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Modul LieG: Lie-Gruppen - Exam

Modul LieG: Lie-Gruppen - Exam Aufgabe 1) Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren Sei G eine Lie-Gruppe, dann sind die Abbildungen \( m: G \times G \rightarrow G, \, (g,h) \mapsto gh \) und \( i: G \rightarrow G, \, g \mapsto g^{-1} \) glatt. Die kleinste Dimension, die die lokale Struktur beschreibt, wird Lie-Algebra genannt. Wir betrachten insbesondere die Lie-Gruppen \( GL(n, \mathbb{R}) \), \( SL(n,...

Modul LieG: Lie-Gruppen - Exam

Aufgabe 1)

Lie-Gruppen und ihre Lie-AlgebrenSei G eine Lie-Gruppe, dann sind die Abbildungen

\( m: G \times G \rightarrow G, \, (g,h) \mapsto gh \) und
\( i: G \rightarrow G, \, g \mapsto g^{-1} \)

glatt. Die kleinste Dimension, die die lokale Struktur beschreibt, wird Lie-Algebra genannt. Wir betrachten insbesondere die Lie-Gruppen

\( GL(n, \mathbb{R}) \),
\( SL(n, \mathbb{R}) \),
\( SO(n) \),
\( SU(n) \)

und deren entsprechende Lie-Algebren

\( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \),
\( \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) \),
\( \mathfrak{so}(n) \),
\( \mathfrak{su}(n) \)

b)

Bestimme die Lie-Algebra \( \mathfrak{so}(3) \). Zeige, dass sie drei-dimensional ist. Berechne explizit die Strukturkonstanten der Lie-Klammer.

Lösung:

Lie-Gruppen und ihre Lie-Algebren Sei G eine Lie-Gruppe, dann sind die Abbildungen

\( m: G \times G \rightarrow G, \, (g,h) \mapsto gh \) und
\( i: G \rightarrow G, \, g \mapsto g^{-1} \)

glatt. Die kleinste Dimension, die die lokale Struktur beschreibt, wird Lie-Algebra genannt. Wir betrachten insbesondere die Lie-Gruppen

\( GL(n, \mathbb{R}) \),
\( SL(n, \mathbb{R}) \),
\( SO(n) \),
\( SU(n) \)

und deren entsprechende Lie-Algebren

\( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \),
\( \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) \),
\( \mathfrak{so}(n) \),
\( \mathfrak{su}(n) \)

Aufgabe:

Bestimme die Lie-Algebra \( \mathfrak{so}(3) \). Zeige, dass sie drei-dimensional ist. Berechne explizit die Strukturkonstanten der Lie-Klammer.

Lösung: Bestimmung der Lie-Algebra \( \mathfrak{so}(3) \)

Die Lie-Algebra \( \mathfrak{so}(3) \) besteht aus den \( 3 \times 3 \)-Matrixen, die schiefsymmetrisch sind. Eine Matrix \( X \in \mathfrak{so}(3) \) erfüllt also \( X + X^T = 0 \), was bedeutet, dass die Transponierte von \( X \) das Negativ von \( X \) ist. Schritt 1: Basis der Lie-Algebra \( \mathfrak{so}(3) \) Eine allgemeine Matrix \( X \in \mathfrak{so}(3) \) hat die Form

\[ X = \begin{pmatrix} 0 & -x_3 & x_2 \ x_3 & 0 & -x_1 \ -x_2 & x_1 & 0 \end{pmatrix},\]

wobei \( x_1, x_2, x_3 \) reelle Zahlen sind. Jede solche Matrix kann als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden:

\[ E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\] \[ E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\] \[ E_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\]

