Datenverarbeitung in der Physik - Exam

Aufgabe 1)

Du hast die Aufgabe, eine numerische Integration für die Funktion \( f(x) = e^{-x^2} \) im Intervall \( [0, 1] \) durchzuführen. Benutze unterschiedliche Methoden der numerischen Integration, um das Integral \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \) zu approximieren.

a)

Berechne das Integral \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \) mittels der Trapezregel. Teile das Intervall \( [0, 1] \) in \( n = 4 \) gleiche Teile und führe die Berechnungen Schritt für Schritt durch. Zeige alle Zwischenschritte und -werte auf.

Lösung:

Aufgabe: Berechne das Integral \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \) mittels der Trapezregel. Teile das Intervall \( [0, 1] \) in \( n = 4 \) gleiche Teile und führe die Berechnungen Schritt für Schritt durch. Zeige alle Zwischenschritte und -werte auf.

Lösung:

• Zunächst teilen wir das Intervall \( [0, 1] \) in \( n = 4 \) gleich lange Abschnitte:

Die Breite jedes Intervalls ist:

\[ \Delta x = \frac{1 - 0}{4} = 0.25 \]

Die Teilpunkte auf dem Intervall sind: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 0.25 \), \( x_2 = 0.5 \), \( x_3 = 0.75 \) und \( x_4 = 1 \).

• Als nächstes berechnen wir die Funktionswerte an diesen Punkten:

\[ f(0) = e^{-(0)^2} = 1 \]

\[ f(0.25) = e^{-0.25^2} = e^{-0.0625} \approx 0.939413 \]

\[ f(0.50) = e^{-0.5^2} = e^{-0.25} \approx 0.778801 \]

\[ f(0.75) = e^{-0.75^2} = e^{-0.5625} \approx 0.570320 \]

\[ f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} \approx 0.367879 \]

• Jetzt verwenden wir die Trapezregel zur Approximierung des Integrals:

Die Trapezregel lautet:

\[ \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \approx \frac{\Delta x}{2} \bigg( f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4) \bigg) \]

Setzen wir die Werte ein:

\[ = \frac{0.25}{2} \bigg(1 + 2 \times 0.939413 + 2 \times 0.778801 + 2 \times 0.570320 + 0.367879 \bigg) \]

Berechnen des Ausdrucks innerhalb der Klammern:

\[ = \frac{0.25}{2} \bigg(1 + 1.878826 + 1.557602 + 1.140640 + 0.367879 \bigg) \]

\[ = \frac{0.25}{2} \bigg(5.945947 \bigg) \]

Das ergibt:

\[ = 0.125 \times 5.945947 \]

\[ = 0.743243375 \]

Nach Rundung erhalten wir:

Das approximierte Integral mit der Trapezregel ist daher:

\[ \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \approx 0.743243 \]

b)

Verwende die Simpsonregel zur Berechnung desselben Integrals \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \). Teile das Intervall ebenfalls in \( n = 4 \) Segmente auf. Stelle sicher, dass Du die Gewichtungen entsprechend der Simpsonregel beachtest und erkläre, wie diese zur Annäherung des Integrals führen.

Lösung:

Aufgabe: Verwende die Simpsonregel zur Berechnung des Integrals \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \). Teile das Intervall \( [0, 1] \) in \( n = 4 \) Segmente auf. Stelle sicher, dass Du die Gewichtungen entsprechend der Simpsonregel beachtest und erkläre, wie diese zur Annäherung des Integrals führen.

Lösung:

• Zunächst teilen wir das Intervall \( [0, 1] \) in \( n = 4 \) gleich lange Segmente:

Die Breite jedes Segments ist:

\[ \Delta x = \frac{1 - 0}{4} = 0.25 \]

Die Teilpunkte auf dem Intervall sind: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 0.25 \), \( x_2 = 0.5 \), \( x_3 = 0.75 \) und \( x_4 = 1 \).

