Modul PDG II: Partielle Differentialgleichungen II - Exam

Aufgabe 2)

Betrachtet wird die Wärmeleitungsgleichung einer eindimensionalen Stange:

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

Verwende die Methode der Separation der Variablen, um die Gleichung zu lösen. Diese Methode setzt voraus, dass die Lösung in der Form \(u(x,t) = X(x)T(t)\) angenommen wird. Dies führt zu zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs):

• Für die Funktion \(T(t)\):

  \[ T'(t) + \alpha \lambda T(t) = 0 \]

• Für die Funktion \(X(x)\):

  \[ X''(x) + \lambda X(x) = 0 \]

b)

(b) Stellen Sie die vollständige Lösung u(x,t) in Form einer Fourier-Reihe dar. Berücksichtigen Sie, dass die vollständige Lösung aus einer Summe der Moden besteht, die durch die Werte von λ bestimmt werden.

Lösung:

Um die vollständige Lösung u(x,t) in Form einer Fourier-Reihe darzustellen, erinnern wir uns daran, dass die allgemeinen Lösungen für X(x) und T(t) bereits gefunden wurden. Die Lösungen sind:

Für T(t):

\[ T_n(t) = A_n e^{-\alpha \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 t} \]

Für X(x):

\[ X_n(x) = C_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]

Die vollständige Lösung u(x,t) ist eine Summe dieser separierten Lösungen:

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) e^{-\alpha \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 t} \]

Hier sind B_n die Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Um die Konstanten B_n zu bestimmen, verwende die Anfangsbedingung u(x,0) = f(x). Dies bedeutet, dass:

\[ u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) = f(x) \]

Das entspricht der Fourier-Sinusreihe der Funktion f(x). Die Fourier-Koeffizienten B_n berechnen wir durch:

\[ B_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx \]

Zusammenfassend erhalten wir die vollständige Lösung:

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx \right) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) e^{-\alpha \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 t} \]

Dies ist die Lösung der Wärmeleitungsgleichung in Form einer Fourier-Reihe, wobei die Anfangsbedingung u(x,0) = f(x) berücksichtigt wird.

Aufgabe 3)

Betrachte das Gebiet \(\text{Ω}\) im \(\text{ℝ}^2\), \(u:\text{Ω}\to\text{ℝ}\) als die Lösung der elliptischen partielle Differentialgleichung \(\text{Lu=f}\) in \(Ω\), wobei \(L\) ein linearer elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung ist. Angenommen, \(u\) erfüllt die Randbedingungen \(u=0\) auf \( \text{∂Ω}\). Weiterhin sei \(f(x,y) \geq 0\) für alle \( (x,y) ∈ \text{Ω} \). Das Maximumprinzip für elliptische PDEs besagt, dass die Lösung \(u\) ihr Maximum (bzw. Minimum) an den Randpunkten annimmt.

a)

Zeige, dass \(u(x,y) ≤ 0 \) in \(Ω\). Gehe hierbei auf das Maximumprinzip ein und erkläre die notwendigen Schritte.

Lösung:

Um zu zeigen, dass \(u(x,y) \le 0\) in \(\text{Ω}\) gilt, verwenden wir das Maximumprinzip für elliptische partielle Differentialgleichungen. Das Maximumprinzip besagt, dass die Lösung \(u\) ihr Maximum (bzw. Minimum) am Rand des Gebiets \(\text{Ω}\) annimmt. Folgende Schritte führen uns zur Lösung:

• Schritt 1: Randbedingungen analysierenEs ist gegeben, dass \(u = 0\) auf dem Rand \(\text{∂Ω}\). Das bedeutet, dass \(u\) auf \(\text{∂Ω}\) seinen maximalen und minimalen Wert bei Null hat.
• Schritt 2: Anwendung des MaximumprinzipsAufgrund des Maximumprinzips für elliptische PDEs wissen wir, dass die Lösung \(u\) ihr Maximum oder Minimum innerhalb von \(Ω\) nicht überschreiten kann. Da \(f(x,y) \ge 0\) für alle \((x,y) \in \text{Ω}\) und \(u\) auf dem Rand Null ist, folgt daraus, dass \(u\) nirgendwo im Inneren von \text{Ω}\ positive Werte annehmen kann.
• Schritt 3: Untersuche das Verhalten von \(u\) innerhalb des GebietsDa \(u\) aufgrund des Maximumprinzips sein Maximum und Minimum am Rand \(\text{∂Ω}\) annimmt und dort \(u = 0\) ist, kann \(u\) innerhalb von \(Ω\) keine positiven Werte annehmen. Würde \(u\) innerhalb des Gebiets einen positiven Wert annehmen, müsste es einen Punkt geben, an dem \(u\) ein lokales Maximum größer Null hat. Dies widerspricht jedoch dem Maximumprinzip.
• SchlussfolgerungAlle oben genannten Schritte zusammengefasst zeigen, dass die Lösung \(u\) im gesamten Gebiet \(\text{Ω}\) nicht positiv sein kann. Da \(u\) jedoch auf dem Rand Null ist und innerhalb des Gebiets nicht positiv sein kann, folgt daraus, dass \(u \leq 0\) für alle \((x,y)\) in \(Ω\) gilt.

