Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Cheatsheet

Klassifikation und Beispiele elliptischer, parabolischer und hyperbolischer PDEs

Definition:

Klassifikation von PDEs basierend auf den Koeffizienten der höchsten Ableitungen.

Details:

• Elliptische PDEs: Keine wellenartigen Lösungen, stationäre Probleme, z.B. \(\Delta u = 0\) (Laplace-Gleichung)
• Parabolische PDEs: Diffusions- und Wärmeleitungsgleichungen, z.B. \(u_t = \Delta u\) (Wärmeleitungsgleichung)
• Hyperbolische PDEs: Wellengleichungen, Ausbreitung von Signalen, z.B. \(u_{tt} = \Delta u\) (Wellengleichung)

Methoden der Separation der Variablen zur Lösung von PDEs

Definition:

Methode zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) durch Zerlegung in einfachere gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs).

Details:

• Funktion wird als Produkt von Funktionen in jeweils einer unabhängigen Variable angenommen: \(u(x,t) = X(x)T(t)\)
• PDE wird in eigenständige ODEs zerlegt
• Setzt voraus, dass Randbedingungen separierbar sind
• Typische Anwendungen: Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung, Laplace-Gleichung
• Beispiel: Wärmeleitungsgleichung: \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)
• Trennung: \(u(x,t)=X(x)T(t)\)
• Führt zu: \(\frac{T'}{\alpha T} = \frac{X''}{X} = -\lambda\)
• Ergebnis: Zwei ODEs: \(T'(t) + \alpha \lambda T(t) = 0\) und \(X''(x) + \lambda X(x) = 0\)

Maximumprinzipien und ihre Anwendungen bei elliptischen und parabolischen PDEs

Definition:

Maximal- und Minimalprinzipien nennen sich theoretische Werkzeuge zur Schätzung der Lösungen elliptischer und parabolischer PDEs.

Details:

• Maximumprinzip: Besagt, dass eine Lösung einer elliptischen/parabolischen PDE ihre maximalen/minimalen Werte an den Randpunkten des betrachteten Gebiets annimmt.
• Elliptische PDEs: Lösungen haben keine lokalen Maxima oder Minima im Inneren eines Gebiets (außer sie sind konstant).
• Parabolische PDEs: Vergleichen Lösungen zu verschiedenen Zeitpunkten und verallgemeinern Analysen in die Zeitdimension.
• Anwendungen: Stabilität und Eindeutigkeit von Lösungen, Abschätzung der Lösung, Regularitätstheorie.
• Beispiel: Für die Wärmeleitungsgleichung (parabolisch) liefert das Maximumprinzip wichtige Informationen über die Temperaturverteilung im Zeitverlauf.

Green-Funktionen: Definition, Konstruktion und Anwendungen

Definition:

Green-Funktionen sind fundamentale Lösungen partieller Differentialgleichungen, die zur Lösung von Randwertproblemen verwendet werden.

Details:

• Konstruktion: Finden einer Funktion, die das Differentialoperator \(L\) und Dirac-Delta-Funktion \(\delta(x-y)\) verbindet, so dass \(L[G(x,y)] = \delta(x-y)\).
• Verwendung: Umwandlung eines Randwertproblems in ein Integro-Differentialproblem.
• Lösung: \(u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy + \text{Randterme}\)
• Eigenschaften: Symmetrie, einzigartige Existenz unter bestimmten Bedingungen.
• Anwendungen: Elektrodynamik, Quantenmechanik, Wärmetransport, Akustik.

Charakteristikmethoden für hyperbolische PDEs

Definition:

Verfahren zur Lösung hyperbolischer partieller Differentialgleichungen (PDEs), bei denen Charakteristiken genutzt werden, um die Lösung entlang bestimmter Kurven im Raum-Zeit-Kontinuum zu bestimmen.

Details:

• Hyperbolische PDEs: Form \(\frac{\text{d}^2 u}{\text{d} t^2} = c^2 \frac{\text{d}^2 u}{\text{d} x^2}\).
• Charakteristiken: Kurven, entlang derer die PDE reduziert wird zu einer ODE.
• Lösungsmethode: Benutzung der Charakteristiken zur Parameterdarstellung und Lösung.
• Besondere Bedeutung bei Erstauswertungsproblemen: Anfangsbedingungen entlang einer Linie im Raum.
• Beispiel: Wellen- oder Transportgleichung.
• Typische Form der Lösung: Reisediagramme, wo Wellenfronten radiale oder linienartige Muster ergeben.

Einführung in die Distributionentheorie und schwache Lösungen von PDEs

Definition:

Einführung in die Distributionentheorie und schwache Lösungen von PDEs in der Vorlesung Modul PDG II: Grundbegriffe der Distributionentheorie und Anwendung auf partielle Differentialgleichungen. Schwache Lösungen ermöglichen die Lösung von PDEs bei weniger strengen Anforderungen an die Lösungsfunktionen.

Details:

• Distributionen erweitern den Funktionenraum zur Behandlung nicht-glatter Funktionen.
• Definition der Distribution: lineare, stetige Funktional auf dem Raum der Testfunktionen \(C_c^{\infty}(\Omega)\)
• Beispiel: Dirac-Distribution \(\delta(x)\)
• Schwache Ableitung: Definition mittels Distributionen
• Schwache Lösung einer PDE: Erfüllt die Gleichung in einem verallgemeinerten Sinn, oft durch Integration gegen Testfunktionen formuliert.
• Beispiel: Schwache Lösung der Poisson-Gleichung

Sobolev-Räume und Regularitätstheorie

Definition:

Sobolev-Räume: Funktionenräume, die schwache Ableitungen enthalten; wichtig in PDE zur Untersuchung von Lösungen. Regularitätstheorie: Untersuchung der Glattheit der Lösungen.

Details:

• Sobolev-Räume: \(W^{k,p}(\Omega)\) mit \(k\) Ableitungen in \(L^p\)-Norm
• Einbettungssatz: \(W^{k,p}(\Omega) \subset L^q(\Omega)\) für geeignete \(p, q\)
• Spurensatz: Einschränkung von Funktionen in \(W^{k,p}\) auf den Rand \(\text{\partial} \Omega\)
• Reguläre Lösungen: Glattheitseigenschaften hängen von den Daten und PDE ab
• a-priori Abschätzungen: Abschätzungen der Lösung in Sobolev-Normen
• Sobolev-Einbettungen: Glattheit der Funktion abhängig von Raumdimension und p, q

Fredholm-Sätze für Integralgleichungen

Definition:

Die Fredholm-Sätze geben Kriterien für die Existenz, Eindeutigkeit und Bestimmtheit von Lösungen linearer Integralgleichungen. Wesentlich für das Verständnis der Analysis und numerischen Mathematik.

Details:

• Gegeben: Integralgleichung der Form \( f(x) = \lambda \int_a^b K(x,y) \phi(y) \, dy + g(x) \)
• Fredholm-Alternativen: Existenz genau einer Lösung oder unendlich viele Lösungen
• Homogene Gleichung \( f(x) = \lambda \int_a^b K(x,y) \phi(y) \, dy \)
• Inhomogene Gleichung \( f(x) = \lambda \int_a^b K(x,y) \phi(y) \, dy + g(x) \)
• Eigenwertproblem für Integraloperatoren
• Fredholm-Determinante und Fredholm-Resolvente