Modul ProjO: Projektseminar Optimierung - Cheatsheet

Einführung in lineare Optimierung

Definition:

Einführung in die mathematische Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen, bei denen sowohl Zielfunktion als auch Nebenbedingungen linear sind.

Details:

• Ziel: Finde das Optimum (Maximum oder Minimum) einer linearen Zielfunktion c^Tx unter linearen Nebenbedingungen Ax ≤ b und x ≥ 0
• Zielfunktion: c^T x
• Nebenbedingungen: Ax ≤ b , x ≥ 0
• Sonderfälle: Ungleichung kann auch als Gleichung auftreten.
• Typische Verfahren: Simplex-Algorithmus, Innere-Punkte-Verfahren
• Anwendungen: Ressourcenallokation, Produktionsplanung, Verkehrsplanung

Nichtlineare Optimierungsmethoden

Definition:

Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen, bei denen die Zielfunktion oder die Nebenbedingungen nicht linear sind.

Details:

• Ziel: Minimierung oder Maximierung einer nichtlinearen Zielfunktion.
• Techniken: Gradientenverfahren, Newton-Verfahren, SQP (Sequential Quadratic Programming).
• Bedingungen: Erster- und zweite Ableitungen der Funktionen, Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Bedingungen.
• Anwendungen: Maschinenlernen, Ökonomische Modelle, Ingenieurswissenschaften.

Dynamische Programmierung

Definition:

Dynamische Programmierung ist eine Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen, indem komplexe Probleme in einfachere Teilprobleme zerlegt werden und diese rekursiv gelöst werden.

Details:

• Teilschritt: Zerlegen des Problems in kleinere, überlappende Teilprobleme
• Memoization: Speichern der Lösungen der Teilprobleme zum späteren Abrufen
• Optimalitätsprinzip: Eine optimale Lösung kann aus optimalen Lösungen der Teilprobleme zusammengefügt werden
• Bottom-Up-Ansatz: Iteratives Lösen von Teilproblemen, beginnend mit den kleinsten
• Häufig angewendet bei Problemen wie der kürzesten Pfade (z.B. Floyd-Warshall-Algorithmus), dem Rucksackproblem und der Berechnung der Fibonacci-Zahlen
• Mathematisch: Rekursive Definition der Lösung, oft in Form von Rekurrenzgleichungen
• Zeitkomplexität: Kann oft von exponentiell auf polynomiell verbessert werden

Stochastische Optimierungstechniken

Definition:

Verfahren zur Optimierung, die Zufallselemente nutzen, um globale oder lokale Optima in großen und komplexen Suchräumen zu finden.

Details:

• Kombiniert zufällige und deterministische Schritte
• Beispiele: Simulated Annealing, Evolutionäre Algorithmen, Monte-Carlo-Methoden
• Ausnutzung von Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
• Effektiv bei nicht-differenzierbaren, stark verrauschten Funktionen
• Anwendbar auf Probleme mit vielen lokalen Minima
• Algorithmus startet oft mit einer zufälligen Lösung und verbessert sie iterativ
• Parameterwahl entscheidend für Effizienz und Erfolg

Heuristiken in der Optimierung

Definition:

Heuristiken: Näherungsverfahren in der Optimierung zur schnellen Lösungsfindung komplexer Probleme, oft ohne Garantie auf Optimallösung.

Details:

• Vermeiden umfangreicher Berechnungen durch educated guesses.
• Beispiele: Greedy-Algorithmen, Simulated Annealing, genetische Algorithmen.
• Einfach zu implementieren, höhere Geschwindigkeit.
• Anwendbar bei NP-schweren Problemen.
• Kombinierbar mit exakten Methoden (z.B. VNS, GRASP).
• Wichtig: Qualität und Laufzeit trade-off.

Methoden des Operations Research

Definition:

Anwendungsorientierte mathematische Methoden zur optimalen Planung und Entscheidung in komplexen Systemen.

Details:

• Lineare und nichtlineare Optimierung
• Dynamische Programmierung
• Warteschlangentheorie
• Spieltheorie
• Netzplantechnik
• Sensitivitätsanalyse
• Ziel: Maximierung/Minimierung von Zielfunktionen
• Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren, Simplex-Algorithmus, Branch-and-Bound Methoden
• Mathematische Modelle: Graphen, Matrizen, Diophantische Gleichungen

Grundlagen der Teamarbeit und Projektmanagement

Definition:

Wichtige Grundlagen zur effizienten Zusammenarbeit im Team und zur erfolgreichen Durchführung von Projekten.

Details:

• Klare Kommunikationswege und regelmäßiger Austausch essentiell.
• Verantwortlichkeiten und Rollen im Team klar definieren.
• Meilensteine und Deadlines zur Projektstrukturierung nutzen.
• Risiko- und Ressourcenmanagement integraler Bestandteil des Projektmanagements.
• Verwendung von Tools (z.B. Kanban, Scrum) zur effizienteren Projektplanung und -ausführung.
• Flexibilität und Anpassungsfähigkeit bei Veränderungen im Projektablauf.

Praxisorientierte Fallstudienanalyse

Definition:

Analyse von realen Anwendungsfällen zum Verständnis und zur Optimierung von Projekten.

Details:

• Identifikation von Problembereichen in Projekten.
• Entwicklung und Anwendung mathematischer Modelle.
• Einbindung theoretischer Konzepte in praxisnahe Szenarien.
• Zielsetzung: Effizienzsteigerung und Problemlösung.
• Nutzung von Werkzeugen und Methoden der Mathematik und Optimierung.
• Ergebnispräsentation und -dokumentation.