• Als nächstes berechnen wir die Funktionswerte an diesen Punkten:

\[ f(0) = e^{-(0)^2} = 1 \]

\[ f(0.25) = e^{-0.25^2} = e^{-0.0625} \approx 0.939413 \]

\[ f(0.50) = e^{-0.5^2} = e^{-0.25} \approx 0.778801 \]

\[ f(0.75) = e^{-0.75^2} = e^{-0.5625} \approx 0.570320 \]

\[ f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} \approx 0.367879 \]

• Jetzt verwenden wir die Simpsonregel zur Approximierung des Integrals:

Die Simpsonregel lautet:

\[ \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \approx \frac{\Delta x}{3} \bigg( f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4) \bigg) \]

Setzen wir die Werte ein:

\[ = \frac{0.25}{3} \bigg(1 + 4 \times 0.939413 + 2 \times 0.778801 + 4 \times 0.570320 + 0.367879 \bigg) \]

Berechnen des Ausdrucks innerhalb der Klammern:

\[ = \frac{0.25}{3} \bigg(1 + 3.757652 + 1.557602 + 2.281280 + 0.367879 \bigg) \]

\[ = \frac{0.25}{3} \bigg(8.964413 \bigg) \]

Das ergibt:

\[ = \frac{0.25 \times 8.964413}{3} \]

\[ = 0.75 \times 8.964413 \]

\[ = 0.747034375 \]

Nach Rundung erhalten wir:

Das approximierte Integral mit der Simpsonregel ist daher:

\[ \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \approx 0.747034 \]

c)

Nutze die Monte-Carlo-Integration, um das Integral \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \) zu schätzen. Nimm \( N = 1000 \) Zufallsstichproben in Betracht. Implementiere die Berechnung in Python und stelle den Code sowie die resultierenden Werte dar. Diskutiere die Vor- und Nachteile der Monte-Carlo-Methodik im Vergleich zu den deterministischen Methoden.

Lösung:

Aufgabe: Nutze die Monte-Carlo-Integration, um das Integral \( \int_{0}^{1} e^{-x^2} dx \) zu schätzen. Nimm \( N = 1000 \) Zufallsstichproben in Betracht. Implementiere die Berechnung in Python und stelle den Code sowie die resultierenden Werte dar. Diskutiere die Vor- und Nachteile der Monte-Carlo-Methodik im Vergleich zu den deterministischen Methoden.

Lösung:

• Die Monte-Carlo-Integration beruht auf der Idee, Zufallsstichproben aus dem Intervall zu ziehen und den Mittelwert der Funktionswerte zu berechnen.

 import numpy as np# Anzahl der ZufallsstichprobenN = 1000# Zufällige Stichproben aus dem Intervall [0, 1]x_values = np.random.uniform(0, 1, N)# Funktionswerte für f(x) = e^(-x^2)function_values = np.exp(-x_values**2)# Schätzung des Integrals als Durchschnitt der Funktionswerteintegral_estimate = np.mean(function_values)print(f'Schätzung des Integrals: {integral_estimate}') 

Erklärung des Codes:

• Wir importieren die Bibliothek numpy, um Zufallszahlen zu generieren und mathematische Funktionen zu verwenden.
• Wir legen die Anzahl der Zufallsstichproben fest, \( N = 1000 \).
• Wir erzeugen \( N \) Zufallswerte im Intervall \( [0, 1] \).
• Wir berechnen die Funktionswerte \( f(x) = e^{-x^2} \) für jede Stichprobe.
• Das Integral wird als Durchschnitt der Funktionswerte über alle Stichproben geschätzt.
• Wir geben die Schätzung des Integrals aus.

Ausgabe:

Nach Ausführung des obigen Codes könnte die Schätzung des Integrals wie folgt aussehen (aufgrund der Zufälligkeit können die Ergebnisse bei jedem Lauf leicht variieren):

 Schätzung des Integrals: 0.7468245033721985 

Diskussion der Monte-Carlo-Methodik:

• Vorteile:
  • Einfach implementierbar und anwendbar auf höhere Dimensionen ohne großen Zusatzaufwand.
  • Kann leicht parallelisiert werden, was für große Stichprobenmengen vorteilhaft ist.
  • Robust gegenüber unregelmäßigen Integranden und komplexen Geometrien.
• Nachteile:
  • Im Allgemeinen weniger genau als deterministische Methoden wie die Trapez- oder Simpsonregel, es sei denn, eine sehr große Anzahl von Stichproben wird verwendet.
  • Ergebnisse können stark variieren, was zur Notwendigkeit führt, mehrere Simulationen durchzuführen, um eine genauere Schätzung zu erhalten.
  • Konvergiert langsam zur exakten Lösung, insbesondere im Vergleich zu hochentwickelten deterministischen Methoden.

Aufgabe 2)

In dieser Aufgabe betrachten wir ein physikalisches System, das durch eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) beschrieben wird. Die Differentialgleichung lautet: \[ \frac{dy}{dt} = -2y \ \text{mit der Anfangsbedingung} \ y(0) = 1 \] Diese Gleichung beschreibt den Zerfall eines Materials über die Zeit. Wir wollen diese Differentialgleichung mit verschiedenen numerischen Methoden lösen und die Ergebnisse vergleichen.

c)

c) Vergleiche die numerischen Ergebnisse aus den Teilen (a) und (b) mit der analytischen Lösung der Differentialgleichung. Die analytische Lösung lautet: \[ y(t) = e^{-2t} \] Berechne die Abweichung der numerischen Werte von der analytischen Lösung für jeden Zeitschritt und diskutiere die Genauigkeit der beiden numerischen Verfahren.

Lösung:

In dieser Aufgabe vergleichen wir die numerischen Ergebnisse aus den Teilen (a) (Euler-Verfahren) und (b) (Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung) mit der analytischen Lösung der Differentialgleichung:

 \[ \frac{dy}{dt} = -2y \ \text{mit der Anfangsbedingung} \ y(0) = 1 \ ] 

Die analytische Lösung lautet:

 \[ y(t) = e^{-2t} \] 

Wir berechnen nun die Abweichungen der numerischen Werte von der analytischen Lösung für jeden Zeitschritt, wobei \( t = 0.1 \cdot n \) für \( n = 0, 1, ..., 10 \). Zunächst berechnen wir die analytischen Werte:

• y(0.0) = \( e^{-2 \cdot 0.0} = e^0 = 1 \)
• y(0.1) = \( e^{-2 \cdot 0.1} = e^{-0.2} \approx 0.8187308 \)
• y(0.2) = \( e^{-2 \cdot 0.2} = e^{-0.4} \approx 0.6703200 \)
• y(0.3) = \( e^{-2 \cdot 0.3} = e^{-0.6} \approx 0.5488116 \)
• y(0.4) = \( e^{-2 \cdot 0.4} = e^{-0.8} \approx 0.4493290 \)
• y(0.5) = \( e^{-2 \cdot 0.5} = e^{-1.0} \approx 0.3678794 \)
• y(0.6) = \( e^{-2 \cdot 0.6} = e^{-1.2} \approx 0.3011942 \)
• y(0.7) = \( e^{-2 \cdot 0.7} = e^{-1.4} \approx 0.2465969 \)
• y(0.8) = \( e^{-2 \cdot 0.8} = e^{-1.6} \approx 0.2018965 \)
• y(0.9) = \( e^{-2 \cdot 0.9} = e^{-1.8} \approx 0.1652989 \)
• y(1.0) = \( e^{-2 \cdot 1.0} = e^{-2.0} \approx 0.1353353 \)

Vergleich der Abweichungen:

 \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c| }  \textbf{Zeit} & \textbf{Analytische} & \textbf{Euler-Verfahren} & \textbf{Abweichung (Euler)} & \textbf{RK4-Verfahren} & \textbf{Abweichung (RK4)} \  \text{t} & \text{Lösung} & y_{\text{Euler}} & |y_{\text{Euler}} - y_{\text{analytisch}}| & y_{\text{RK4}} & |y_{\text{RK4}} - y_{\text{analytisch}}| \  \text{0.0} & 1.0000000 & 1.0000000 & 0.0000000 & 1.0000000 & 0.0000000 \  0.1 & 0.8187308 & 0.8000000 & 0.0187308 & 0.8180000 & 0.0007308 \  0.2 & 0.6703200 & 0.6400000 & 0.0303200 & 0.6703200 & 0.0000000 \  0.3 & 0.5488116 & 0.5120000 & 0.0368116 & 0.5498800 & 0.0010684 \  0.4 & 0.4493290 & 0.4096000 & 0.0397290 & 0.4526282 & 0.0032992 \  0.5 & 0.3678794 & 0.3276800 & 0.0401994 & 0.3699022 & 0.0020228 \  0.6 & 0.3011942 & 0.2621440 & 0.0390502 & 0.3011940 & 0.0000002 \  0.7 & 0.2465969 & 0.2097152 & 0.0368817 & 0.2459531 & 0.0006438 \  0.8 & 0.2018965 & 0.1677722 & 0.0341243 & 0.2021886 & 0.0002921 \  0.9 & 0.1652989 & 0.1342177 & 0.0310812 & 0.1642017 & 0.0010972 \  1.0 & 0.1353353 & 0.1073742 & 0.0279611 & 0.1340641 & 0.0012712 \     

Zusammenfassend ergibt sich:

• Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung (RK4) liefert Werte, die näher an der analytischen Lösung liegen als die Ergebnisse des Euler-Verfahrens.
• Die Abweichung der RK4-Werte ist deutlich geringer als die des Euler-Verfahrens bei allen betrachteten Zeitschritten. Besonders auffällig ist, dass die Werte beim RK4-Verfahren meist im Bereich von 0.0001 bis 0.003 von der analytischen Lösung abweichen, während die Abweichungen beim Euler-Verfahren im Bereich von 0.02 bis 0.04 liegen.
• Das RK4-Verfahren bietet also eine wesentlich höhere Genauigkeit und ist daher für präzisere Berechnungen besser geeignet, obwohl es in der Berechnung aufwendiger ist als das Euler-Verfahren.

Aufgabe 3)

Statistische Analyse von Experimentdaten: Ein Forscher misst die Länge von Drahtproben aus verschiedenen Chargen. Die Daten werden genutzt, um statistische Eigenschaften der Drahtlängen zu analysieren und eine Fehleranalyse durchzuführen. Gegeben sind folgende Längenmessungen (in cm) einer Stichprobe: 10.2, 10.5, 10.3, 10.4, 10.1, 10.3, 10.5, 10.2. Der Forscher vermutet, dass die Längen normalverteilt sind und möchte eine detaillierte Analyse durchführen.

a)

Berechne den Mittelwert und die Varianz der Drahtlängen. Zeige Deine Schritte detailliert. Ul>

Formel für den Mittelwert: \( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \)

Formel für die Varianz: \( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2 \)

Lösung:

Berechne den Mittelwert und die Varianz der Drahtlängen

• Gegebene Längenmessungen: 10.2, 10.5, 10.3, 10.4, 10.1, 10.3, 10.5, 10.2

Schritt 1: Berechnung des Mittelwerts (\bar{x})

• Formel für den Mittelwert: \( \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i} \)

In diesem Fall haben wir N = 8 (8 Messungen).

• Die Summe der Längenmessungen: 10.2 + 10.5 + 10.3 + 10.4 + 10.1 + 10.3 + 10.5 + 10.2
• Berechne diese Summe: 82.5
• Mittelwert: \( \bar{x} = \frac{82.5}{8} = 10.3125 \)

Schritt 2: Berechnung der Varianz (\ \sigma^2 \)

• Formel für die Varianz: \( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{2} \)

Subtrahiere den Mittelwert von jedem Messwert, quadriere das Ergebnis und summiere alle diese Quadrate:

• (10.2 - 10.3125)^2 = 0.01265625
• (10.5 - 10.3125)^2 = 0.03515625
• (10.3 - 10.3125)^2 = 0.00015625
• (10.4 - 10.3125)^2 = 0.00765625
• (10.1 - 10.3125)^2 = 0.04515625
• (10.3 - 10.3125)^2 = 0.00015625
• (10.5 - 10.3125)^2 = 0.03515625
• (10.2 - 10.3125)^2 = 0.01265625

Summe dieser Quadrate: 0.14875

• Varianz: \( \sigma^2 = \frac{0.14875}{8} = 0.01859375 \)

Zusammenfassend:

• Mittelwert (\bar{x}): 10.3125
• Varianz (\ \sigma^2 \): 0.01859375

b)

Erstelle ein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Drahtlängen. Erläutere dabei die verwendete Methode und formuliere die notwendigen Schritte.

• Verwende die Normalverteilung und die Standardabweichung der Stichprobe für die Berechnung.
• Formel für das Konfidenzintervall: \( \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{N}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right) \)
• Das z-Quantil \( z_{\alpha/2} \) für 95% Konfidenzintervall ist 1.96.

Lösung:

Erstelle ein 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Drahtlängen

• Gegebene Längenmessungen: 10.2, 10.5, 10.3, 10.4, 10.1, 10.3, 10.5, 10.2
• Berechneter Mittelwert (\( \bar{x} \)): 10.3125
• Berechnete Varianz (\( \sigma^2 \)): 0.01859375

Schritt 1: Berechnung der Standardabweichung (\( \sigma \))Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

• \( \sigma = \sqrt{0.01859375} \approx 0.13632 \)

Schritt 2: Berechnung des Standardfehlers des Mittelwerts (\( \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \))Substitute die gegebene Standardabweichung und die Anzahl der Messungen:\( N = 8 \).

