Modul QM2: Quantenmechanik 2 - Cheatsheet

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass es unmöglich ist, Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.

Details:

• Mathematisch formuliert: \[\triangle x \triangle p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• \(\triangle x\): Standardabweichung der Ortsmessung
• \(\triangle p\): Standardabweichung der Impulsmessung
• \(\hbar\): Reduzierte Planck-Konstante
• Gilt auch für Energie und Zeit: \[ \triangle E \triangle t \geq \frac{\hbar}{2} \]

Prinzip der Superposition

Definition:

Prinzip der Überlagerung von Quantenzuständen; erlaubt die Darstellung eines Zustands als Linearkombination verschiedener Basiszustände.

Details:

• Grundlage der Quantenmechanik
• Mathematisch: Wenn \( |\theta_1\rangle \) und \( |\theta_2\rangle \) zwei mögliche Zustände eines Systems sind, dann ist auch \( a|\theta_1\rangle + b|\theta_2\rangle \) ein möglicher Zustand, wobei \( a \) und \( b \) komplexe Zahlen sind.
• Normierung: \( |a|^2 + |b|^2 = 1 \)
• Beispiel: Elektronenspin kann in einem Überlagerungszustand \( \frac{1}{\sqrt{2}}(|\theta_1\rangle + |\theta_2\rangle) \)

Interferenzmuster und Doppelspaltexperiment

Definition:

Interferenzphänomen von Wellen hinter einem Doppelspalt

Details:

• Doppelspaltexperiment: Elektronen oder Photonen durch zwei Spalte
• Konstruktion durch Überlagerung der Wellenfunktionen
• Ort und Intensität durch Verteilung \[ I(y) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) \]
• Interpretation: Teilchen verhalten sich wie Wellen
• Beobachtung: Interferenzmuster auf dem Schirm

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Definition:

Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Systems beschrieben durch eine partielle Differentialgleichung ersten Grades in der Zeit.

Details:

• Gleichung: \( i\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = \boldsymbol{\text{H}} |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \)
• \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \): Zustandsvektor des Systems
• \( \boldsymbol{\text{H}} \): Hamilton-Operator
• Erhaltung der Norm des Zustandsvektors \( \rightarrow \text{Unitäre Zeitentwicklung}\)
• Trennung in zeitunabhängigen und zeitabhängigen Teil möglich: \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t/\boldsymbol{\text{ħ}}}|\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle \)

Eigenwerte und Eigenfunktionen

Definition:

Eigenwerte und Eigenfunktionen sind zentrale Konzepte in der Quantenmechanik, die Zustände eines quantenmechanischen Systems und ihre Messgrößen beschreiben.

Details:

• Eigenwertgleichung: \ \[\hat{H}\psi = E\psi\]
• \(\hat{H}\): Hamiltonoperator
• \(\psi\): Eigenfunktion
• \(E\): Eigenwert
• Eigenwerte sind mögliche Messwerte
• Eigenfunktionen beschreiben die Zustände des Systems
• Orthogonalität: Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
• Normierung: Eigenfunktionen können normiert werden, \(\int |\psi|^2 \, \text{d}x = 1\)

EPR-Paradoxon

Definition:

Paradoxon in der Quantenmechanik, das die Unvollständigkeit der Quantenmechanik basierend auf Verschränkung und Nicht-Lokalität infrage stellt.

Details:

• Einführung durch Einstein, Podolsky und Rosen (1935).
• Kritik an der Quantenmechanik: Suggestion einer verborgenen Variablen-Theorie.
• Basis: Messung eines Teilchenpaares, die sofortigen Einfluss auf das andere Teilchen hat, unabhängig von der Distanz.
• Spätere Widerlegung durch Experimente (z.B. Bellsche Ungleichungen, Aspect-Experiment).

Operatoren und Matrizenmechanik

Definition:

Operatoren und Matrizenmechanik sind fundamentale Werkzeuge in der Quantenmechanik, um physikalische Observablen und Zustände darzustellen und zu berechnen.

Details:

• Operatoren (z.B. \(\hat{A}, \hat{H}\)) wirken auf Zustandsvektoren im Hilbertraum.
• Eigenwertgleichung: \[\hat{A} \psi = a \psi\]
• Bra-Ket-Notation: \[\langle \phi | \hat{A} | \psi \rangle\]
• Matrixdarstellung: Operatoren als Matrizen, Zustände als Spaltenvektoren.
• Heisenbergsche Matrizenmechanik: Dynamik durch Matrizen und deren zeitliche Entwicklung (Heisenbergsche Bewegungsgleichungen).
• Kommutatoren: \[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \]

Fourier-Transformation und Spektralanalyse

Definition:

Mathematische Methode, um eine Funktion im Zeit- oder Ortsraum in ihre Frequenzkomponenten zu zerlegen.

Details:

• Fourier-Reihe: Darstellung periodischer Funktionen durch trigonometrische Funktionen.
• Fourier-Transformation:
• Inverse Fourier-Transformation:
• Spektralanalyse: Analyse des Leistungsspektrums einer Funktion.
• Wichtige Eigenschaften: Linearität, Zeitschiebung, Skalierung.