Modul QM2: Quantenmechanik 2 - Exam

Aufgabe 1)

Heisenbergsche Unschärferelation:Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass es unmöglich ist, Ort und Impuls eines Teilchens gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit zu bestimmen.

• Mathematisch formuliert: \[\triangle x \triangle p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• \(\triangle x\): Standardabweichung der Ortsmessung
• \(\triangle p\): Standardabweichung der Impulsmessung
• \(\hbar\): Reduzierte Planck-Konstante
• Gilt auch für Energie und Zeit: \[ \triangle E \triangle t \geq \frac{\hbar}{2} \]

a)

Ein Elektron in einem Potentialtopf hat eine Position mit einer Standardabweichung von \(\triangle x = 0,1 \text{ nm}\). Berechne die minimale Unschärfe im Impuls des Elektrons.

Lösung:

Um die minimale Unschärfe im Impuls \(\triangle p\) eines Elektrons in einem Potentialtopf zu berechnen, verwenden wir die Heisenbergsche Unschärferelation:

• Mathematisch formuliert: \( \triangle x \triangle p \geq \frac{\hbar}{2} \)

Gegeben:

• \( \triangle x = 0,1 \text{ nm} \)
• \(\hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} \text{ Js} \)

Lösen wir die Unschärferelation nach \( \triangle p \) auf:

• \( \triangle p \geq \frac{\hbar}{2 \triangle x} \)

Setze die Werte ein:

• \( \triangle p \geq \frac{1,0545718 \times 10^{-34} \text{ Js}}{2 \times 0,1 \times 10^{-9} \text{ m}} \)

Berechne den Nenner:

• \( 2 \times 0,1 \times 10^{-9} \text{ m} = 2 \times 10^{-10} \text{ m} \)

Setze diesen Wert in die Gleichung ein:

• \( \triangle p \geq \frac{1,0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-10}} \text{ kg m/s}\)

Führe die Division durch:

• \(\triangle p \geq 5,272859 \times 10^{-25} \text{ kg m/s}\)

Die minimale Unschärfe im Impuls des Elektrons beträgt also \(\triangle p \geq 5,272859 \times10^{-25} \text{ kg m/s} \).

b)

Betrachte einen harmonischen Oszillator mit einem Ruhepunkt bei \(x = 0\) und nutze die Heisenbergsche Unschärferelation, um die minimale Energie des Grundzustands zu bestimmen.

Lösung:

Um die minimale Energie des Grundzustands eines harmonischen Oszillators mit einem Ruhepunkt bei \( x = 0 \) zu bestimmen, nutzen wir die Heisenbergsche Unschärferelation sowie die Beziehung zwischen der Energie und den Unschärfen in Ort und Impuls.

Erinnern wir uns zunächst an die Heisenbergsche Unschärferelation:

• Mathematisch formuliert: \( \triangle x \triangle p \geq \frac{\hbar}{2} \)

Für einen harmonischen Oszillator ist die Gesamtenergie gegeben durch:

• \( E = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \)

Wir setzen \( \triangle p \) und \( \triangle x \) in die Energieformel ein:

• \( E \rightarrow \frac{{(\triangle p)^2}}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 (\triangle x)^2 \)

Verwenden der Heisenbergschen Unschärferelation \(\triangle p \geq \frac{\hbar}{2\triangle x} \) für \(\triangle p \):

• \( E \rightarrow \frac{1}{2m} \left(\frac{\hbar}{2\triangle x}\right)^2 + \frac{1}{2} m \omega^2 (\triangle x)^2 \)

Dies führt zu:

• \( E \rightarrow \frac{\hbar^2}{8m(\triangle x)^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 (\triangle x)^2 \)

Um die minimale Energie zu finden, müssen wir \(E\) bezüglich \(\triangle x\) minimieren.

