Modul SemApprTh: Seminar Approximationstheorie - Cheatsheet

Lineare und nichtlineare Approximationsmethoden

Definition:

Methoden zur Annäherung einer Funktion durch einfachere Funktionen; linear bedeutet Nutzung linearer Kombinationen bekannter Funktionen, nichtlinear erlaubt komplexere Formen.

Details:

• Lineare Approximation: Kombination von Basisfunktionen und Gewichtungen.
• Nichtlineare Approximation: Nutzung von übergeordneten nichtlinearen Beziehungen.
• Lineare Methode: Einfache Implementierung, oft weniger genau.
• Nichtlineare Methode: Komplexere Berechnungen, oft exakter.
• Beispiel lineare Methode: Polynominterpolation.
• Beispiel nichtlineare Methode: RBF-Netzwerke.

Fehlerabschätzungen für Approximationsmethoden

Definition:

Fehlerabschätzung bewertet die Abweichung zwischen der approximierten Lösung und der exakten Lösung.

Details:

• Für eine Funktion \( f \) und deren Approximation \( P_n(f) \) gilt: \( E_n(f) = \|f - P_n(f)\| \)
• Fehler in Normen: \( \| \cdot \|_p \)-Norm, \( \| \cdot \|_{\text{sup}} \)
• Polynomialapproximation: \( E_n(f) \leq C \omega \left( f, \frac{1}{n} \right) \)
• Splines: Fehler hängt von Intervallaufteilung ab
• Lineare Interpolationsfehler: \( E_n(f) \leq M \cdot h^k \) für ein Polynom vom Grad \( k \)
• Chebyshev-Knoten minimieren den Interpolationsfehler bei Polynominterpolation

Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren

Definition:

Gram-Schmidt-Verfahren: Verfahren zur Orthogonalisierung eines Vektorsystems im \( \mathbb{R}^n \) oder \( \mathbb{C}^n \).

Details:

• Eingabe: Lineare unabhängige Vektoren \( v_1, v_2, ..., v_n \)
• Ausgabe: Orthogonales (nicht normalisiertes) Vektorsystem \( u_1, u_2, ..., u_n \)
• Schritte:
  1. Setze \( u_1 = v_1 \)
  2. Für \( k = 2, 3, ..., n \): \[ u_k = v_k - \frac{ \langle v_k, u_1 \rangle}{ \langle u_1, u_1 \rangle}u_1 - \frac{ \langle v_k, u_2 \rangle}{ \langle u_2, u_2 \rangle}u_2 - ... - \frac{ \langle v_k, u_{k-1} \rangle}{ \langle u_{k-1}, u_{k-1} \rangle}u_{k-1} \]
• Normalisierung: \( e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|} \)

Legendre-, Chebyshev- und Hermite-Polynome

Definition:

Legendre-, Chebyshev- und Hermite-Polynome sind spezielle orthogonale Polynome, die häufig in der Approximationstheorie verwendet werden.

Details:

• Legendre-Polynome: Lösen der Differentialgleichung \[ (1 - x^2)P_n''(x) - 2xP_n'(x) + n(n + 1)P_n(x) = 0 \], orthogonal bzgl. Gewichtsfunktion \(w(x) = 1\) im Intervall \([-1, 1]\).
• Chebyshev-Polynome: Zwei Typen, erster und zweiter Art. Erster Art \( T_n(x) = \cos(n \arccos(x)) \) , orthogonal bzgl. Gewichtsfunktion \(w(x) = (1 - x^2)^{-0,5} \) auf \([-1, 1]\).
• Hermite-Polynome: Lösen der Differentialgleichung \[ H_n''(x) - 2xH_n'(x) + 2nH_n(x) = 0 \], orthogonal bzgl. Gewichtsfunktion \( w(x) = e^{-x^2} \) auf \([-\infty, \infty]\).

Konstruktion von kubischen Splines

Definition:

Konstruktion von kubischen Splines: Lege kubische Polynome in jedem Intervall so an, dass sie stetig und stetig differenzierbar, einschließlich an den Stützstellen, sind.

Details:

• Gegeben: Knotenpunkte \( x_0, x_1, \ldots, x_n \) und Funktionswerte \( f_0, f_1, \ldots, f_n \).
• Kubische Spline-Segmente \( S_i(x) = a_i + b_i (x-x_i) + c_i (x-x_i)^2 + d_i (x-x_i)^3, \quad i = 0, \ldots, n-1 \).
• Stetigkeit: \( S_i(x_i) = f_i \) und \( S_i(x_{i+1}) = f_{i+1} \).
• Stetige Differenzierbarkeit erster Ordnung: \( S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1}) \).
• Stetige Differenzierbarkeit zweiter Ordnung: \( S_i''(x_{i+1}) = S_{i+1}''(x_{i+1}) \).
• Zusätzliche Bedingungen: natürliche Splines (zweite Ableitungen an den Rändern null) oder gespannte Splines (zweite Ableitungen oder erste Ableitungen an den Rändern vorgegeben).
• Löst ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten \( a_i, b_i, c_i, d_i \).

Kontinuierliche und diskrete Wavelet-Transformation

Definition:

Kontinuierliche und diskrete Wavelet-Transformation sind Methoden zur Analyse und Darstellung von Signalen in verschiedene Frequenzbereiche.

Details:

• Kontinuierliche Wavelet-Transformation (CWT): Zerlegung eines Signals in eine Summe von verschobenen und skalierten Versionen einer Mutterwavelet.
• Formel für CWT: \[W(a,b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \frac{1}{\sqrt{|a|}} \psi^* \left( \frac{t-b}{a} \right) dt\]
• Diskrete Wavelet-Transformation (DWT): Ähnlich wie CWT, aber die Skalen und Positionen der Mutterwavelet sind diskrete Werte.
• Vorteil DWT: Effiziente numerische Berechnung durch Algorithmen wie den Mallat-Algorithmus.
• Anwendung: Signalverarbeitung, Bildkompression, Rauschunterdrückung.

Konvergenzkriterien und -sätze der Approximationsmethoden

Definition:

Konvergenzkriterien und -sätze bestimmen, unter welchen Bedingungen Approximationsmethoden zu einer Lösung konvergieren.

Details:

• Konvergenz: Verhalten von Approximationsmethoden, sich einer exakten Lösung zu nähern.
• Notwendige Voraussetzungen: Bedingungen, die für die Konvergenz erfüllt sein müssen.
• Satz von Weierstraß: Jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall kann durch Polynome beliebig genau approximiert werden.
• Satz von Bernstein: Approximation stetiger Funktionen durch Bernstein-Polynome.
• Fehlerabschätzungen: Obere Grenzen für die Abweichung zwischen Approximation und exakter Lösung.
• Konsistenz, Stabilität, und Konvergenz: Grundkonzepte in der numerischen Analyse.
• Raum der Approximation: Funktionenräume wie \textit{C[a,b]}, \textit{L^p} usw.