Physik - Exam

Aufgabe 1)

Kontext: Ein Auto der Masse 1000 kg wird von einer konstanten Kraft von 3000 N angetrieben. Es beginnt aus der Ruhe und bewegt sich auf einer geraden Straße. Die Reibung kann vernachlässigt werden.

a)

Teilaufgabe a: Bestimme die Beschleunigung des Autos. Zeige alle Berechnungen und verwende die Newton'schen Bewegungsgesetze.

Lösung:

Teilaufgabe a: Bestimme die Beschleunigung des Autos. Zeige alle Berechnungen und verwende die Newton'schen Bewegungsgesetze.

• Benötigte Informationen:
  • Masse des Autos (\textit{m}): 1000 kg
  • Angreifende Kraft (\textit{F}): 3000 N

Newton'schses Bewegungsgesetz lautet:

1. Beschleunigung (\textit{a}) kann aus dem zweiten Newton’schen Bewegungsgesetz abgeleitet werden:

\[F = m \times a \]

• Löse nach der Beschleunigung (\textit{a}) auf:

• \[ a = \frac{F}{m} \]

Setze die gegebenen Werte ein:

• \[ F = 3000 \text{ N} \]
• \[ m = 1000 \text{ kg} \]

Daraus ergibt sich:

• \[ a = \frac{3000 \text{ N}}{1000 \text{ kg}} \]

Berechne die Beschleunigung:\[ a = 3 \text{ m/s}^2 \]

• Endergebnis:
  • Die Beschleunigung des Autos beträgt: 3 m/s²

b)

Teilaufgabe b: Berechne die Geschwindigkeit des Autos nach 5 Sekunden. Zeige alle notwendigen Zwischenschritte.

Lösung:

Teilaufgabe b: Berechne die Geschwindigkeit des Autos nach 5 Sekunden. Zeige alle notwendigen Zwischenschritte.

• Benötigte Informationen:
  • Aus Teilaufgabe a: Die Beschleunigung (\(a\)) beträgt 3 m/s²
  • Startgeschwindigkeit (\(v_0\)): 0 m/s (Da das Auto aus der Ruhe beginnt)
  • Zeit (\(t\)): 5 Sekunden

Um die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit zu berechnen, verwenden wir die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

1. \[v = v_0 + a \times t\]

Setze die gegebenen Werte ein:

• \(v_0 = 0 \text{ m/s} \)
• \(a = 3 \text{ m/s}^2 \)
• \(t = 5 \text{ s} \)

Daraus ergibt sich:

• \[v = 0 \text{ m/s} + 3 \text{ m/s}^2 \times 5 \text{ s}\]

Berechne die Geschwindigkeit:

• \[v = 0 + 15 \text{ m/s}\]

\[v = 15 \text{ m/s}\]

• Endergebnis:
  • Die Geschwindigkeit des Autos nach 5 Sekunden beträgt: 15 m/s

Aufgabe 2)

Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der zugeführten Wärme minus der geleisteten Arbeit ist.

• Mathematische Darstellung: \( \Delta U = Q - W \)
• \( \Delta U \): Änderung der inneren Energie
• \( Q \): zugeführte Wärme
• \( W \): geleistete Arbeit
• Gesetz der Energieerhaltung: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden

a)

Ein geschlossenes System erhält 150 J Wärme zugeführt und verrichtet 40 J Arbeit nach außen. Berechne die Änderung der inneren Energie des Systems.

Lösung:

Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der zugeführten Wärme minus der geleisteten Arbeit ist.

• Mathematische Darstellung: \( \Delta U = Q - W \)
• \( \Delta U \): Änderung der inneren Energie
• \( Q \): zugeführte Wärme
• \( W \): geleistete Arbeit
• Gesetz der Energieerhaltung: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden

Um die Änderung der inneren Energie des Systems zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel:

 \( \Delta U = Q - W\) 

• \( Q = 150 \text{J} \): Zugeführte Wärme
• \( W = 40 \text{J} \): Geleistete Arbeit

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

 \( \Delta U = 150 \text{J} - 40 \text{J} \) 

Das Ergebnis der Berechnung ist:

 \( \Delta U = 110 \text{J} \) 

Die Änderung der inneren Energie des Systems beträgt also 110 J.

b)

Ein anderes System führt eine Arbeit von 60 J aus und seine innere Energie nimmt dabei um 20 J ab. Berechne die zugeführte oder abgegebene Wärme.

