancen und Bedrohungen identifizieren
• Delphi-Methode: Befragung von Experten zur Risikovorsorge
• FMEA: Fehler-Möglichkeits- und Einflussanalyse zur Identifikation und Bewertung von Fehlern
• Quantitative und qualitative Methoden zur Risikobewertung
• Risikokategorien: operativ, strategisch, finanziell, Compliance

Stochastische Prozesse: Wiener-Prozess und Poisson-Prozess

Definition:

Wiener-Prozess: Standardmodell für Brownsche Bewegungen, stetige Pfade, normalverteilt. Poisson-Prozess: Modell für zählbare Ereignisse über feste Zeiträume, diskrete Sprungprozesse.

Details:

• Wiener-Prozess:
• Startwert: 0, d.h., W(0) = 0
• Unabhängige Zuwächse: W(t) - W(s) für t > s unabhängig von Vergangenheit
• Normalverteilung: Zuwachs W(t) - W(s) \sim N(0, t-s)
• Stetige Pfade: Trajektorien sind fast sicher stetig
• Formel: \[ W(t) \sim N(0, t) \]
• Poisson-Prozess:
• Startwert: 0, d.h., N(0) = 0
• Unabhängige Zuwächse: N(t) - N(s) für t > s unabhängig von Vergangenheit
• Ganzzahlig und nicht abnehmend: Anzahl der Ereignisse
• Exponentielle Zwischenzeiten: Zeitabstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen sind exponentialverteilt
• Formel: \[ P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} \]

Finanzmathematik: Bewertung und Preisfindung von Finanzinstrumenten

Definition:

Bewertung und Preisfindung von Finanzinstrumenten im Kontext von Finanzmathematik.

Details:

• Bewertung: Bestimmung des beizulegenden Wertes oder Marktwertes eines Finanzinstruments
• Preisfindung: Ermittlung des Preises basierend auf Marktmechanismen und Bewertungsmodellen
• Gängige Modelle: Black-Scholes, Binomialmodelle, Monte-Carlo-Simulationen
• Zentrale Konzept: Arbitragefreiheit und Risikoneutralbewertung
• Formeln: Pricing eines europäischen Call-Options unter Black-Scholes-Modell: \(C = S_0N(d_1) - Xe^{-rt}N(d_2)\) mit \(d_1 = \frac{{\ln(\frac{S_0}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})t}}{{\sigma\sqrt{t}}}\), \(d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{t}\)
• Diskontierungsfaktor: \(e^{-rt}\)
• Risikolose Zinsrate: \(r\)

Regulatorische Anforderungen im Risikomanagement

Definition:

Regulatorische Anforderungen im Risikomanagement - Rahmenbedingungen und Verpflichtungen, die Finanzinstitute zur Steuerung von Risiken einhalten müssen

Details:

• Basel III: neues globales Regulierungsrahmenwerk für die Eigenkapital- und Liquiditätsanforderungen
• Solvency II: Vorgaben zur Eigenmittelausstattung von Versicherungen
• MaRisk: Mindestanforderungen an das Risikomanagement in Deutschland
• Stress-Tests: regelmäßige Überprüfungen zur Bewertung der Resilienz bei außergewöhnlichen wirtschaftlichen Entwicklungen
• Reporting: umfassende Berichtspflichten an Aufsichtsbehörden

Verwendung von Zufallsalgorithmen zur Risikobewertung

Definition:

Verwendung von Zufallsalgorithmen zur Risikobewertung: Nutzung stochastischer Methoden und Monte-Carlo-Simulation zur Schätzung und Analyse von Risiken.

Details:

• Zufallsalgorithmen: Algorithmen die Zufallszahlen nutzen.
• Monte-Carlo-Simulation: Oft verwendet für Risikobewertungen, simuliert viele Szenarien um Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
• Vorteil: Kann komplexe und unsichere Systeme modellieren.
• Nachteile: Rechenintensiv und erfordert viele Simulationen für Genauigkeit.
• Anwendungen: Finanzmarktanalysen, Projektmanagementrisiken, Instabilitätsprognosen.
• Beispiel Formel: \[ E[X] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \] Durchschnittswert einer Zufallsvariablen über N Simulationen.

Mathematische Optimierung im Portfoliomanagement

Definition:

Optimierung der Portfoliozusammensetzung zur Maximierung der Rendite und Minimierung des Risikos unter gegebenen Randbedingungen. Verwendung von mathematischen Modellierungs- und Lösungstechniken.

Details:

• Zielfunktion: \max E[R_p] - \frac{\lambda }{2} \sigma_p^2
• Erwartungswert: \E[R_p] = \sum_{i=1}^{n} w_i \mu_i
• Varianz: \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i w_j \sigma_{ij}
• Mittler-Varianzanalyse (Markowitz-Modell)
• Randbedingungen: \sum_{i=1}^{n} w_i = 1, \quad w_i \geq 0
• Lösungsverfahren: Quadratische Programmierung, Monte-Carlo-Simulation