So ist jede Matrix \( X \in \mathfrak{so}(3) \) eine Linearkombination von \( E_1, E_2, E_3 \). Damit ist \( \mathfrak{so}(3) \) drei-dimensional. Schritt 2: Berechne die Strukturkonstanten Die Strukturkonstanten \( f_{ij}^k \) einer Lie-Algebra werden durch die Lie-Klammer der Basisvektoren definiert:

\[ [E_i, E_j] = \sum_{k=1}^{3} f_{ij}^k E_k,\] wobei \( [E_i, E_j] \) das Matrixkommutatorprodukt ist: \[ [E_i, E_j] = E_iE_j - E_jE_i.\]

Berechne die Kommutatoren:

\[ [E_1, E_2] = E_1E_2 - E_2E_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E_3, \]
\[ [E_2, E_3] = E_2E_3 - E_3E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = E_1. \]
\[ [E_3, E_1] = E_3E_1 - E_1E_3 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = -E_2. \]

Folglich sind die Strukturkonstanten \( f_{ij}^k \) von \( \mathfrak{so}(3) \) die folgenden:

\( f_{12}^3 = 1, f_{23}^1 = 1, f_{31}^2 = -1 \).

So haben wir gezeigt, dass \( \mathfrak{so}(3) \) eine drei-dimensionale Lie-Algebra ist und die Strukturkonstanten explizit berechnet.

c)

Sei \( G = SU(2) \). Zeige, dass \( SU(2) \) einfach ist und bestimme die Struktur der Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \). Zeige insbesondere, dass \( \mathfrak{su}(2) \) isomorph zu \( \mathfrak{so}(3) \) ist.

Lösung:

Lie-Gruppen und ihre Lie-AlgebrenSei G eine Lie-Gruppe, dann sind die Abbildungen

\( m: G \times G \rightarrow G, \, (g,h) \mapsto gh \) und
\( i: G \rightarrow G, \, g \mapsto g^{-1} \)

glatt. Die kleinste Dimension, die die lokale Struktur beschreibt, wird Lie-Algebra genannt. Wir betrachten insbesondere die Lie-Gruppen

\( GL(n, \mathbb{R}) \),
\( SL(n, \mathbb{R}) \),
\( SO(n) \),
\( SU(n) \)

und deren entsprechende Lie-Algebren

\( \mathfrak{gl}(n, \mathbb{R}) \),
\( \mathfrak{sl}(n, \mathbb{R}) \),
\( \mathfrak{so}(n) \),
\( \mathfrak{su}(n) \)

Aufgabe:

Sei \( G = SU(2) \). Zeige, dass \( SU(2) \) einfach ist und bestimme die Struktur der Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \). Zeige insbesondere, dass \( \mathfrak{su}(2) \) isomorph zu \( \mathfrak{so}(3) \) ist.

Lösung: Lie-Gruppe \( SU(2) \) und Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \)

1. Einfachheit von \( SU(2) \)

Eine Lie-Gruppe \( G \) ist einfach, wenn ihre Lie-Algebra \( \mathfrak{g} \) einfach ist, d.h., wenn \( \mathfrak{g} \) keine nicht-trivialen, abelschen Ideale besitzt. Die Gruppe \( SU(2) \), die Gruppe der \( 2 \times 2 \)-Unitärmatrizen mit Determinante 1, hat die Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \), bestehend aus den schiefhermiteschen Matrizen mit Spur null.

Jede nicht-triviale Matrix in \( SU(2) \) hat die Eigenschaft, dass ihre Einträge komplexe Zahlen sind, die den Gruppenaxiomen entsprechen. Für alle Matrizen in \( SU(2) \) ist die Determinante 1, was bedeutet, dass \( SU(2) \) keine echten Normaluntergruppen besitzt. Daher ist \( SU(2) \) einfach.