Lösung:

Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der zugeführten Wärme minus der geleisteten Arbeit ist.

• Mathematische Darstellung: \( \Delta U = Q - W \)
• \( \Delta U \): Änderung der inneren Energie
• \( Q \): zugeführte Wärme
• \( W \): geleistete Arbeit
• Gesetz der Energieerhaltung: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden

Um die zugeführte oder abgegebene Wärme in diesem System zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel und lösen sie für \( Q \) auf:

 \( Q = \, \Delta U + W\) 

• \( \Delta U = - 20 \text{J} \): Änderung der inneren Energie (Abnahme)
• \( W = 60 \text{J} \): Geleistete Arbeit

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

 \( Q = - 20 \text{J} + 60 \text{J} \) 

Das Ergebnis der Berechnung ist:

 \( Q = 40 \text{J} \) 

Das bedeutet, dass dem System 40 J Wärme zugeführt wurden.

c)

Ein thermisch isoliertes System (kein Wärmeaustausch) verrichtet 25 J Arbeit. Was passiert mit der inneren Energie des Systems? Begründe deine Antwort.

Lösung:

Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der zugeführten Wärme minus der geleisteten Arbeit ist.

• Mathematische Darstellung: \( \Delta U = Q - W \)
• \( \Delta U \): Änderung der inneren Energie
• \( Q \): zugeführte Wärme
• \( W \): geleistete Arbeit
• Gesetz der Energieerhaltung: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden

Im Fall eines thermisch isolierten Systems erfolgt kein Wärmeaustausch, das bedeutet:

 \( Q = 0 \) 

Die geleistete Arbeit beträgt 25 J. Wir können die Formel nun anwenden:

 \( \Delta U = Q - W \)

• \( Q = 0 \)
• \( W = 25 \text{J} \)

Setzten wir die Werte in die Formel ein:

 \( \Delta U = 0 - 25 \text{J} \) 

Das Ergebnis der Berechnung ist:

 \( \Delta U = -25 \text{J} \) 

Dies bedeutet, dass die innere Energie des Systems um 25 J abnimmt. Da keine Wärme zugeführt oder abgegeben wird (wegen der thermischen Isolation), resultiert die gesamte geleistete Arbeit in einer Abnahme der inneren Energie des Systems.

d)

Ein System erhält eine Wärme von 100 J, während seine innere Energie konstant bleibt. Wie viel Arbeit muss vom System verrichtet werden? Zeige deine Berechnungen.

Lösung:

Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der zugeführten Wärme minus der geleisteten Arbeit ist.

• Mathematische Darstellung: \( \Delta U = Q - W \)
• \( \Delta U \): Änderung der inneren Energie
• \( Q \): zugeführte Wärme
• \( W \): geleistete Arbeit
• Gesetz der Energieerhaltung: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden

Gegeben ist, dass die innere Energie des Systems konstant bleibt. Das bedeutet:

\( \Delta U = 0 \)

Es wird eine Wärme von 100 J zugeführt:

\( Q = 100 \text{J} \)

Wir setzen diese Werte in die Formel ein und lösen sie nach der geleisteten Arbeit \( W \) auf:

\( 0 = 100 \text{J} - W \)

Um \( W \) zu isolieren, addieren wir \( W \) auf beiden Seiten der Gleichung:

\( W = 100 \text{J} \)

Das Ergebnis ist, dass das System 100 J Arbeit verrichten muss, damit die innere Energie des Systems konstant bleibt, obwohl 100 J Wärme zugeführt werden.