Somit haben wir gezeigt, dass \(u(x,y) \le 0\) in \(Ω\) (\text{Omega})\).

b)

Betrachte nun eine parabolische Differentialgleichung, etwa die Wärmeleitungsgleichung \(u_t = \(Δ u \)+ f \). Zeige unter Verwendung des parabolischen Maximumprinzips, dass die Temperatur zu keinem Zeitpunkt in der Zukunft größer sein wird als das maximale Anfangs- oder Randwert. Gehe dabei auch auf die physikalische Bedeutung dieser Eigenschaft ein.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Temperatur zu keinem Zeitpunkt in der Zukunft größer sein wird als das maximale Anfangs- oder Randwert, verwenden wir das parabolische Maximumprinzip. Betrachten wir die parabolische Differentialgleichung für die Wärmeleitung:

\(u_t = \Delta u + f\)

Hierbei ist \(u(t, x)\) die Temperatur zum Zeitpunkt \(t\) an der Position \(x\), \(\Delta\) der Laplace-Operator (der die räumliche Diffusion beschreibt), und \(f\) eine Wärmequelle oder -senke.

Folgende Schritte führen uns zur Lösung:

• Schritt 1: Formuliere die Rand- und Anfangsbedingungen Angenommen, die Temperaturen zu Beginn (bei \(t = 0\)) sind durch eine Funktion \(u(0, x)\) gegeben (Anfangsbedingung) und die Temperatur an den Rändern des Gebiets \(\text{Ω}\) ist für alle Zeiten durch eine Funktion \(u_b(t,x)\) gegeben (Randbedingung).
• Schritt 2: Anwendung des parabolischen Maximumprinzips Das parabolische Maximumprinzip besagt, dass für eine Lösung \(u\) der Wärmeleitungsgleichung \(u_t = \Delta u + f\) mit \(f \geq0\) das Maximum von \(u\) im späteren Zeitpunkt nicht größer sein kann als das Maximum der Anfangs- und Randbedingungen. Das bedeutet, wenn \(u(t,x)\) irgendwo ein lokales Maximum erreicht, dann muss dieses Maximum zu einem früheren Zeitpunkt oder an den Rändern des Gebiets existiert haben.
• Schritt 3: Folgerung für die Temperatur Da \(u(0, x)\) die Anfangstemperatur beschreibt und \(u_b(t,x)\) die Temperaturen am Rand für alle Zeiten, folgt aus dem parabolischen Maximumprinzip, dass \(u(t,x)\) zu keinem späteren Zeitpunkt größer sein kann als das größte \(u(0, x)\) oder \(u_b(t,x)\). Dies bedeutet, dass die Temperatur \(u(t, x)\) für alle \((t, x)\) durch den höchsten Wert der Anfangs- und Randbedingungen beschränkt ist.
• Schritt 4: Physikalische Bedeutung Diese mathematische Eigenschaft hat eine klare physikalische Bedeutung: In einem geschlossenen System ohne zusätzliche Wärmequellen (\(f \le 0\)), kann die Temperatur nicht plötzlich ansteigen und einen höheren Wert als den ursprünglichen maximalen Temperaturwert erreichen. Dies entspricht unserem physikalischen Verständnis, dass Wärme sich ausbreitet und verteilt, aber nicht spontan konzentriert wird, um höhere Temperaturen ohne Einfluss von außen zu erzeugen.

Zusammengefasst zeigt die Anwendung des parabolischen Maximumprinzips, dass die Temperatur in einem System, das durch die Wärmeleitungsgleichung beschrieben wird, sich niemals über die höchsten Anfangs- oder Randwerte hinaus erhöht.

c)

Diskutiere anhand eines Beispielproblems, wie das Maximumprinzip zur Abschätzung der Lösungen genutzt werden kann. Wähle ein Elliptisches oder Parabolisches PDE deines Interesses und stelle dar, wie durch Anwendung des Maximumprinzips gezielte Abschätzungen gemacht werden können.