2. Struktur der Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \)

Die Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \) besteht aus allen schiefhermiteschen \( 2 \times 2 \)-Matrizen mit Spur null. Eine Matrix \( X \in \mathfrak{su}(2) \) hat die Form:

\[ X = \begin{pmatrix} i \alpha & \beta + i \gamma \ -\beta + i \gamma & -i \alpha \end{pmatrix}, \]

wobei \( \alpha, \beta, \gamma \) reelle Zahlen sind. Eine Basis der Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \) ist:

\[ T_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad T_2 = \begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 \end{pmatrix}, \quad T_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{pmatrix}. \]

3. Strukturkonstanten der Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \)

Die Lie-Klammern der Basisvektoren \( T_1, T_2, T_3 \) lassen sich berechnen (unter Verwendung des Kommutatorprodukts):

\[ [T_1, T_2] = T_1 T_2 - T_2 T_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{pmatrix} = 2i T_3 \]
\[ [T_2, T_3] = T_2 T_3 - T_3 T_2 = \begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} = 2i T_1 \]
\[ [T_3, T_1] = T_3 T_1 - T_1 T_3 = \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 \end{pmatrix} = 2i T_2 \]

Daraus folgen die Strukturkonstanten \( f_{ij}^k \) für \( \mathfrak{su}(2) \):

\( f_{12}^3 = 2i \), \( f_{23}^1 = 2i \), \( f_{31}^2 = 2i \).

4. Isomorphismus zwischen \( \mathfrak{su}(2) \) und \( \mathfrak{so}(3) \)

Wir haben bereits die Strukturkonstanten von \( \mathfrak{so}(3) \) bestimmt:

\( f_{12}^3 = 1 \), \( f_{23}^1 = 1 \), \( f_{31}^2 = 1 \).

Um den Isomorphismus zwischen \( \mathfrak{su}(2) \) und \( \mathfrak{so}(3) \) zu zeigen, betrachten wir folgende Skalierung:

Sei \( T'_i = -i T_i \) für \( i = 1, 2, 3 \).

Berechne die neuen Lie-Klammern der skalierten Basisvektoren:

\[ [T'_1, T'_2] = [-i T_1, -i T_2] = (-i)^2 [T_1, T_2] = [T_1, T_2] = 2 T_3 = 2 T'_3 \]
\[ [T'_2, T'_3] = [-i T_2, -i T_3] = (-i)^2 [T_2, T_3] = [T_2, T_3] = 2 T_1 = 2 T'_1 \]
\[ [T'_3, T'_1] = [-i T_3, -i T_1] = (-i)^2 [T_3, T_1] = [T_3, T_1] = 2 T_2 = 2 T'_2 \]

Dies zeigt, dass die Strukturkonstanten der skalierten Basis \( T'_i \) dieselbe Form wie die Strukturkonstanten von \( \mathfrak{so}(3) \) haben. Daher ist \( \mathfrak{su}(2) \) isomorph zu \( \mathfrak{so}(3) \).

Aufgabe 2)

Betrachte die Lie-Gruppe G und ihre zugehörige Lie-Algebra 𝕀. Die Lie-Algebra 𝕀 ist der Tangentialraum der Lie-Gruppe G im neutralen Element e mit der Lie-Klammer als Kommutator. Die Exponentialabbildung exp bildet die Lie-Algebra 𝕀 auf die Lie-Gruppe G ab. Außerdem sei die adjungierte Darstellung von G als Ad: G → Aut(𝕀) gegeben.

b)

Teilaufgabe b) Zeige, dass die adjungierte Darstellung Ad eine Gruppenhomomorphismus G → Aut(𝕀) ist. Berechne explizit die Adjungierte Wirkung für die spezielle Lie-Gruppe G = GL(n, ℝ) und deren Lie-Algebra 𝕀 = 𝕍ℝn(ℝ).

Lösung:

Um zu zeigen, dass die adjungierte Darstellung Ad ein Gruppenhomomorphismus G → Aut(𝕀) ist, und die Adjungierte Wirkung für die spezielle Lie-Gruppe G = GL(n, ℝ) und deren Lie-Algebra 𝕀 = 𝕍n(ℝ) zu berechnen, gehen wir schrittweise vor.