Aufgabe 3)

In einem Experiment sollen die Position und der Impuls eines Elektrons gleichzeitig gemessen werden. Die Heisenbergsche Unschärferelation beschreibt die Grenze der Messgenauigkeit dieser komplementären Variablen. In der Quantenmechanik kann die Position (\( x \)) und der Impuls (\( p \)) eines Partikels nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden. Diese Grenzen der Messgenauigkeit werden durch die Heisenbergsche Unschärferelation beschrieben: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] Dabei ist \( \Delta x \) die Standardabweichung der Position, \( \Delta p \) die Standardabweichung des Impulses und \( \hbar \) die reduzierte Planck-Konstante.

a)

i. Berechne die minimale Produkt der Unsicherheiten von Position und Impuls für ein Elektron, wenn die reduzierte Planck-Konstante \( \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \text{Js} \) ist.

Lösung:

Um das minimale Produkt der Unsicherheiten von Position und Impuls zu berechnen, nutzen wir die Heisenbergsche Unschärferelation:

• Heisenbergsche Unschärferelation:

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  & & & & \< \< &&& &

  < Gegebene Werte:

  & \< Berechnung:

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  • Das minimale Produkt der Unsicherheiten von Position und Impuls für ein Elektron beträgt:

  • - <

  b)

  ii. Angenommen, die Unsicherheit in der Position eines Elektrons ist \( \Delta x = 1 \text{pm} \) (1 Pikometer). Bestimme die minimale Unsicherheit des Impulses \( \Delta p \) des Elektrons.

  Lösung:

  Um die minimale Unsicherheit des Impulses \( \Delta p \) des Elektrons zu berechnen, nutzen wir die Heisenbergsche Unschärferelation:

  • Heisenbergsche Unschärferelation: \[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
  • Gegebene Werte:
    • \( \Delta x = 1 \text{pm} = 1 \times 10^{-12} \text{m} \)
    • \( \hbar = 1.0545718 \times 10^{-34} \text{Js} \)
  • Berechnung:
    • Umstellen der Heisenbergschen Unschärferelation nach \( \Delta p \)
    • \[ \Delta p = \frac{\hbar}{2 \cdot \Delta x} \]
    • Einsetzen der gegebenen Werte:
    • \[ \Delta p = \frac{1.0545718 \times 10^{-34} \text{Js}}{2 \cdot 1 \times 10^{-12} \text{m}} \]
    • Berechnungschritte:
    • \[ \Delta p = \frac{1.0545718 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-12}} \]
    • \[ \Delta p = \frac{1.0545718}{2} \times 10^{-22} \]
    • \[ \Delta p = 0.5272859 \times 10^{-22} \]
    • \[ \Delta p = 5.272859 \times 10^{-23} \text{kg}\cdot\text{m/s} \]
  Ergebnis: Das minimale Produkt der Unsicherheiten des Impulses für ein Elektron beträgt \( 5.272859 \times 10^{-23} \text{kg}\cdot\text{m/s} \).

c)

iii. Diskutiere, welche Implikationen diese Unschärfe in der Position und des Impulses bei der Messung und Beobachtung von subatomaren Teilchen haben könnte. Wie beeinflusst dies die Interpretation der Ergebnisse?

Lösung:

Die Heisenbergsche Unschärferelation hat tiefgreifende Implikationen für die Messung und Beobachtung von subatomaren Teilchen. Hier sind einige Schlüsselaspekte, die zu berücksichtigen sind:

• Grenzen der Messgenauigkeit: Die Heisenbergsche Unschärferelation setzt eine fundamentale Grenze für die gleichzeitige Messgenauigkeit von Position und Impuls. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, beide Größen mit beliebiger Genauigkeit gleichzeitig zu bestimmen. Dies ist kein technisches Problem, sondern ein grundlegendes Prinzip der Quantenmechanik.
• Quantenfluktuationen: Aufgrund der Unschärferelation müssen wir anerkennen, dass es immer eine inhärente Unsicherheit in der Bestimmung der Position und des Impulses gibt. Dies führt zu Quantenfluktuationen, die eine wesentliche Rolle im Verhalten subatomarer Teilchen spielen. Diese Fluktuationen können makroskopische Phänomene, wie z.B. die Stabilität von Atomen, beeinflussen.
• Teilchenwellen-Dualismus: Die Unschärferelation unterstützt den Teilchenwellen-Dualismus, der besagt, dass subatomare Teilchen sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften besitzen. Wenn man versucht, die Position eines Teilchens präzise zu messen, kommt dessen Wellencharakter deutlicher zum Tragen und erhöht die Unsicherheit des Impulses.
• Interpretation quantenmechanischer Experimente: Bei der Interpretation von Experimenten auf subatomarer Ebene müssen Physiker stets die Unschärferelation berücksichtigen. Ihre Ergebnisse spiegeln immer die inhärenten Unsicherheiten wider, und jede Messung muss im Rahmen dieser Beschränkungen verstanden werden. Es ist notwendig, probabilistische Aussagen über Systeme zu machen, anstatt deterministische.
Zusammenfassung: Die Heisenbergsche Unschärferelation bedeutet, dass wir in der Quantenmechanik immer mit einer gewissen Unsicherheit arbeiten müssen. Diese Unsicherheiten beeinflussen die Art und Weise, wie wir subatomare Systeme messen und verstehen. Sie zwingen uns, eine probabilistische und nicht-deterministische Sichtweise auf die Natur zu akzeptieren.

Aufgabe 4)

Betrachte ein Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf der Breite L mit unendlichen Potentialwänden. Die Wände sind bei x=0 und x=L, also ist das Potential V(x) überall unendlich, außer in der Region 0 < x < L, wo V = 0 ist. Ein Teilchen innerhalb dieses Potentials wird durch die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung beschrieben:

• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \(\frac{- \hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E\psi(x)\)
• Die Wellenfunktion muss die Randbedingungen erfüllen: \( \psi(0) = \psi(L) = 0 \)
• Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktionen und Energieniveaus des Teilchens im Kasten sind:
• \(\psi_n(x) = \sqrt{ \frac{2}{L} } \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right) \)
• für n = 1, 2, 3, ...
• \( E_n = \frac{n^2\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \)

a)

Berechne die ersten drei Energieniveaus (=1, n=2, und n=3) für ein Elektron in einem eindimensionalen Potentialtopf der Breite L = 1 nm. Verwende \( \hbar = 1.0545718 x 10^{-34} \text{Js}, und die Masse des Elektrons \ m = 9.10938356 x 10^{-31} \text{kg}\).

Lösung:

Löse die folgenden Schritte, um die ersten drei Energieniveaus zu berechnen:

• 1. Schritt: Bestimme die gegebenen Werte.
  • Breite des Potentialtopfs (\(L\)) = 1 nm = 1 x 10^{-9} m
  • Planck'sches Wirkungsquantum geteilt durch 2π (\(\hbar\)) = 1.0545718 x 10^{-34} Js
  • Masse des Elektrons (\(m\)) = 9.10938356 x 10^{-31} kg
• 2. Schritt: Formel für die Energieniveaus Die Energieformel lautet:

   E_n = \frac{n^2\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} 

  Setze die gegebenen Werte in die Formel ein.
• 3. Schritt: Berechnung der ersten drei Energieniveaus für \(n = 1, 2, 3\)
  • Für \(n = 1\):

     E_1 = \frac{(1)^2 \pi^2 (1.0545718 x 10^{-34})^2}{2 (9.10938356 x 10^{-31}) (1 x 10^{-9})^2} 

    Berechne Schritt für Schritt:

     E_1 = \frac{1 x \pi^2 x (1.0545718 x 10^{-34})^2}{2 x 9.10938356 x 10^{-31} x 1 x 10^{-18}} \ = \frac{9.869604 x (1.11265006 x 10^{-68})}{1.821938356 x 10^{-49}} \ = \frac{1.10092649071 x 10^{-67}}{1.821938356 x 10^{-49}} \ \ = 6.042798 x 10^{-19} J \ \approx 3.78 eV \  

  • Für \(n = 2\):