Dazu berechnen wir die Ableitung von \(E\) nach \(\triangle x\) und setzen diese gleich Null:

• \( \frac{dE}{d(\triangle x)} = -\frac{\hbar^2}{4m(\triangle x)^3} + m \omega^2 (\triangle x) = 0 \)

Nehmen wir den Wert von \(\triangle x\), der diese Bedingung erfüllt:

• \( -\frac{\hbar^2}{4m(\triangle x)^3} + m \omega^2 (\triangle x) = 0 \)
• \( \frac{\hbar^2}{4m(\triangle x)^3} = m \omega^2 (\triangle x)\)
• \( \frac{\hbar^2}{4m} = m \omega^2 (\triangle x)^4 \)
• \( (\triangle x)^4 = \frac{\hbar^2}{4m^2 \omega^2} \)
• \( (\triangle x)^2 = \frac{\hbar}{2m \omega} \)

Setze den Wert von \( (\triangle x)^2 \) in die Energiegleichung ein:

• \( E = \frac{\hbar^2}{8m(\triangle x)^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 (\triangle x)^2 \)
• \( E = \frac{\hbar^2}{8m \frac{\hbar}{2m \omega}} + \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{\hbar}{2m \omega} \)
• \( E = \frac{\hbar \omega}{4} + \frac{\hbar \omega}{4} \)
• \( E = \frac{\hbar \omega}{2} \)

Somit beträgt die minimale Energie des Grundzustands des harmonischen Oszillators:

• \( E = \frac{\hbar \omega}{2} \).

c)

Für einen Kernzerfall beträgt die mittlere Lebensdauer eines Teilchens \(\triangle t = 10^{-12} \text{ s}\). Berechne die minimale Energieunschärfe \(\triangle E\) für diesen Prozess.

Lösung:

Um die minimale Energieunschärfe \( \triangle E \) für einen Kernzerfall mit einer mittleren Lebensdauer eines Teilchens von \( \triangle t = 10^{-12} \text{ s} \) zu berechnen, verwenden wir die Heisenbergsche Unschärferelation für Energie und Zeit:

• Mathematisch formuliert: \( \triangle E \triangle t \geq \frac{\hbar}{2} \)

Gegeben:

• \( \triangle t = 10^{-12} \text{ s} \)
• \(\hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} \text{ Js} \)

Lösen wir die Unschärferelation nach \( \triangle E \) auf:

• \( \triangle E \geq \frac{\hbar}{2 \triangle t} \)

Setze die Werte ein:

• \( \triangle E \geq \frac{1,0545718 \times 10^{-34} \text{ Js}}{2 \times 10^{-12} \text{ s}} \)

Berechne den Nenner:

• \( 2 \times 10^{-12} \text{ s} = 2 \times 10^{-12} \text{ s} \)

Setze diesen Wert in die Gleichung ein:

• \( \triangle E \geq \frac{1,0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-12}} \text{ J}\)

Führe die Division durch:

• \(\triangle E \geq 5,272859 \times 10^{-23} \text{ J}\)

Die minimale Energieunschärfe für diesen Kernzerfall beträgt also \(\triangle E \geq 5,272859 \times10^{-23} \text{ J} \).

Aufgabe 3)

Betrachte das klassische Doppelspaltexperiment, bei dem Elektronen durch zwei enge Spalte geschickt werden. Die beiden Spalte sind im Abstand d voneinander entfernt und die Wellenlänge der Elektronen beträgt \lambda. Auf einem entfernten Schirm bildet sich ein Interferenzmuster, das durch die Intensitätsverteilung \[ I(y) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) \] beschrieben wird.Nutze diese Informationen, um die folgenden Teilaufgaben zu beantworten, und berücksichtige dabei sowohl theoretische als auch mathematische Aspekte des Experiments.

a)

Berechne die Positionen der Maxima des Interferenzmusters auf dem Schirm. Gegeben ist, dass \theta der Winkel ist, unter dem das Maximum beobachtet wird. Nutze die Beziehung \[ \sin \theta = \frac{m\lambda}{d} \], wobei m eine ganze Zahl ist (m = 0, ±1, ±2, ...). Ermittle ausdrücklich die Werte für die ersten drei Maxima (m = 0, 1, 2).

Lösung:

Berechnung der Positionen der Maxima des Interferenzmusters

Im klassischen Doppelspaltexperiment führt die Welleneigenschaft der Elektronen zu einem Interferenzmuster auf dem Schirm hinter den Spalten. Dieses Muster wird durch die Intensitätsverteilung beschrieben:

• \[ I(y) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) \]

Um die Positionen der Maxima dieses Musters zu bestimmen, verwenden wir die folgende Beziehung:

• \[ \sin \theta = \frac{m\lambda}{d} \]

wobei \( m \) eine ganze Zahl ist (\( m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)).

Ermittlung der ersten drei Maxima

1. Erstes Maximum (\( m = 0 \)):

• \[ \sin \theta_0 = \frac{0 \times \lambda}{d} = 0 \]
• Damit ist der Winkel für das erste Maximum \( \theta_0 = 0 \) (direkt gegenüber den Spalten).

Zweites Maximum (\( m = 1 \)):

• \[ \sin \theta_1 = \frac{1 \times \lambda}{d} = \frac{\lambda}{d} \]
• Der Winkel für das zweite Maximum \( \theta_1 \) kann dann als \( \theta_1 = \arcsin \left( \frac{\lambda}{d} \right) \) berechnet werden.

Drittes Maximum (\( m = 2 \)):

• \[ \sin \theta_2 = \frac{2 \times \lambda}{d} = \frac{2\lambda}{d} \]
• Der Winkel für das dritte Maximum \( \theta_2 \) kann dann als \( \theta_2 = \arcsin \left( \frac{2\lambda}{d} \right) \) berechnet werden.

Schlussfolgerung

• Die Positionen der ersten drei Maxima des Interferenzmusters auf dem Schirm können wie folgt bestimmt werden:
• \[ \theta_0 = \arcsin(0) = 0 \]
• \[ \theta_1 = \arcsin \left( \frac{\lambda}{d} \right) \]
• \[ \theta_2 = \arcsin \left( \frac{2\lambda}{d} \right) \]

Diese Maxima entsprechen den Winkeln, unter denen die Intensität der Interferenzmuster am größten ist.

b)

Bestimme die Abstände der Minima zwischen den Maxima, und erkläre, wie diese Abstände experimentell gemessen werden können. Nutze dazu die Intensitätsverteilung \[ I(y) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) \], und finde die Positionen y der Minima, indem Du den Kosinus-Term gleich Null setzt.

Lösung:

Bestimmung der Abstände der Minima zwischen den Maxima

Im klassischen Doppelspaltexperiment wird die Intensitätsverteilung des Interferenzmusters durch die folgende Gleichung beschrieben:

• \[ I(y) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) \]

Um die Positionen der Minima zu bestimmen, setzen wir den Kosinus-Term gleich Null:

• \[ \cos \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) = 0 \]

Die Nullstellen des Kosinus treten bei

• \[ \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} = \left( n + \frac{1}{2} \right) \pi \]

auf, wobei \( n \) eine ganze Zahl ist (\( n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)).

Dies führt zur Bedingung:

• \[ \sin \theta = \frac{\left( n + \frac{1}{2} \right) \lambda}{d} \]

Für kleine Winkel \( \theta \) kann \( \sin \theta \) durch \( \theta \) angenähert werden, also:

• \[ \theta = \frac{\left( n + \frac{1}{2} \right) \lambda}{d} \]

Positionen der Minima auf dem Schirm

Die vertikale Position \( y \) auf dem Schirm in einer Entfernung \( L \) von den Spalten ist bezogen auf den Winkel \( \theta \):

• \[ y = L \tan \theta \]

Für kleine Winkel \( \tan \theta \approx \theta \), ergibt sich:

• \[ y = L \theta \]
• \[ y = L \frac{\left( n + \frac{1}{2} \right) \lambda}{d} \]

Die Position der Minima \( y_n \) ist also:

• \[ y_n = \frac{L \left( n + \frac{1}{2} \right) \lambda}{d} \]

Abstände der Minima zwischen den Maxima

Die Abstände zwischen den Minima werden durch den Unterschied der Positionen \( |y_{n+1} - y_n| \) berechnet:

• \[ |y_{n+1} - y_n| = \frac{L \lambda}{d} \]

Dies ist der konstante Abstand zwischen benachbarten Minima auf dem Schirm.

Experimentelle Messung der Abstände

Um die Abstände experimentell zu messen, kann man folgende Schritte durchführen:

• Markiere die Positionen der Maxima auf dem Schirm.
• Messe die Entfernung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Minima (bzw. Maxima) mit einem Lineal oder ähnlichen Messwerkzeug.
• Die gemessene Entfernung entspricht \( \frac{L \lambda}{d} \).
• Durch Messung mehrerer solcher Abstände und deren Mittelwertbildung erreicht man eine höhere Genauigkeit.

c)

Erkläre, wie das beobachtete Interferenzbild auf die Welleneigenschaften der Elektronen hinweist. Beziehe Dich dabei auf die Konzepte der Überlagerung und Wellenfunktion. Diskutiere auch, was passieren würde, wenn nur ein Spalt geöffnet wäre.

Lösung:

Erklärung der Welleneigenschaften der Elektronen anhand des Interferenzbildes

Das klassische Doppelspaltexperiment ist eines der berühmtesten Experimente in der Quantenmechanik, da es die Welleneigenschaften von Teilchen wie Elektronen demonstriert. Schauen wir uns an, wie das beobachtete Interferenzbild auf diese Welleneigenschaften hinweist.

Überlagerung und Wellenfunktion

Die Elektronen, die durch die beiden engen Spalte geschickt werden, verhalten sich nach den Prinzipien der Quantenmechanik sowohl wie Teilchen als auch wie Wellen. Dies wird durch die Wellenfunktion \( \psi \) beschrieben. Wenn die Elektronen durch die beiden Spalte hindurchgehen, überlagern sich ihre Wellenfunktionen, was zu Interferenz führt.

Die Überlagerung der Wellenfunktionen aus den beiden Spalten kann mathematisch durch die Superposition beschrieben werden:

• \[ \psi_{gesamt} = \psi_1 + \psi_2 \]

Hierbei sind \( \psi_1 \) und \( \psi_2 \) die Wellenfunktionen der Elektronen, die durch den ersten bzw. zweiten Spalt gehen.

Die Intensitätsverteilung auf dem Schirm (d.h. die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron an einer bestimmten Stelle zu detektieren) ist proportional zum Quadrat der überlagerten Wellenfunktion:

• \[ I(y) = | \psi_{gesamt} |^2 = | \psi_1 + \psi_2 |^2 \]

Dies führt zur beobachteten Intensitätsverteilung

• \[ I(y) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) \]

Das Interferenzmuster, das sich auf dem Schirm bildet, ist also ein direktes Ergebnis der Überlagerung der Wellenfunktionen der Elektronen.

Was passiert, wenn nur ein Spalt geöffnet ist?

Wenn nur ein Spalt geöffnet ist, gibt es keine Interferenz, da es keine zweite Wellenfunktion gibt, die sich überlagern kann. In diesem Fall beschreibt die Wellenfunktion der Elektronen, die durch den offenen Spalt gehen, die Intensitätsverteilung auf dem Schirm so:

• \[ \psi_{einzeln} = \psi_1 \ I(y)_{einzeln} = | \psi_1 |^2 \]

Dies führt zu einem charakteristischen Beugungsmuster, das durch eine einzelne Wellenquelle entsteht, aber ohne das Interferenzmuster, das durch die Überlagerung zweier Wellenfunktionen entsteht.

Schlussfolgerung

Das beobachtete Interferenzmuster im Doppelspaltexperiment zeigt deutlich die Welleneigenschaften der Elektronen. Durch die Überlagerung der Wellenfunktionen der Elektronen, die durch die beiden Spalte gehen, entsteht ein Interferenzbild auf dem Schirm, das nur durch Wellen erklärt werden kann. Wenn nur ein Spalt geöffnet ist, fehlt diese Überlagerung, und es entsteht ein einfaches Beugungsmuster, das ebenfalls die Welleneigenschaften der Elektronen demonstriert, jedoch ohne die komplexe Interferenz der Doppelspaltanordnung.

d)

Diskutiere die Auswirkungen einer möglichen Messung an den Spalten, um den genauen Spalt zu bestimmen, durch den das Elektron passiert. Welche Änderungen würdest Du im Interferenzmuster erwarten? Begründe dies aus Sicht der Quantenmechanik.

Lösung:

Diskussion der Auswirkungen einer Messung an den Spalten

Im klassischen Doppelspaltexperiment zeigt das Interferenzmuster die Welleneigenschaften von Elektronen. Eine mögliche Messung, um den genauen Spalt zu bestimmen, durch den ein Elektron passiert, hat signifikante Auswirkungen auf das beobachtete Interferenzmuster. Dieses Phänomen wird im Rahmen der Quantenmechanik erläutert.

Quantenmechanische Grundlagen

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Teilchens, wie eines Elektrons, durch eine Wellenfunktion \(\psi\) beschrieben, die Informationsmengen über alle möglichen Zustände des Systems umfasst. Das Interferenzmuster entsteht durch die Überlagerung der Wellenfunktionen der Elektronen, die durch beide Spalte gehen (Superposition).

• Ohne Messung: \[ \psi_{gesamt} = \psi_1 + \psi_2 \]

Wo \(\psi_1\) und \(\psi_2\) die Wellenfunktionen der Elektronen sind, die durch den ersten bzw. den zweiten Spalt gehen. Die Intensitätsverteilung ergibt sich aus:

• \[ I(y) = | \psi_1 + \psi_2 |^2 \]

Auswirkungen der Messung an den Spalten

Wenn wir eine Messung durchführen, um den genauen Spalt zu bestimmen, durch den das Elektron passiert, kollabiert die Wellenfunktion in einen der beiden möglichen Zustände. Das bedeutet, die Superposition der beiden Wellenfunktionen wird zerstört und damit auch das Interferenzmuster.

• Mit Messung: Wenn wir feststellen, dass das Elektron durch den ersten Spalt geht, ergibt sich die Wellenfunktion zu \( \psi_1 \), oder wenn es durch den zweiten Spalt geht, zu \( \psi_2 \).

In beiden Fällen ergibt sich die Intensitätsverteilung als:

• \[ I(y)_{einzeln} = | \psi_1 |^2 \ \] oder \( I(y)_{einzeln} = | \psi_2 |^2 \).

Was wir erwarten im Interferenzmuster

Wenn die Messung durchgeführt wird, um den genauen Spalt zu bestimmen, durch den das Elektron gegangen ist, würde das Interferenzmuster verschwinden und durch zwei einzelne Beugungsmuster ersetzt werden, typisch für die Beugung durch eine schmale Öffnung:

• Kein Interferenzmuster: Die Wellenfunktion \(\psi_{gesamt}\), die für die Überlagerung erforderlich ist, wird zerstört.
• Beugungsmuster: Individuelle Beugungsmuster aus jedem der Spalte entstehen.

Daher würde das Interferenzmuster auf dem Schirm durch verschmierte Streifen ersetzt werden, die durch die Beugung der Elektronen entstehen, jeweils durch einen der beiden offenen Spalte.