Lösung:

Um das Maximumprinzip zur Abschätzung der Lösungen zu demonstrieren, betrachten wir ein Beispielproblem einer elliptischen Differentialgleichung. Wir wählen die Poisson-Gleichung als unser Beispiel:

\[\Delta u = -f(x,y), \text{ in } \Omega \]

Hierbei ist \(\Delta\) der Laplace-Operator und \(f(x,y) \geq 0\) eine gegebene Funktion im Gebiet \(\Omega\).

Wir betrachten die Randbedingungen:

\[u(x,y) = 0, \text{ auf } \partial \Omega\]

Die Poisson-Gleichung modelliert zum Beispiel das stationäre Temperaturfeld in einem Gebiet, in dem die Temperatur an den Rändern festgehalten wird (hier stets Null) und eine gleichmäßige Heizquelle (oder Wärmeerzeugung) \(f(x,y)\) im Inneren vorhanden ist.

Folgende Schritte führen uns zur Anwendung des Maximumprinzips und zur Abschätzung der Lösung:

• Schritt 1: Anwendung des elliptischen Maximumprinzips Da \(f(x,y) \geq 0\) und \(L = -\Delta\), folgt aus der Differentialgleichung \(\Delta u = -f(x,y)\), dass \(Lu = f(x,y) \leq 0\). Das elliptische Maximumprinzip besagt nun, dass die Lösung \(u\) ihr Maximum und Minimum am Rand von \(\Omega\) annimmt.
• Schritt 2: Berücksichtigung der Randbedingungen Von den Randbedingungen wissen wir bereits, dass \(u = 0\) auf \(\partial \Omega\). Dies bedeutet, dass das Maximum und Minimum von \(u\) auf dem Rand des Gebiets gleich Null ist.
• Schritt 3: Schlussfolgerung für das Innere des Gebiets Aus dem Maximumprinzip und den gegebenen Randbedingungen folgt, dass \(u\) im Inneren des Gebiets \(\Omega\) nenitig oder gleich Null ist. Dies bedeutet, dass:

\[u(x,y) \le 0 \text{ für alle } (x,y) \in \Omega\]

In der Tat gilt:

\[-u(x,y) \le 0, \text{ oder dass } u(x,y) \ge 0\]

Aus dem elliptischen Maximumprinzip und den Randbedingungen schließen wir daher, dass:

• \[u(x,y) = 0, \text{ für alle } (x,y) \in \Omega\]

Dies zeigt, dass die Lösung 0 ist bleiben. Zusammengefasst können wir durch Anwendung des Maximumprinzips eine gezielte Abschätzung für \(u\) machen, indem wir die Randwerte und die Natur der Differentialgleichung berücksichtigen. Dies erlaubt es uns, Obergrenzen oder Untergrenzen für die Lösung zu bestimmen und die physikalischen oder geometrischen Eigenschaften des Problems zu nutzen, um die Lösung einzuschränken.

Aufgabe 4)

Green-Funktionen: Definition, Konstruktion und Anwendungen Green-Funktionen sind fundamentale Lösungen partieller Differentialgleichungen, die zur Lösung von Randwertproblemen verwendet werden.

• Konstruktion: Finden einer Funktion, die das Differentialoperator \(L\) und Dirac-Delta-Funktion \(\delta(x-y)\) verbindet, so dass \(L[G(x,y)] = \delta(x-y)\).
• Verwendung: Umwandlung eines Randwertproblems in ein Integro-Differentialproblem.
• Lösung: \(u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy + \text{Randterme}\)
• Eigenschaften: Symmetrie, einzigartige Existenz unter bestimmten Bedingungen.
• Anwendungen: Elektrodynamik, Quantenmechanik, Wärmetransport, Akustik.

b)

Sei \(u(x)\) die Lösung der folgenden partiellen Differentialgleichung: \[\Delta u(x) = f(x),\] und gegeben ist, dass die Green-Funktion \(G(x,y)\) die Laplace-Gleichung erfüllt. Zeige, dass die Lösung \(u(x)\) durch folgende Gleichung ausgedrückt werden kann: \[u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy.\] Welche zusätzlichen Terme müssen berücksichtigt werden, wenn Mengenrandbedingungen vorhanden sind?

