Modul LieG: Lie-Gruppen - Cheatsheet

Definition und Grundbegriffe von Lie-Gruppen

Definition:

Lie-Gruppen sind glatte Mannigfaltigkeiten, die zusätzlich eine Gruppenstruktur besitzen, wobei die Gruppenoperationen glatt sind.

Details:

• Sei G eine Lie-Gruppe, dann sind die Abbildungen \( m: G \times G \rightarrow G, \, (g,h) \mapsto gh \) und \( i: G \rightarrow G, \, g \mapsto g^{-1} \) glatt.
• Lokale Struktur lässt sich durch eine Umgebung der Identität beschreiben, die kleinste Dimension heißt Lie-Algebra.
• Häufige Beispiele: \( GL(n, \mathbb{R}) \), \( SL(n, \mathbb{R}) \), \( SO(n) \), \( SU(n) \).
• Entsprechende Lie-Algebren: \( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \), \( \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) \), \( \mathfrak{so}(n) \), \( \mathfrak{su}(n) \).
• Wichtige Begriffe: Modul, Dimension, Verbindung, Darstellungen.

Zusammenhang von Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Definition:

Lie-Gruppen sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit einer Gruppenstruktur. Lie-Algebren sind Vektorräume mit einer Lie-Klammer (Bilineroperation), die zur tangentialen Betrachtung der Lie-Gruppe im Neutralen Element (\textbf{e}) verwendet wird.

Details:

• Lie-Gruppe: Eine Gruppe, die auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
• Lie-Algebra: Vektorraum \(\text{Lie}(\text{G})\) mit Lie-Klammer \([\cdot, \cdot]\).
• Verbindung: Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Tangentialraum am neutralen Element mit der Lie-Klammer als Kommutator der entsprechenden Matrixgruppen.
• Exponentialabbildung: \(\exp: \mathfrak{g} \rightarrow G\)
• Adjungierte Darstellung: \(\text{Ad}: G \rightarrow \text{Aut}(\mathfrak{g})\)

Homomorphismen und Isomorphismen von Lie-Gruppen

Definition:

Homomorphismen: Struktur erhaltende Abbildungen zwischen Lie-Gruppen. Isomorphismen: Bijektive Homomorphismen.

Details:

• Homomorphismus: Eine Abbildung \( \varphi: G \rightarrow H \) zwischen Lie-Gruppen, die die Gruppenoperation respektiert, d.h. \( \varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y) \) für alle \( x, y \in G \).
• Isomorphismus: Ein Homomorphismus \( \varphi \) der bijektiv ist. Dies impliziert, dass \( \varphi \) sowohl ein Homomorphismus als auch surjektiv und injektiv ist.
• Ker \( \varphi \): Der Kern eines Homomorphismus \( \varphi \) ist \( \{ g \in G \mid \varphi(g) = e_H \} \), wobei \( e_H \) das neutrale Element von \( H \) ist.
• Image \( \varphi \): Das Bild eines Homomorphismus \( \varphi \) ist \( \varphi(G) \subseteq H \).

Irreduzible und reduzible Darstellungen

Definition:

Eine Darstellung ist irreduzibel, wenn sie keine echten invarianten Unterräume außer den triviale besitzt. Andernfalls ist sie reduzibel.

Details:

• Sei \( V \) ein Vektorraum und \(\pi : G \to GL(V)\) eine Darstellung einer Lie-Gruppe \( G \).
• Irreduzibel: Kein nichttrivialer Unterraum von \( V \) invariant unter \( \pi(G) \).
• Reduzibel: Existiert mindestens ein echter invarianter Unterraum von \( V \).

Charaktere von Lie-Gruppen

Definition:

Charaktere von Lie-Gruppen sind homomorphe Abbildungen einer Lie-Gruppe in den Torus \({\mathbb{T}}\).

Details:

• Sei \(G\) eine Lie-Gruppe, dann ist ein Charakter eine stetige Gruppe-Homomorphismus von \(G\) nach \({\mathbb{T}}\).
• Für kompakte abelsche Lie-Gruppen: Charaktere sind die irreduziblen Darstellungen.
• Für nicht-kompakte oder nicht-abelsche Lie-Gruppen: Die Struktur der Charaktere ist komplizierter, aber fundamental für Analysen und Darstellungen.
• Die Menge aller Charaktere von \(G\) bildet eine Gruppe, die Charaktergruppe \(\widehat{G}\).
• Zum Beispiel: Für \({\mathbb{R}}\) ist jeder Charakter von der Form \(x \mapsto e^{i \lambda x}\) für ein festes \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Symmetrien in der Quantenmechanik

Definition:

Symmetrien spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik und sind mit Erhaltungssätzen verbunden.

Details:

• Symmetrien führen zu Erhaltungssätzen (Noether-Theorem).
• Mathematisch beschrieben durch unitäre Operatoren \( U \).
• Raumsymmetrien: Translation (Impulsoperator), Rotation (Drehimpulsoperator).
• Zeitliche Symmetrien: Zeittranslation (Hamiltonoperator).
• Interne Symmetrien: z.B. Ladung (Konservierung der elektrischen Ladung).
• Lie-Gruppen und -Algebren beschreiben kontinuierliche Symmetrien.

Erhaltungsgrößen und Noether-Theorem

Definition:

Noether-Theorem erklärt Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen in Lagrangescher Mechanik.

Details:

• Gilt für Systeme mit differenzierbarer Wirkung
• Jede kontinuierliche Symmetrie korrespondiert mit einer Erhaltungsgröße
• Beispiele: Translationssymmetrie -> Impulserhaltung, Rotationssymmetrie -> Drehimpulserhaltung
• Noether'sche Ströme und zugehörige Ladungen

Algorithmen zur Berechnung von Lie-Algebrendarstellungen

Definition:

Algorithmen zur Berechnung von Darstellungen von Lie-Algebren

Details:

• Verwendung von Wurzelsystemen und Dynkin-Diagrammen
• Konstruktion von Darstellungen durch höchste Gewichte
• Verwendung von Casimir-Operatoren zur Bestimmung von Darstellungsmatrizen
• Implementierung numerischer Verfahren zur Berechnung spezieller Funktionen und Koeffizienten