Schlussfolgerung

Das Durchführen einer Messung, um den genauen Spalt zu bestimmen, durch den das Elektron passiert, führt zum Kollaps der Superposition der Wellenfunktionen und zerstört das Interferenzmuster. Dies zeigt die fundamentalen Prinzipien der Quantenmechanik – insbesondere das Konzept der Quanten-Superposition und der Messung – wo die bloße Beobachtung eines Quantensystems das Ergebnis des Experiments beeinflusst.

Aufgabe 4)

Betrachten Sie ein quantenmechanisches System, dessen Zeitentwicklung durch die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung beschrieben wird:

• Gleichung: \( i\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = \boldsymbol{\text{H}} |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \)
• \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \): Zustandsvektor des Systems
• \( \boldsymbol{\text{H}} \): Hamilton-Operator
• Erhaltung der Norm des Zustandsvektors: \rightarrow Unitäre Zeitentwicklung
• Trennung in zeitunabhängigen und zeitabhängigen Teil möglich: \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t/\boldsymbol{\text{ħ}}}|\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle \)

Bestimmen Sie die Zeitentwicklung des Zustandsvektors und beantworten Sie die folgenden Fragen.

a)

Zeigen Sie, dass die Norm des Zustandsvektors erhalten bleibt. Verwenden Sie dazu die oben gegebenen Informationen.

Lösung:

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Norm des Zustandsvektors erhalten bleibt. Verwenden Sie dazu die oben gegebenen Informationen.Lösung:Um zu zeigen, dass die Norm des Zustandsvektors erhalten bleibt, verwenden wir die Form der Zeitentwicklung des Zustandsvektors:

• \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle \)

Nun berechnen wir die Norm des Zustandsvektors und überprüfen diese:

• \[ \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(t) | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle \]

Setzen wir die gegebene Zeitentwicklung des Zustandsvektors ein:

• \[ \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(t) | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(0) | e^{i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} | \boldsymbol{\text{ψ}}(0) \rangle \]

Da \(e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}}\) unitär ist, gilt:

• \[ \left(e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}}\right)^{\dagger} = e^{i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} \]

Also haben wir:

• \[ \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(0) | e^{i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} | \boldsymbol{\text{ψ}}(0) \rangle = \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(0) | \boldsymbol{\text{ψ}}(0) \rangle \]

Da Unitäre Operatoren die Eigenschaft haben, die Norm zu erhalten, ist:

• \[ e^{i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} = \mathbb{1} \]
• Dies führt dazu, dass:\[ \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(0) | \boldsymbol{\text{ψ}}(0) \rangle = \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(0) | \boldsymbol{\text{ψ}}(0) \rangle \]

Also bleibt die Norm von \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \) während der gesamten Zeitentwicklung erhalten. Damit ist gezeigt, dass die Norm des Zustandsvektors erhalten bleibt und das System eine unitäre Entwicklung aufweist.

b)

Betrachten Sie ein einfaches System mit einem Hamilton-Operator \( \boldsymbol{\text{H}} = \hbar \omega \hat{n}\), wobei die Eigenwerte von \( \hat{n} \) nicht-negativ ganzzahlig sind. Bestimmen Sie den Zustandsvektor \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \) falls \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle =| n \rangle \) (Eigenzustand von \( \hat{n} \)).

Lösung:

Aufgabe: Betrachten Sie ein einfaches System mit einem Hamilton-Operator \( \boldsymbol{\text{H}} = \hbar \omega \hat{n}\), wobei die Eigenwerte von \( \hat{n} \) nicht-negativ ganzzahlig sind. Bestimmen Sie den Zustandsvektor \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \), falls \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle =| n \rangle \) (Eigenzustand von \( \hat{n} \)).Lösung:Da der Hamilton-Operator \( \boldsymbol{\text{H}} \) durch \( \boldsymbol{\text{H}} = \hbar \omega \hat{n} \) gegeben ist und \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle = | n \rangle \) ein Eigenzustand von \( \hat{n} \) ist, können wir einige Eigenschaften von Eigenzuständen nutzen, um die Zeitentwicklung zu bestimmen.

• Der Hamilton-Operator \( \boldsymbol{\text{H}} \) wirkt auf den Eigenzustand \( | n \rangle \) in der Weise, dass:\[ \boldsymbol{\text{H}} | n \rangle = \hbar \omega \hat{n} | n \rangle = \hbar \omega n | n \rangle \]
• Durch die gegebene Zeitentwicklung des Zustandsvektors können wir schreiben:\[ | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \hbar} | \boldsymbol{\text{ψ}}(0) \rangle \]
• Setzen wir \( | \boldsymbol{\text{ψ}}(0) \rangle =| n \rangle \) ein:\[ | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \hbar} | n \rangle = e^{-i (\hbar \omega \hat{n}) t / \hbar} | n \rangle = e^{-i \omega t \hat{n}} | n \rangle \]
• Da \( \hat{n} | n \rangle = n | n \rangle \) gilt, vereinfacht sich dies zu:\[ | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = e^{-i \omega t n} | n \rangle \]

Hierbei ist \( e^{-i \omega t n} \) nur ein Phasenfaktor. Der Zustandsvektor \( | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle \) bleibt im ursprünglichen Eigenzustand \( | n \rangle \), verändert sich jedoch durch die Phase:Endergebnis:\[ | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = e^{-i \omega t n} | n \rangle \]Das bedeutet, dass der Zustandsvektor \( | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle \) im Laufe der Zeit eine Phase \( e^{-i \omega t n} \) aufnimmt, aber in seinem Eigenzustand \( | n \rangle \) bleibt.

c)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchens im Zustand \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \) im vorherigen Teil, falls \( t = \frac{\pi}{2 \omega} \) ist.

Lösung:

Aufgabe: Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchens im Zustand \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \) im vorherigen Teil, falls \( t = \frac{\pi}{2 \omega} \) ist.Lösung:Im vorherigen Teil haben wir bestimmt, dass für einen Eigenzustand \( | n \rangle \) des Operators \( \hat{n} \), der zeitabhängige Zustandsvektor durch

• \( | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = e^{-i \omega t n} | n \rangle \)

gegeben ist.Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln, setzen wir \( t = \frac{\pi}{2 \omega} \) in den Zeitentwicklungsoperator ein und berechnen dann den Zustandsvektor:

• \( | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = e^{-i \omega t n} | n \rangle = e^{-i \omega (\frac{\pi}{2 \omega}) n} | n \rangle = e^{-i \frac{\pi}{2} n} | n \rangle \)

Hierbei ist \( e^{-i \frac{\pi}{2} n} \) ein Phasenfaktor. Da Phasenfaktoren die absolute Größe des Zustandsvektors nicht ändern, beeinflussen sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung.Die Wahrscheinlichkeitsverteilung \( P(n, t) \) ergibt sich aus dem Quadrat des Betrags der Amplitude \( \langle n | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle \):

• \[ P(n, t) = | \langle n | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle |^2 \]

Wir setzen den zuvor berechneten Zustandsvektor ein:

• \[ \langle n | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle = \langle n | e^{-i \frac{\pi}{2} n} | n \rangle = e^{-i \frac{\pi}{2} n} \langle n | n \rangle \]

Da \( | n \rangle \) normalisiert ist, gilt \( \langle n | n \rangle = 1 \). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist daher:

• \[ P(n, t) = | e^{-i \frac{\pi}{2} n} |^2 = 1 \]

Endergebnis:Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchens im Zustand \( | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle \) ist unabhängig von der Zeit \( t \) und bleibt konstant bei 1 für den Eigenzustand \( | n \rangle \). Dies bedeutet, dass sich das Teilchen immer noch im Eigenzustand \( | n \rangle \) befindet, und der Phasenfaktor beeinflusst lediglich die Phase des Zustands, nicht aber die Wahrscheinlichkeit, den Zustand \( | n \rangle \) zu detektieren.

d)

Das System befindet sich am Anfangszeitpunkt \( t = 0 \) im Zustand \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle + |1 \rangle) \). Skizzieren Sie das zeitliche Verhalten des Erwartungswerts des Operators \( \hat{n} \).

