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Egal, ob Zusammenfassung, Altklausur, Karteikarten oder Mitschriften - hier findest du alles für den Studiengang Master of Science Mathematik

Karteikarten Zusammenfassungen Altklausuren Test Forum

Universität Erlangen-Nürnberg

Master of Science Mathematik

Prof. Dr.

2024

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Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet
Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet Klassifikation und Beispiele elliptischer, parabolischer und hyperbolischer PDEs Definition: Klassifikation von PDEs basierend auf den Koeffizienten der höchsten Ableitungen. Details: Elliptische PDEs: Keine wellenartigen Lösungen, stationäre Probleme, z.B. \(\Delta u = 0\) (Laplace-Gleichung) Parabolische PDEs: Diffusions- und Wärmel...

Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet

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Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Exam
Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Exam Aufgabe 2) Betrachtet wird die Wärmeleitungsgleichung einer eindimensionalen Stange: \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] Verwende die Methode der Separation der Variablen, um die Gleichung zu lösen. Diese Methode setzt voraus, dass die Lösung in der Form \(u(x,t) = X(x)T(t)\) angenommen wird. Dies ...

Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Exam

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Was ist ein Beispiel für eine elliptische partielle Differentialgleichung?

Welche Kategorie von PDEs wird typischerweise mit der Wellengleichung assoziiert?

Welche partielle Differentialgleichung beschreibt typischerweise Diffusionsprozesse?

Was ist die Methode der Separation der Variablen zur Lösung von PDEs?

Welche Form hat die Funktion bei der Separation der Variablen?

Nennen Sie ein Beispiel einer PDE, die mit der Methode der Separation der Variablen gelöst wird.

Was besagt das Maximumprinzip für Lösungen elliptischer PDEs?

Wie helfen Maximal- und Minimalprinzipien bei parabolischen PDEs?

Welche Anwendung liefert das Maximumprinzip für die Wärmeleitungsgleichung?

Was ist die Definition von Green-Funktionen?

Wie wird eine Green-Funktion konstruiert?

Welche Anwendungen haben Green-Funktionen?

Was ist eine Charakteristikmethode für hyperbolische PDEs?

Welches Beispiel ist typisch für eine hyperbolische PDE?

Wofür sind Charakteristikmethoden besonders bedeutsam?

Was erweitert der Funktionenraum zur Behandlung nicht-glatter Funktionen?

Was ist die Dirac-Distribution?

Wie wird eine schwache Lösung einer PDE oft formuliert?

Was sind Sobolev-Räume?

Was ist der Einbettungssatz in der Sobolev-Raumanalyse?

Was untersucht die Regularitätstheorie in der PDE?

Was ist die Definition der Fredholm-Sätze?

Welche Alternativen geben die Fredholm-Sätze für die Existenz von Lösungen an?

Welche Arten von Gleichungen werden in den Fredholm-Sätzen betrachtet?

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Diese Konzepte musst du verstehen, um Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II an der Universität Erlangen-Nürnberg zu meistern:

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Klassische Theorie der linearen elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Gleichungen

Diese Vorlesung behandelt die fundamentalen Aspekte der klassischen Theorie von linearen partielle Differentialgleichungen (PDEs). Im Fokus stehen elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen und ihre jeweiligen Eigenschaften.

  • Definitionen und Beispiele von elliptischen, parabolischen und hyperbolischen PDEs
  • Lösungstechniken und Methoden der Separation der Variablen
  • Anwendung der Maximumprinzipien
  • Green-Funktionen und ihre Anwendungen
  • Charakteristikmethoden für hyperbolische PDEs
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Moderne Methoden und Anwendungen in der Theorie der PDEs

Der Kurs untersucht auch moderne Ansätze und Techniken zur Lösung von PDEs sowie ihre Anwendungen in verschiedenen Bereichen.

  • Einführung in die Distributionentheorie und schwache Lösungen
  • Regularitätstheorie und Sobolev-Räume
  • Duale Räume und ihre Anwendungen
  • Anwendungen in der Physik und Ingenieurwissenschaften
  • Strömungsmechanik und elektromagnetische Felder
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Existenz- und Eindeutigkeitssätze

Zusammen mit den Lösungsmethoden werden in dem Kurs auch wesentliche Existenz- und Eindeutigkeitssätze für PDEs behandelt.

  • Satz von Picard-Lindelöf zur eindeutigen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen
  • Existenzsätze für lineare elliptische PDEs
  • Fredholm-Sätze für Integralgleichungen
  • Eindeutigkeitssätze für hyperbolische PDEs
  • Leray-Schauder-Fixpunktsatz
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Variationsmethoden

Variationsmethoden bilden einen wesentlichen Teil der Theorie der PDEs und werden in dieser Vorlesung ausführlich besprochen.

  • Euler-Lagrange-Gleichungen
  • Direkte Methoden im Kalkül der Variationen
  • Anwendung auf variational formulierte PDEs
  • Minimierungsprobleme und Variationsprobleme
  • Konvexität und Uniqueness in Variationsproblemen
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Fourier- und Laplace-Transformation

Die Fourier- und Laplace-Transformationen sind essenzielle Werkzeuge in der Analyse von PDEs und werden umfassend erklärt.

  • Einführung in die Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften
  • Analytische Techniken in der Fourier-Analyse
  • Laplace-Transformation und ihre Anwendungen
  • Lösung von PDEs mittels Fourier- und Laplace-Transformation
  • Spezielle Funktionen und ihre Fourier- und Laplace-Transformationen
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Alles Wichtige zu diesem Kurs an der Universität Erlangen-Nürnberg

Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II an der Universität Erlangen-Nürnberg - Überblick

Das Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II ist Teil des Studiengangs Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg. In diesem Kurs vertiefst Du Dein Wissen über partielle Differentialgleichungen und lernst sowohl klassische als auch moderne Methoden und Anwendungen kennen. Die Vorlesung besteht aus wöchentlichen Vorlesungen und begleitenden Übungen, die sich über insgesamt 4 Semesterwochenstunden (SWS) erstrecken. Am Ende des Semesters wird eine schriftliche Prüfung abgelegt, die 90 Minuten dauert. Das Modul wird im Sommersemester angeboten.

Wichtige Informationen zur Kursorganisation

Kursleiter: Prof. Dr.

Modulstruktur: Die Vorlesung besteht aus wöchentlichen Vorlesungen und begleitenden Übungen. Insgesamt umfasst das Modul 4 SWS (Semesterwochenstunden), davon 2 SWS Vorlesung und 2 SWS Übung.

Studienleistungen: Am Ende des Semesters findet eine schriftliche Prüfung statt. Die Prüfung dauert 90 Minuten.

Angebotstermine: Das Modul wird im Sommersemester angeboten.

Curriculum-Highlights: Klassische Theorie der linearen elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Gleichungen, Moderne Methoden und Anwendungen in der Theorie der PDEs, Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Variationsmethoden, Fourier- und Laplace-Transformation, Numerische Methoden zur Lösung von PDEs, Nichtlineare PDEs

So bereitest Du Dich optimal auf die Prüfung vor

Beginne frühzeitig mit dem Lernen, idealerweise schon zu Beginn des Semesters, um Dir die nötige theoretische Basis anzueignen.

Nutze verschiedene Ressourcen, wie Bücher, Übungsaufgaben, Karteikarten und Probeklausuren, um dein Wissen zu vertiefen.

Schließe Dich Lerngruppen an und tausche Dich mit anderen Studierenden aus, um gemeinsam Lösungsstrategien zu entwickeln.

Vergiss nicht, regelmäßige Pausen einzulegen und in diesen Zeiten komplett abzuschalten, um eine Überbelastung zu vermeiden.

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