Teil 1: Gruppenhomomorphismus

1. Definition der adjungierten Darstellung:Für jede Lie-Gruppe G ist die adjungierte Darstellung Ad als Ad: G → Aut(𝕀) definiert. Für ein g ∈ G ist Ad_g ein Automorphismus auf der Lie-Algebra 𝕀, welcher durch \( \text{Ad}_g(X) = gXg^{-1} \) für X ∈ 𝕀 gegeben ist.
2. Homomorphismus-Eigenschaft:Um nachzuweisen, dass Ad ein Gruppenhomomorphismus ist, müssen wir zeigen, dass \( \text{Ad}_{gh} = \text{Ad}_g \circ \text{Ad}_h \) für alle g, h ∈ G gilt.
Beweis:Sei X ∈ 𝕀, dann gilt: \[ \text{Ad}_{gh}(X) = (gh)X(gh)^{-1} \] Durch Umformulierungen erhalten wir: \[ (gh)X(gh)^{-1} = g(hXh^{-1})g^{-1} = \text{Ad}_g(\text{Ad}_h(X)) \] Somit ist Ad tatsächlich ein Gruppenhomomorphismus.

Teil 2: Berechne die Adjungierte Wirkung für G = GL(n, ℝ) und 𝕀 = 𝕍n(ℝ)

1. Spezielle Lie-Gruppe und Lie-Algebra:Sei G = GL(n, ℝ) die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren n × n Matrizen über ℝ. Die zugehörige Lie-Algebra ist 𝕍n(ℝ), die Menge aller n × n Matrizen über ℝ.
2. Berechnung der adjungierten Wirkung:Für G und X ∈ 𝕀 = 𝕍n(ℝ), ergibt sich die adjungierte Wirkung wie folgt: Sei g ∈ GL(n, ℝ) und X eine Matrix in 𝕍n(ℝ). Dann gilt: \[ \text{Ad}_g(X) = gXg^{-1} \] Hierbei ist gXg^{-1} die Konjugation der Matrix X durch g, was eine Automorphism der Lie-Algebra 𝕀 darstellt.

Damit haben wir gezeigt, dass die adjungierte Darstellung Ad eine Gruppenhomomorphismus ist und die adjungierte Wirkung für die Lie-Gruppe G = GL(n, ℝ) und deren Lie-Algebra 𝕀 = 𝕍n(ℝ) explizit berechnet.

Aufgabe 3)

Gegeben seien zwei Lie-Gruppen G und H. Betrachte einen Homomorphismus \(\varphi: G \rightarrow H\), der durch folgende Eigenschaften definiert ist:

\(\varphi\) respektiert die Gruppenoperation, d.h. \(\varphi(xy) = \varphi(x) \varphi(y)\) für alle \(x, y \in G\).
\( \varphi \) ist surjektiv, injektiv oder beides.

a)

Beweise: Zeige, dass der Kern eines Homomorphismus \(\varphi: G \rightarrow H\) einer Lie-Gruppe G ein Normalteiler in G ist.

Lösung:

Um zu beweisen, dass der Kern eines Homomorphismus \(\varphi: G \rightarrow H\) einer Lie-Gruppe G ein Normalteiler in G ist, müssen wir folgende Schritte durchführen:

Definitionen des Kerns und eines Normalteilers wiederholen.
Nachweisen, dass der Kern eine Untergruppe von G ist.
Nachweisen, dass der Kern normal in G ist.

Beweis:

Kern eines Homomorphismus:Der Kern eines Homomorphismus \(\varphi: G \rightarrow H\) ist definiert als:\[\text{Ker}(\varphi) = \{ g \in G \mid \varphi(g) = e_H \}\]Hierbei ist \(e_H\) das neutrale Element in H.
Untergruppeigenschaft:Wir zeigen, dass der Kern eine Untergruppe von G ist. Dazu müssen wir prüfen, ob der Kern:

Das neutrale Element enthält,
Abgeschlossen unter der Gruppenoperation ist,
Jedes Element sein Inverses enthält.