     E_2 = \frac{(2)^2 \pi^2 (1.0545718 x 10^{-34})^2}{2 (9.10938356 x 10^{-31}) (1 x 10^{-9})^2} = 4 x E_1 = 4 x 3.78 eV = 15.12 eV 

  • Für \(n = 3\):

     E_3 = \frac{(3)^2 \pi^2 (1.0545718 x 10^{-34})^2}{2 (9.10938356 x 10^{-31}) (1 x 10^{-9})^2} = 9 x E_1 = 9 x 3.78 eV = 34.02 eV 

b)

Bestimme die Wellenfunktion \( \psi_2(x) \) für den Zustand mit dem Quantenzahl n=2. Zeichne seine Funktion als eine Funktion der Position im Kasten (0 < x < 1 nm).

Lösung:

Löse die folgenden Schritte, um die Wellenfunktion \( \psi_2(x) \) zu bestimmen und zu zeichnen:

• 1. Schritt: Bestimme die gegebenen Werte.
  • Breite des Potentialtopfs (\(L\)) = 1 nm = 1 x 10^{-9} m
  • Quantenzahl (\(n\)) = 2
• 2. Schritt: Wellenfunktion für \(n = 2\) Die Wellenfunktion für den Zustand \(n\) lautet:

   \psi_n(x) = \sqrt{ \frac{2}{L} } \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right) 

  Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:
• 3. Schritt: Berechne die Wellenfunktion für \(n = 2\)
  • \( \psi_2(x) = \sqrt{ \frac{2}{1 x 10^{-9}} } \sin \left( \frac{2\pi x}{1 x 10^{-9}} \right) \)
  • \( \psi_2(x) = \sqrt{2 x 10^9} \sin (2\pi x \times 10^9) \)
  • \( \psi_2(x) = \sqrt{2 x 10^9} \sin (2\pi x \times 10^9) \)
• 4. Schritt: Zeichne die Wellenfunktion. Um die Funktion als eine Funktion der Position im Kasten (0 < x < 1 nm) zu zeichnen, erstelle ein Diagramm. Code in Python:

    import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt L = 1e-9 x = np.linspace(0, L, 1000) psi_2 = np.sqrt(2/L) * np.sin(2 * np.pi * x / L) plt.plot(x, psi_2) plt.title('Wellenfunktion $\psi_2(x)$') plt.xlabel('Position x (m)') plt.ylabel('$\psi_2(x)$') plt.grid() plt.show() 

c)

Beschreibe, wie sich eine lineare Überlagerung der Zustände \ \psi_1(x) \ \text{und} \ \psi_2(x) \ auf die Wellenfunktion des Systems insgesamt auswirkt. Was bedeutet Superpositionsprinzip in diesem Kontext?

Lösung:

Das Superpositionsprinzip und die lineare Überlagerung von Zuständen: In der Quantenmechanik besagt das Superpositionsprinzip, dass, wenn \(\psi_1(x)\) und \(\psi_2(x)\) Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, dann auch jede lineare Kombination dieser Lösungen eine gültige Lösung ist. Dies bedeutet, dass die Wellenfunktion des Systems durch eine lineare Überlagerung der beiden Zustände beschrieben werden kann. Eine solche lineare Überlagerung ist durch: \( \tilde{\psi}(x) = c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) \) beschrieben, wobei \(c_1\) und \(c_2\) komplexe Koeffizienten sind, die die Gewichtung der jeweiligen Zustände angeben. Diese Koeffizienten bestimmen das Verhältnis, in dem die Zustände \(\psi_1(x)\) und \(\psi_2(x)\) zur Gesamtwellenfunktion \(\tilde{\psi}(x)\) beitragen.

• 1. Einfluss der Koeffizienten: Die Koeffizienten \(c_1\) und \(c_2\) beeinflussen die Form und Höhe der resultierenden Wellenfunktion. Verschiedene Kombinationen dieser Koeffizienten können zu unterschiedlichen Wellenformen führen.
• 2. Total-Wellenfunktion: Die resultierende Wellenfunktion \(\tilde{\psi}(x)\) ist somit eine Überlagerung der beiden Zustände \(\psi_1(x)\) und \(\psi_2(x)\).
• 3. Interferenz: Da die Wellenfunktion \(\tilde{\psi}(x)\) eine Summe von \(\psi_1(x)\) und \(\psi_2(x)\) ist, können konstruktive und destruktive Interferenzen auftreten, was zu charakteristischen Mustern in der Wahrscheinlichkeitsdichte führt.

Beispiel für eine lineare Überlagerung: Angenommen, wir wählen \(c_1 = 1\) und \(c_2 = 0.5\), dann wäre die resultierende Wellenfunktion: \( \tilde{\psi}(x) = \psi_1(x) + 0.5 \psi_2(x) \) Wenn wir betrachten, dass \( \psi_1(x) = \sqrt{ \frac{2}{L} } \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right)\) \( \psi_2(x) = \sqrt{ \frac{2}{L} } \sin \left( \frac{2\pi x}{L} \right) \) Ist die resultierende Wellenfunktion: \( \tilde{\psi}(x) = \sqrt{ \frac{2}{L} } \left( \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) + 0.5 \sin \left( \frac{2\pi x}{L} \right) \right) \) Visualisierung der Wellenfunktion: Um die resultierende Wellenfunktion zu visualisieren, kannst Du den folgenden Python-Code verwenden:

  import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltL = 1e-9x = np.linspace(0, L, 1000)psi_1 = np.sqrt(2/L) * np.sin(np.pi * x / L)psi_2 = np.sqrt(2/L) * np.sin(2 * np.pi * x / L)result_wavefunction = psi_1 + 0.5 * psi_2plt.plot(x, result_wavefunction)plt.title('Überlagerte Wellenfunktion $\tilde{\psi}(x)$')plt.xlabel('Position x (m)')plt.ylabel('$\tilde{\psi}(x)$')plt.grid()plt.show() 

d)

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte der Wellenfunktion \ \psi_n(x) \ für den n-ten Zustand gleichmäßig über den Kasten verteilt ist. Berechne konkret die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Zustand \( n=1.\)

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Wellenfunktion: In der Quantenmechanik wird die Wahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens durch das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion gegeben. Für den n-ten Zustand \(\psi_n(x)\) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte \(\rho_n(x)\) definiert als: \[\rho_n(x) = |\psi_n(x)|^2\]

• 1. Schritt: Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichte Setzen wir die Wellenfunktion \(\psi_n(x)\) ein:
• Die Wellenfunktion für den n-ten Zustand ist: \[\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right)\] Setzen wir diese Wellenfunktion in die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichte ein:
• 2. Schritt: Wahrscheinlichkeitsdichte für den Zustand n = 1 Für n = 1 lautet die Wellenfunktion: \[\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right)\] Die Wahrscheinlichkeitsdichte \(\rho_1(x)\) ergibt sich durch das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion: \[\rho_1(x) = \left|\psi_1(x)\right|^2 = \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) \right)^2\] \[\rho_1(x) = \frac{2}{L} \sin^2 \left( \frac{\pi x}{L} \right)\] Verteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte: Die Funktion \(\sin^2 \left( \frac{\pi x}{L} \right)\) ist eine periodische Funktion mit einer Amplitude, die von 0 bis 1 reicht. Für den Zustand n = 1 sieht das Diagramm der Wahrscheinlichkeitsdichte wie folgt aus:

•   import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt L = 1e-9 x = np.linspace(0, L, 1000) rho_1 = (2/L) * np.sin(np.pi * x / L)**2 plt.plot(x, rho_1) plt.title('Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho_1(x)$ für n=1') plt.xlabel('Position x (m)') plt.ylabel('Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho_1(x)$') plt.grid() plt.show() 

Diese Berechnungen zeigen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Zustand n = 1 nicht gleichmäßig über den Kasten verteilt ist, sondern eine sinusförmige Verteilung aufweist, die bei x = 0 und x = L Null ist und bei x = L/2 ein Maximum hat.