Lösung:

Aufgabe: Das System befindet sich am Anfangszeitpunkt \( t = 0 \) im Zustand \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle + |1 \rangle) \). Skizzieren Sie das zeitliche Verhalten des Erwartungswerts des Operators \( \hat{n} \).Lösung:Um das zeitliche Verhalten des Erwartungswerts des Operators \( \hat{n} \) zu bestimmen, müssen wir zunächst die Zeitentwicklung des Zustandsvektors berechnen.1. Zeitentwicklung des Zustandsvektors:Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle \) ist gegeben durch:

• \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = e^{-i\boldsymbol{\text{H}}t / \boldsymbol{\text{ħ}}} |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle \)

Für den Hamilton-Operator \( \boldsymbol{\text{H}} = \hbar \omega \hat{n} \) und den Anfangszustand \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle + |1 \rangle) \) ergibt sich:

• \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = e^{-i \omega t \hat{n}} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle + |1 \rangle) \)

Da \( |0\rangle \) und \( |1\rangle \) Eigenzustände von \( \hat{n} \) mit Eigenwerten 0 bzw. 1 sind, ergibt sich:

• \( |\boldsymbol{\text{ψ}}(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^{-i \omega t \cdot 0} |0 \rangle + e^{-i \omega t \cdot 1} |1 \rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0 \rangle + e^{-i \omega t} |1 \rangle) \)

2. Erwartungswert des Operators \( \hat{n} \):Der Erwartungswert des Operators \( \hat{n} \) ist gegeben durch:

• \[ \langle \hat{n} \rangle = \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(t) | \hat{n} | \boldsymbol{\text{ψ}}(t) \rangle \]

Einsetzen des Zustandsvektors:\

• \[ \langle \boldsymbol{\text{ψ}}(t) | = \frac{1}{\sqrt{2}} (\langle 0 | + e^{i \omega t} \langle 1 |) \]

führt zu:

• \[ \langle \hat{n} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\langle 0 | + e^{i \omega t} \langle 1 |) \hat{n} \frac{1}{\sqrt{2}} ( |0 \rangle + e^{-i \omega t} |1 \rangle) \]

Da \( \hat{n} |0\rangle = 0 \) und \( \hat{n} |1\rangle = |1\rangle \), vereinfacht sich dies zu:

• \[ \langle \hat{n} \rangle = \frac{1}{2} (\langle 0 | \hat{n} |0 \rangle + \langle 0 | \hat{n} e^{-i \omega t} |1 \rangle + e^{i \omega t} \langle 1 | \hat{n} |0 \rangle + e^{i \omega t} \langle 1 | \hat{n} e^{-i \omega t} |1 \rangle) \]

Da \( \langle 0 | \hat{n} |0 \rangle = 0 \), \( \langle 0 | \hat{n} |1 \rangle = 0 \), \( \langle 1 | \hat{n} |0 \rangle = 0 \), und \( \langle 1 | \hat{n} |1 \rangle = 1 \), ergibt sich:

• \[ \langle \hat{n} \rangle = \frac{1}{2} (0 + 0 + 0 + e^{i \omega t} e^{-i \omega t} \cdot \langle 1 | \hat{n} |1 \rangle) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \]

Endergebnis:Der Erwartungswert des Operators \( \hat{n} \) bleibt konstant und ist gleich \( \frac{1}{2} \).