Das neutrale Element \(e_G\) von G gehört zum Kern, da \(\varphi(e_G) = e_H\).
Seien \(k_1, k_2 \in \text{Ker}(\varphi)\). Dann ist \(\varphi(k_1) = e_H\) und \(\varphi(k_2) = e_H\). Somit ist:\[\varphi(k_1 k_2^{-1}) = \varphi(k_1) \varphi(k_2^{-1}) = e_H e_H^{-1} = e_H\].Daher gehört \(k_1 k_2^{-1}\) zum Kern.

Normaleigenschaft:Wir zeigen, dass der Kern normal in G ist. Das bedeutet, für jedes g \in G und k \in \text{Ker}(\varphi) gilt \(gkg^{-1} \in \text{Ker}(\varphi)\):

Sei k \in \text{Ker}(\varphi) und g \in G. Betrachtet man:\[\varphi(gkg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(k)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)e_H\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)\varphi(g^{-1}) = \varphi(gg^{-1}) = \varphi(e_G) = e_H\].Da \(\varphi(gkg^{-1}) = e_H\), folgt daraus, dass \(gkg^{-1} \in \text{Ker}(\varphi)\).

Damit haben wir gezeigt, dass der Kern \(\text{Ker}(\varphi)\) des Homomorphismus \(\varphi: G \rightarrow H\) ein Normalteiler in G ist.

b)

Konstruiere: Sei G die Lie-Gruppe \(SO(3)\) (die Gruppe der dreidimensionalen Drehungen) und H die Lie-Gruppe \(SO(2)\) (die Gruppe der zweidimensionalen Drehungen). Definiere einen expliziten Homomorphismus \(\varphi: SO(3) \rightarrow SO(2)\) und zeige, ob dieser Homomorphismus injektiv, surjektiv oder beides ist.

Erkläre, unter welcher Bedingung dieser Homomorphismus ein Isomorphismus wäre.

Lösung:

Um einen Homomorphismus \(\varphi: SO(3) \rightarrow SO(2)\) zu konstruieren, der überprüft werden muss, ob er injektiv, surjektiv oder beides ist, gehen wir wie folgt vor:

\(SO(3)\) ist die Lie-Gruppe der orthogonalen 3×3 Matrizen mit Determinante 1, die dreidimensionale Drehungen darstellen.
\(SO(2)\) ist die Lie-Gruppe der orthogonalen 2×2 Matrizen mit Determinante 1, die zweidimensionale Drehungen darstellen.

Definition des Homomorphismus:Wir wählen eine spezifische zweidimensionale Untergruppe von \(SO(3)\), nämlich Drehungen um die z-Achse. Sei \(R_z(\theta)\) die Matrix einer Drehung um einen Winkel \(\theta\) um die z-Achse in \(\mathbb{R}^3\):

\[ R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Definieren wir den Homomorphismus \(\varphi\) wie folgt:

\[ \varphi: SO(3) \rightarrow SO(2) \]\[ \varphi(R_z(\theta)) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]

Diese Abbildung \(\varphi\) projiziert die Drehungen um die z-Achse in \(SO(3)\) auf die entsprechenden Drehungen in \(SO(2)\).

Überprüfung, ob \(\varphi\) ein Homomorphismus ist:Wir zeigen, dass \(\varphi\) die Gruppenoperationen in \(SO(3)\) und \(SO(2)\) respektiert:

Seien \(R_z(\theta_1)\) und \(R_z(\theta_2)\) Drehungen um die z-Achse in \(SO(3)\). Dann gilt:

\[ \varphi(R_z(\theta_1) R_z(\theta_2)) = \varphi(R_z(\theta_1 + \theta_2)) = \begin{pmatrix} \cos(\theta_1 + \theta_2) & -\sin(\theta_1 + \theta_2) \ \sin(\theta_1 + \theta_2) & \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{pmatrix} \]

Auf der anderen Seite:

\[ \varphi(R_z(\theta_1)) \varphi(R_z(\theta_2)) = \begin{pmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix} \]

Das ergibt:

\[ \begin{pmatrix} \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2 & -\cos \theta_1 \sin \theta_2 - \sin \theta_1 \cos \theta_2 \ \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2 & -\sin \theta_1 \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cos \theta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta_1 + \theta_2) & -\sin(\theta_1 + \theta_2) \ \sin(\theta_1 + \theta_2) & \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{pmatrix} \]

Deshalb ist \(\varphi\) ein Homomorphismus.