Lösung:

Sei \(u(x)\) die Lösung der partiellen Differentialgleichung:

\(\Delta u(x) = f(x)\)

und gegeben ist, dass die Green-Funktion \(G(x,y)\) die Laplace-Gleichung \(\Delta G(x,y) = \delta(x-y)\) erfüllt. Wir wollen zeigen, dass die Lösung \(u(x)\) durch die folgende Gleichung ausgedrückt werden kann:

\(u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy\)

und überlegen, welche zusätzlichen Terme berücksichtigt werden müssen, wenn Randbedingungen vorliegen.

Schrittweiser Beweis:

• Konvolution mit der Green-Funktion: Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung \(\Delta u(x) = f(x)\) mit der Green-Funktion \(G(x,y)\) und integrieren über \(\Omega\): \[ u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) \Delta u(y) \, dy \]
• Anwendung der Green-Funktion: Durch die Definition der Green-Funktion wissen wir, dass \(\Delta G(x,y) = \delta(x-y)\). Integrieren wir nun die rechte Seite: \[ u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy \]
• Randbedingungen berücksichtigen: Wenn Randbedingungen vorhanden sind, müssen zusätzliche Terme berücksichtigt werden. Nehmen wir beispielsweise an, es gibt Dirichlet-Randbedingungen, die \(u(x)\) auf dem Rand \(\partial \Omega\) spezifizieren. Die vollständige Lösung wäre dann: \[ u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy + \text{Randterme} \] Die Randterme entstehen aus der Anwendung der Grenzbedingungen auf \(\partial \Omega\). Für Dirichlet-Randbedingungen, wo \(u = 0\) auf dem Rand, verschwinden die Randterme, und die Lösung bleibt: \[ u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy \]

Zusammenfassung:

Wir haben gezeigt, dass die Lösung \(u(x)\) der Gleichung \(\Delta u(x) = f(x)\) durch die Gleichung \(u(x) = \int_{\Omega} G(x,y) f(y) \, dy\) ausgedrückt werden kann, wobei \(G(x,y)\) die Green-Funktion ist. Wenn Randbedingungen vorliegen, müssen zusätzliche Terme integriert werden, um diese Randbedingungen zu erfüllen. Die genaue Form dieser Terme hängt von der Art der Randbedingungen (z.B. Dirichlet oder Neumann) ab.

c)

Zeige die Symmetrie-Eigenschaft der Green-Funktion in einem einfach zusammenhängenden Bereich \(\Omega\), das heißt, zeige, dass: \[G(x,y) = G(y,x).\] Überlege, unter welchen Bedingungen dieses Ergebnis gültig ist.

Lösung:

Um die Symmetrie-Eigenschaft der Green-Funktion in einem einfach zusammenhängenden Bereich \(\Omega\) zu zeigen, das heißt:

\(G(x,y) = G(y,x)\)

müssen wir die Definition und Eigenschaften der Green-Funktion sowie die zugrunde liegende Differentialgleichung berücksichtigen.

Schrittweiser Beweis:

• Definition der Green-Funktion: Die Green-Funktion \(G(x, y)\) ist die Lösung der Gleichung: \[L[G(x,y)] = \delta(x-y)\] wobei \(L\) typischerweise der Laplace-Operator \(\Delta\) ist: \[\Delta G(x,y) = \delta(x-y)\]
• Fundamentale Lösung und Symmetrie: Für den Laplace-Operator in einem einfach zusammenhängenden Bereich ohne andere Felder (wie z.B. Magnetfelder oder Quellen), und unter geeigneten Randbedingungen, können wir die Green-Funktion als symmetrisch betrachten. Die Symmetrie folgt aus der Selbstadjungiertheit des Laplace-Operators unter diesen Bedingungen: \[\int_{\Omega} (v \Delta u - u \Delta v) \, dx = 0\] für geeignete Funktionen \(u\) und \(v\), integriert über den Bereich \(\Omega\). Davon ausgehend, setzen wir \(u = G(x,y)\) und \(v = G(y,x)\) und erhalten: \[\int_{\Omega} (G(y,x) \Delta G(x,y) - G(x,y) \Delta G(y,x)) \, dx = 0\]
• Anwendung der Definition: Da \(\Delta G(x,y) = \delta(x-y)\) ist, ergibt dies: \[\int_{\Omega} (G(y,x) \delta(x-y) - G(x,y) \delta(y-x)) \, dx = 0\]
• Eigenschaft der Dirac-Delta-Funktion: Die Dirac-Delta-Funktion \(\delta(x-y)\) hat die Eigenschaft, dass: \[\delta(x-y) = \delta(y-x)\] wodurch die Integralbedingung zu: \[G(y,x) = G(x,y)\]

Bedingungen für die Gültigkeit:

• Die Symmetrie-Eigenschaft \(G(x,y) = G(y,x)\) ist gültig in einem einfach zusammenhängenden Bereich \(\Omega\) ohne weitere Felder oder inhomogene Randbedingungen.
• Die Randbedingungen müssen so gewählt sein, dass keine asymmetrischen Einflüsse auftreten, die die Symmetrie der Green-Funktion stören könnten.

