Datenverarbeitung in der Physik - Cheatsheet

Methoden der numerischen Integration

Definition:

Methoden zur approximativen Lösung von Integralen, bei denen analytische Lösungen schwer oder unmöglich sind.

Details:

• Trapezregel: Approximiert das Integral durch Summation von Trapezen.
• Simpsonregel: Nähert das Integral durch parabolische Segmente.
• Romberg-Integration: Kombination aus Extrapolationstechniken und der Trapezregel für höhere Genauigkeit.
• Monte-Carlo-Integration: Stochastische Methode zur Annäherung des Integrals durch Zufallsstichproben.
• Regel von Gauß: Verwendet gewichtete Mittelwerte an optimierten Punkten zur besseren Annäherung.

Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

Definition:

Methoden zur Analyse und Lösung von Differentialgleichungen im Kontext der Datenverarbeitung in der Physik.

Details:

• Eulersches Verfahren: Einfaches numerisches Verfahren; Vorwärts-Euler Methode.
• Runge-Kutta-Verfahren: Höhere Genauigkeit als Euler; gängige 4. Ordnung im Einsatz.
• Lineare Differentialgleichungen: Lösungen durch analytische Methoden (Trennung der Variablen, Integrationsfaktor).
• Partielle Differentialgleichungen: Lösungen durch Fourier-Transformation und finite Differenzenmethoden.

Statistische Methoden zur Datenanalyse

Definition:

Methoden zur Analyse und Interpretation von Daten unter Berücksichtigung von Zufälligkeiten und Unsicherheiten.

Details:

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Normalverteilung, Binomialverteilung
• Mittelwert \( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \) und Varianz \( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2 \)
• Hypothesentests: Nullhypothese, Alternativhypothese
• Parameter-Schätzung: Maximum-Likelihood-Methode, Kleinste-Quadrate-Methode
• Konfidenzintervalle: Bereich, in dem ein Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt
• Fehleranalyse: Systematische vs. zufällige Fehler

Monte-Carlo-Simulationen

Definition:

Monte-Carlo-Simulationen: stochastische Methode zur numerischen Berechnung von Problemen durch Zufallszahlen.

Details:

• Verwendung in der Physik zur Modellierung komplexer Systeme.
• Stichprobenverfahren, das statistische Verteilungen nutzt.
• Grundprinzip: Wiederholte Zufallsauswahl und Mittelwertbildung.
• Häufig in Verbindung mit Integrationsproblemen und Random-Walk-Algorithmen.
• Wichtige Formeln: \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(x_i)\) für Integration, \(\text{Var}(X) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2\).

Anpassung von Modellen an experimentelle Daten

Definition:

Anpassung von Modellen an experimentelle Daten bedeutet, eine theoretische Funktion so anzupassen, dass sie möglichst gut mit den gemessenen Daten übereinstimmt.

Details:

• Minimalisiere die Abweichung zwischen Modell und Daten (z. B. durch Least-Squares-Methode).
• Finde Parameter des Modells, die die Abweichung minimieren.
• Verwende Gütemaße wie \(\rchi^2\) oder das Bestimmtheitsmaß \(R^2\) zur Bewertung der Anpassung.
• Nichtlineare Modelle: Iterative Verfahren (z. B. Levenberg-Marquardt-Algorithmus).
• Beachte Messfehler und Unsicherheiten.

Einführung in Python

Definition:

Einführung in Python: Grundlagen der Programmiersprache Python, speziell für Datenverarbeitung und Analyse in der Physik.

Details:

• Einrichten der Entwicklungsumgebung: Installation von Python und IDEs (z.B. PyCharm, Jupyter Notebook).
• Grundlegende Syntax: Variablen, Datentypen, Schleifen, Bedingungen.
• Bibliotheken: NumPy für numerische Berechnungen, Matplotlib für Diagramme, SciPy für wissenschaftliche Berechnungen, Pandas für Datenanalyse.
• Beispielcode für physikalische Datenanalyse:
• import numpy as np
• import matplotlib.pyplot as plt
• NumPy arrays:
• a = np.array([1, 2, 3])
• Datenvisualisierung:
• plt.plot(x, y)
• plt.show()
• Erstellen und Auswerten von Funktionen:
• def f(x): return x**2
• y = f(np.array([1, 2, 3]))

Error Analysis und Fehlerabschätzung

Definition:

In der Physik ist die Fehleranalyse entscheidend, um die Genauigkeit und Zuverlässigkeit von Messergebnissen zu bewerten. Fehlerabschätzung dient dazu, die Unsicherheiten der Messungen quantitativ zu bestimmen.

Details:

• Absolute Fehler: \( \triangle x = |x_{\text{gemessen}} - x_{\text{wahr}}| \)
• Relativer Fehler: \( \triangle x_{\text{relativ}} = \frac{\triangle x}{x_{\text{wahr}}} \)
• Standardabweichung (σ) zur Beschreibung der Streuung von Messwerten
• Propagation der Unsicherheiten bei Funktionen: Fehlerfortpflanzungsgesetz
• Systematische vs. zufällige Fehler

Fourier- und Spektralanalyse

Definition:

Fourieranalyse zur Zerlegung von Funktionen in Sinus- und Kosinuskomponenten, Spektralanalyse zur Untersuchung der Frequenzverteilung.

Details:

• Fourier-Transformation (FT): Umwandlung einer Funktion in ihre Frequenzkomponenten.
• Formel der FT: \[ \tilde{f}(k) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ixk} f(x) \,dx \]
• Inverse Fourier-Transformation (IFT): Rückwandlung in den Zeit- bzw. Ortsraum.
• Formel der IFT: \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ixk} \tilde{f}(k) \,dk \]
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT): Numerische Berechnung der FT für diskrete Datenpunkte.
• schnelle Fourier-Transformation (FFT): Algorithmus zur effizienten Berechnung der DFT.
• Spektralanalyse: Darstellung der Stärke von Frequenzkomponenten.