Analysieren der Karteigenschaften:

Injektivität: \(\varphi\) ist nicht injektiv, da verschiedene Matrizen von \(SO(3)\), die keine Drehungen um die z-Achse sind, ebenfalls die identische Projektion auf \(SO(2)\) haben.
Surjektivität: \(\varphi\) ist surjektiv, da jede Matrix in \(SO(2)\) als Projektion einer entsprechenden Drehung in \(SO(3)\) erhalten werden kann.

Isomorphismus-Bedingung:Ein Homomorphismus ist ein Isomorphismus, wenn er bijektiv ist (sowohl injektiv als auch surjektiv). Da \(\varphi\) nicht injektiv ist, ist \(\varphi\) kein Isomorphismus. \(\varphi\) wäre nur dann ein Isomorphismus, wenn \(SO(3)\) und \(SO(2)\) dieselbe Struktur hätten, was nicht der Fall ist.

Aufgabe 4)

Gegeben sei eine Lie-Gruppe G und eine Darstellung \( \pi : G \to GL(V)\), wobei V ein Vektorraum ist. Durch die Darstellung wird jedem Element der Gruppe G ein Automorphismus des Vektorraums V zugeordnet.

Eine Darstellung wird als irreduzibel bezeichnet, wenn sie keine echten invarianten Unterräume außer den trivialen besitzt, d.h. außer \( {0} \) und V. Andernfalls wird sie als reduzibel bezeichnet.

Sei W ein echter Unterraum von V, der invariant unter der Darstellung \( \pi \) ist, dann ist die Darstellung reduzibel.

a)

Teilaufgabe 1: Zeige, dass die trivialen Darstellungen jeder Lie-Gruppe G irreduzibel sind. Erläutere, warum dies der Fall ist unter Berücksichtigung der Definition von irreduziblen Darstellungen.

Lösung:

Definition: Eine triviale Darstellung einer Lie-Gruppe G ist eine Darstellung, bei der jedem Element der Gruppe G der Identitätsoperator auf dem Vektorraum V zugeordnet wird.
Formal: Die triviale Darstellung \(\pi : G \to GL(V)\) wird definiert durch \(\pi(g) = I\) für alle \(g \in G\), wobei \(I\) der Identitätsoperator auf \(V\) ist.
Wir müssen zeigen, dass diese triviale Darstellung irreduzibel ist. Eine Darstellung \(\pi\) ist irreduzibel, wenn sie keine echten invarianten Unterräume außer den trivialen besitzt, das heißt außer dem Nullvektor \(\{0\}\) und dem ganzen Vektorraum \(V\).
Betrachten wir einen beliebigen Unterraum \(W\) von \(V\), der invariant unter der Darstellung \(\pi\) ist. Das bedeutet, dass für jedes \(w \in W\) und für jedes \(g \in G\) gilt: \(\pi(g)(w) \in W\).
Da \(\pi(g) = I\) für alle \(g \in G\) ist, folgt: \(\pi(g)(w) = I(w) = w\). Das heißt, \(W\) bleibt invariant unter der Operation der Identitätsabbildung.
Da \(W\) invariant unter der Identitätsabbildung ist, gibt es keine echten invarianten Unterräume von \(V\) außer \(\{0\}\) und \(V\) selbst. Das bedeutet, dass \(W\) entweder der triviale Unterraum \(\{0\}\) oder der ganze Vektorraum \(V\) sein muss.
Somit ist die triviale Darstellung \(\pi\) irreduzibel, da sie keine echten invarianten Unterräume außer \(\{0\}\) und \(V\) besitzt.

b)

Teilaufgabe 2: Betrachte die Darstellung \( \pi : SU(2) \to GL(\mathbb{C}^2) \) gegeben durch die natürliche Einbettung. Würde diese Darstellung als irreduzibel oder reduzibel klassifiziert werden? Begründe Deine Antwort und diskutiere die möglichen invarianten Unterräume.