Schlussfolgerung:

Wir haben gezeigt, dass die Green-Funktion \(G(x, y)\) in einem einfach zusammenhängenden Bereich \(\Omega\) mit geeigneten Randbedingungen symmetrisch ist, d.h. \(G(x, y) = G(y, x)\). Dies ist insbesondere der Fall, wenn der zugrunde liegende Differentialoperator (z.B. der Laplace-Operator) selbstadjungiert ist und die Randbedingungen die Symmetrie der Lösung nicht stören.

d)

Betrachte die Anwendung der Green-Funktion in der Quantenmechanik und beschreibe, wie Green-Funktionen zur Lösung der Schrödinger-Gleichung verwendet werden. Diskutiere insbesondere, wie die Green-Funktion hilft, die Dirac-Delta-Funktion in der Schrödinger-Gleichung zu behandeln und führe ein Beispiel einer solchen Lösung an.

Lösung:

In der Quantenmechanik sind Green-Funktionen eine mächtige Methode, um Lösungen der Schrödinger-Gleichung zu finden. Wir werden nun erläutern, wie die Green-Funktion zur Lösung der Schrödinger-Gleichung verwendet wird, und ein Beispiel einer solchen Lösung vorstellen.

Anwendung der Green-Funktion in der Schrödinger-Gleichung

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung lautet:

\[\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(x) \right) \psi(x) = E \psi(x)\]

Hierbei ist:

• \(\hbar\) das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• \(m\) die Masse des Teilchens
• \(\Delta\) der Laplace-Operator
• \(V(x)\) das Potential
• \(\psi(x)\) die Wellenfunktion
• \(E\) die Energie

Die Green-Funktion \(G(x, y)\) für den Differentialoperator \(L = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(x)\) erfüllt die Gleichung:

\[\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(x) \right) G(x, y) = \delta(x - y)\]

Hierdurch wird die Differentialgleichung praktisch in ein Integro-Differentialproblem umgewandelt.

Behandlung der Dirac-Delta-Funktion in der Schrödinger-Gleichung

Um die Gleichung \(\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) G(x, y) = \delta(x - y)\) zu lösen, gehen wir wie folgt vor:

1. Wir machen einen Ansatz für die Green-Funktion \(G(x, y)\).
2. Integrieren über den gesamten Bereich, um \(G(x, y)\) zu bestimmen.
3. Verwenden die Symmetrieeigenschaft \(G(x, y) = G(y, x)\), wo anwendbar.
4. Verwenden die Green-Funktion, um die Lösung \(\psi(x)\) in der Gestalt eines Integrals zu schreiben:

\[\psi(x) = \int_{\Omega} G(x, y) f(y) \, dy\]

Beispiel einer Lösung mit Green-Funktion

Betrachten wir ein einfaches Beispiel: das freie Teilchen im eindimensionalen Raum, d.h. \(V(x) = 0\). Die Schrödinger-Gleichung wird zu:

\[\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right) \psi(x) = E \psi(x)\]

Die entsprechende Green-Funktion \(G(x, y)\) erfüllt die Gleichung:

\[\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right) G(x, y) = \delta(x - y)\]

Die Lösung für \(G(x, y)\) liegt in einer exponentiellen Lösung:

\[G(x, y) = -\frac{2m}{\hbar^2} |x - y|\]

Die Wellenfunktion \(\psi(x)\) kann dann durch Integration über das Potential und die Green-Funktion geschrieben werden als:

\[\psi(x) = -\frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\infty}^{\infty} |x - y| f(y) \, dy\]

Zusammenfassung

Wir haben gesehen, wie die Green-Funktion zur Lösung der Schrödinger-Gleichung verwendet wird und wie sie hilft, die Dirac-Delta-Funktion zu behandeln, die in der Schrödinger-Gleichung auftritt. Durch ein einfaches Beispiel haben wir gezeigt, wie eine Green-Funktion für ein freies Teilchen im eindimensionalen Raum bestimmt wird und wie daraus die Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann.