Modul RobOptv: Robuste Optimierung 2 - Cheatsheet

Definition und Bedeutung der robusten Optimierung

Definition:

Robuste Optimierung: Optimierungsansatz zur Bewältigung von Unsicherheiten in Eingabedaten, um gegen verschiedene Szenarien Lösungen zu finden, die in allen Situationen akzeptabel bleiben.

Details:

• Bewältigung von Unsicherheiten (Daten, Modellparameter)
• Formulierung als Minimax- oder Szenario-basiertes Optimierungsproblem
• Zielfunktion: \min_{x \in X} \max_{u \in U} f(x,u)
• Handel zwischen Optimallösung und Robustheit erforderlich
• Einsatz in Finanzwesen, Logistik, Ingenieurwesen

Vergleich zwischen klassischer und robuster Optimierung

Definition:

Vergleich zwischen klassischer (deterministischer) Optimierung und robuster Optimierung.

Details:

• Zielfunktion klassische Optimierung: Optimierung unter festen Parametern.
• Zielfunktion robuste Optimierung: Optimierung unter Unsicherheiten der Parameter.
• Klassische Optimierung: Annahme präziser Daten.
• Robuste Optimierung: Modelle berücksichtigen Bandbreiten und Unsicherheitsmengen.
• Formulierung der robusten Probleme oft komplexer.
• Klassische Zielfunktion: \( \text{minimize } f(x) \)
• Robuste Zielfunktion: \( \text{minimize } \text{sup}_{u \in U} f(x,u) \)
• Ergebnisse der robusten Optimierung oft weniger sensitiv gegenüber Datenabweichungen.
• Kosten/Nutzen: Robuste Ansätze -> erhöht Zielwert, aber robuste Lösungen.

Techniken zur Handhabung von Unsicherheiten in linearen Modellen

Definition:

Strategien zur Modellierung und Kontrolle von Unsicherheit in linearen Optimierungsproblemen.

Details:

• Strafkostenansatz: Hinzufügen von Strafkosten für Abweichungen.
• Robustes Optimierungsproblem: Verwendung worst-case Szenarien.
• Stochastische Programmierung: Einbezug von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
• Szenariotechnik: Verschiedene mögliche Zukunftsszenarien berücksichtigen.
• Ellipsoide Unsicherheitsmengen: Annahme ellipsoidaler Unsicherheitsmengen für die Parameter.

Formulierung robuster Optimierungsprobleme

Definition:

Formulierung robuster Optimierungsprobleme fokussiert sich auf Optimierungsprobleme, die stabile Lösungen unter Unsicherheiten in den Eingabedaten liefern.

Details:

• Standardoptimierungsproblem: \( \text{minimize } f(x) \text{subject to } x \in X \)
• Robustes Optimierungsproblem: \( \text{minimize } f(x) \text{subject to } x \in X \forall u \in \mathcal{U} \)
• Unsicherheitsmenge \( \mathcal{U} \): beschreibt mögliche Variationen der unsicheren Parameter
• Typen von Unsicherheitsmengen: Polyedrisch, Ellipsoid, Intervallbasiert
• Ansätze: Worst-Case-Optimierung, Stochastische Programmierung

Analyse der Robustheit und Sensitivität von Modellen

Definition:

Analyse der Robustheit und Sensitivität von Modellen: Beurteilung, wie empfindlich Modelllösungen gegenüber Unsicherheiten in den Eingangsdaten sind und wie gut sie unter verschiedenen Störfaktoren funktionieren.

Details:

• Robustheit: Modelllösungen bleiben unter Störung nah am Optimum.
• Sensitivität: Wie stark beeinflussen Änderungen der Eingangsdaten Modelllösungen?
• Mathematisch: Nutze Abweichungsschranken und Worst-Case-Analyse.
• Formel: Sensitivitätsmaß = \[S_f(x) = \frac{\partial f(x)}{\partial x} \Delta x\]
• Robustheitsmaß:\[R(f) = \max_{d \in D} \left|f(x + d) - f(x)\right| \]

Implementierung und Algorithmen für robuste Modelle

Definition:

Implementierung und Anwendung von Algorithmen zur Erstellung robuster mathematischer Modelle in der Optimierung.

Details:

• Robuste Optimierung: Minimierung des Einflusses von Unsicherheiten auf Optimierungslösungen.
• Gesucht: Lösungen, die unter verschiedenen Szenarien gut performen.
• Algorithmen: Methoden wie Benders' Dekomposition, Column-and-Constraint-Generation (CCG), Dualitätstheorie.
• Implementierung: Software-Tools wie CPLEX, Gurobi, MATLAB für die Umsetzung der Algorithmen.
• Einsatzgebiete: Finanzwesen, Supply-Chain-Management, Maschinenbau.

Robuste Optimierung in der Lieferkettenplanung

Definition:

Ansatz zur Bewältigung von Unsicherheiten in der Lieferkettenplanung. Ziel ist die Minimierung des Risikos und der Kosten unter unsicheren Bedingungen.

Details:

• Ziel: Lösungen finden, die unter verschiedenen Szenarien gut funktionieren.
• Optimierungsproblem durch Unsicherheitsparameter erweitert.
• Ziel: Robusteste Lösung finden, die in allen Szenarien akzeptabel ist.
• Mathematik: Nutzung von Worst-Case-Szenarien und Anpassung traditioneller Modelle.
• Gebrauch von Schutzfunktionen und Kontrollwerten.

Aktuelle Forschungstrends und zukünftige Entwicklungen der robusten Optimierung

Definition:

Aktuelle Themen und Entwicklungen in der robusten Optimierung

Details:

• Adaptive und datengetriebene Ansätze
• Verknüpfung mit maschinellem Lernen
• Stochastische Optimierung
• Anwendungen in der Energieversorgung und Verkehrsplanung
• Erweiterung auf mehrstufige Probleme
• Effiziente Algorithmenentwicklung