Lösung:

Teilaufgabe 2: Betrachte die Darstellung \(\pi : SU(2) \to GL(\mathbb{C}^2)\) gegeben durch die natürliche Einbettung. Würde diese Darstellung als irreduzibel oder reduzibel klassifiziert werden? Begründe Deine Antwort und diskutiere die möglichen invarianten Unterräume.

Definition: Zunächst einmal ist \(SU(2)\) die spezielle unitäre Gruppe von 2x2-Matrizen, die determinanten-eins und unitär sind. Die natürliche Einbettung bedeutet, dass wir \(SU(2)\)-Elemente als 2x2-Matrizen in den allgemeinen linearen Operatorraum \(GL(\mathbb{C}^2)\) einbetten.
Eine Darstellung \(\pi\) ist irreduzibel, wenn sie keine echten invarianten Unterräume außer den trivialen besitzt, das heißt außer dem Nullvektor \(\{0\}\) und dem ganzen Vektorraum \(V\).
In unserem konkreten Fall betrachten wir die Darstellung \(\pi : SU(2) \to GL(\mathbb{C}^2)\).
Um festzustellen, ob diese Darstellung irreduzibel ist, müssen wir überprüfen, ob es echte nicht-triviale invarianten Unterräume von \(\mathbb{C}^2\) unter der Wirkung von \(\pi\) gibt.
Man zeigt, dass die natürliche Darstellung von \(SU(2)\) auf \(\mathbb{C}^2\) irreduzibel ist, indem man beweist, dass es keine nicht-trivialen Unterräume gibt, die invariant unter jedem Element von \(SU(2)\) sind. Dies ist ein bekanntes Resultat über die Darstellungstheorie von \(SU(2)\).
In detail: Angenommen, es gibt einen echten invarianten Unterraum \(W\) von \(\mathbb{C}^2\) unter der Wirkung von \(SU(2)\). Ein echter Unterraum von \(\mathbb{C}^2\) ist eindimensional; sei \(W\) dieser eindimensionale Unterraum. Das bedeutet, dass für jeden Vektor \(v \in W\) jeder Matrixoperator \(A \in SU(2)\) gilt: \(A(v) \in W\).
Jedoch sind die Matrizen von \(SU(2)\) solche, dass ihre Operationen keine eindimensionalen invarianten Unterräume lassen, da ihre Eigenwerte und Eigenvektoren aufgrund der unitären Bedingung und der Determinantenbedingung (determinante eins) keine Fixpunkte außer dem Nullvektor haben.
Daher existiert kein echter invarianter Unterraum in \(\mathbb{C}^2\), und somit ist die Darstellung von \(SU(2)\) auf \(\mathbb{C}^2\) irreduzibel.

Zusammengefasst: Die Darstellung \(\pi : SU(2) \to GL(\mathbb{C}^2)\) ist nach den Definitionen und den dargestellten Argumenten irreduzibel, da sie keine echten invarianten Unterräume besitzt außer den trivialen \(\{0\}\) und \(\mathbb{C}^2\) selbst.

c)

Teilaufgabe 3: Bestimme alle irreduziblen Darstellungen der orthogonalen Gruppe O(2) auf dem Vektorraum V und zeige, warum diese Darstellungen irreduzibel sind. Gehe dabei auch auf den Fall der reduzierbaren Darstellungen ein.

Lösung:

Definition: Die orthogonale Gruppe \(O(2)\) besteht aus allen 2x2-Matrizen, die orthogonal sind, das heißt \(M^T M = I\), wobei \(M^T\) die Transponierte von \(M\) und \(I\) die Einheitsmatrix ist. Diese Matrizen haben die Determinante +1 oder -1.
Jede orthogonale 2x2-Matrix ist entweder eine Drehmatrix oder eine Spiegelungsmatrix. Wir betrachten zunächst die Drehmatrizen \(R(\theta)\):

Die Drehmatrix wird in der Form \(R(\theta)\) gegeben durch:

\[R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\]

Die Spiegelungsmatrix \(S\) hat die Form:

\[S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}\]

Irreduzible Darstellungen: Betrachten wir die Darstellung der orthogonalen Gruppe \(O(2)\) auf dem Vektorraum \(\mathbb{R}^2\). Wir zeigen, dass diese Darstellung irreduzibel ist.

Eine Darstellung \(\pi : O(2) \to GL(\mathbb{R}^2)\) ist irreduzibel, wenn es keine echten invarianten Unterräume außer den trivialen gibt, also außer \(\{0\}\) und \(\mathbb{R}^2\).
Für die Drehmatrix \(R(\theta)\) zeigt man, dass es keine invariant Unterräume gibt, da jeder Vektor in \(\mathbb{R}^2\) unter der Rotation transformiert nicht in einem eindimensionalen oder anderen Unterraum bleibt. Jeder Vektor dreht sich und verlässt seinen ursprünglichen Unterraum.
Für die Spiegelungsmatrix \(S\), ist ein nichttriviales Beispiel ein Unterraum, der aus der x-Achse (eindimensional) besteht. Spiegelungen lassen die x-Achse invariant, was eine reduzible Darstellung definiert.

Betrachten wir nun allgemeiner irreduzible Darstellungen:
Eine nicht-triviale irreduzible Darstellung von \(O(2)\) ist die Projektion auf den Raum der skalaren Multiplikatoren, wie sie oft in Fourier-Transformationen vorkommen. Diese setzen jedoch die Übergangssymmetrie zu willkürlichen komplexen Koordinaten voraus. Prototypische irreduzible Darstellungen der Form \(SU(2)\)-Transformationen fehlen hier.

Reduzible Darstellungen: Assistet man die allgemeinen nicht-reduzierbaren Typen:

Jeder invariante Unterraum, wie solche der x- und y-Achse bei Spiegelungen, definiert reduzible Transformationsmöglichkeiten.
Für \(SO(2)\) sind eindimensionale Räume, die \( cos(\theta)\)- und \(sin(\theta)\)-Transformationsräume ein invariabler echter Unterraum. Diese zur irreduziblen Fourier-Darstellung definieren diese gesprägten Harmonie-Invarianten, die Fourier-Induktion darstellen.

Zusammengefasst: Die orthogonale Gruppe \(O(2)\) auf \(\mathbb{R}^2\) besitzt die Spiegel-Symmetrischen irreduziblen Darstellungen und spezifiziert die echte irreduziblen Typen in Projektionen wie Fourier-Projektionen, die in Raumbeziehungen unter G-Antrieben harmonische Fourier-Komponenten bezeichnende belegt und die weitere Projektion spezifiziert.

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Aufgabe 1)

b)

Aufgabe:

Lösung: Bestimmung der Lie-Algebra \( \mathfrak{so}(3) \)

c)

Aufgabe:

Lösung: Lie-Gruppe \( SU(2) \) und Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \)

1. Einfachheit von \( SU(2) \)

2. Struktur der Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \)

3. Strukturkonstanten der Lie-Algebra \( \mathfrak{su}(2) \)

4. Isomorphismus zwischen \( \mathfrak{su}(2) \) und \( \mathfrak{so}(3) \)

Aufgabe 2)

b)

Aufgabe 3)

a)

b)

Aufgabe 4)

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