• \( \frac{\sigma}{\sqrt{N}} = \frac{0.13632}{\sqrt{8}} \approx 0.04821 \)

Schritt 3: Bestimmen des z-Quantils (\( z_{\alpha/2} \))Für ein 95%-Konfidenzintervall ist das z-Quantil \( z_{\alpha/2} = 1.96 \).Schritt 4: Berechnung des KonfidenzintervallsVerwende die Formel für das Konfidenzintervall:

• Formel: \( \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{N}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right) \)
• Ersetze die Werte: \( \left( 10.3125 - 1.96 \cdot 0.04821, 10.3125 + 1.96 \cdot 0.04821 \right) \)
• Berechnung des Intervalls: \( \left( 10.3125 - 0.09449, 10.3125 + 0.09449 \right) = (10.21801, 10.40699) \)

Zusammenfassend:Das 95%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Drahtlängen ist \( (10.21801, 10.40699) \).

Aufgabe 4)

Eine Monte-Carlo-Simulation soll zur Berechnung der Fläche eines komplexen, zweidimensionalen Gebiets verwendet werden. Dieses Gebiet wird durch die Funktion f(x, y) im Bereich \text{D} mit den Koordinaten (x, y) beschrieben, wobei 0 \leq x \leq 1 und 0 \leq y \leq 1. Der Bereich ist dabei so beschaffen, dass f(x, y) = 1 innerhalb des Gebiets liegt und f(x, y) = 0 außerhalb liegt. Zur Berechnung dieser Fläche werden gleichmäßig verteilte Zufallspunkte (x_i, y_i) erzeugt und ausgewertet.

a)

Beschreibe den grundsätzlichen Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation zur Berechnung der Fläche des oben beschriebenen Gebiets. Erkläre, wie Zufallszahlen und Mittelwertbildung hierbei angewendet werden. Achte darauf, die Bedeutung der Uniformverteilung der Zufallszahlen zu erläutern.

Lösung:

Grundsätzlicher Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation zur Berechnung der Fläche eines komplexen Gebiets

Eine Monte-Carlo-Simulation ist eine numerische Methode, die auf der Erzeugung und Auswertung von Zufallszahlen basiert, um ein mathematisches Problem zu lösen. Im Fall der Berechnung der Fläche eines zweidimensionalen Gebiets, das durch die Funktion f(x, y) beschrieben wird und sich im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ 1 befindet, folgt die Monte-Carlo-Simulation einem strukturierten Ablauf.

• Erzeugung gleichmäßig verteilter Zufallszahlen: Im ersten Schritt werden eine große Anzahl an Zufallspunkten (x_i, y_i) erzeugt, wobei x_i und y_i gleichmäßig im Bereich [0, 1] verteilt sind. Dies bedeutet, dass jeder Punkt innerhalb dieses Bereichs dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, ausgewählt zu werden. Diese Uniformverteilung stellt sicher, dass die Zufallspunkte repräsentativ für den gesamten Bereich sind.
• Auswertung der Funktion: Für jeden erzeugten Zufallspunkt (x_i, y_i) wird die Funktion f(x_i, y_i) ausgewertet. Die Funktion f(x, y) gibt dabei an, ob der Punkt innerhalb (f(x, y) = 1) oder außerhalb (f(x, y) = 0) des interessierenden Gebiets liegt.
• Zählen der Punkte innerhalb des Gebiets: Die Anzahl der Punkte, für die f(x_i, y_i) = 1, wird gezählt. Diese Punkte liegen innerhalb des Gebiets.
• Berechnung des Anteils: Der Anteil der Punkte, die innerhalb des Gebiets liegen, wird berechnet. Dies geschieht durch Division der Anzahl der Punkte innerhalb des Gebiets durch die Gesamtanzahl der Zufallspunkte.
• Berechnung der Fläche: Da das betrachtete Rechteck eine Fläche von 1 (da es sich um den Bereich [0, 1] x [0, 1] handelt) hat, entspricht der berechnete Anteil der Punkte innerhalb des Gebiets direkt der gesuchten Fläche. Multipliziert man diesen Anteil mit der Fläche des Rechtecks, erhält man die geschätzte Fläche des Gebiets.

Bedeutung der Uniformverteilung der Zufallszahlen

Die Uniformverteilung der Zufallszahlen ist entscheidend, da sie sicherstellt, dass alle Teile des betrachteten Bereichs gleichermaßen abgedeckt werden. Dies bedeutet, dass jeder Punkt innerhalb des Bereichs [0, 1] x [0, 1] dieselbe Wahrscheinlichkeit hat, ausgewählt zu werden. Wenn die Zufallszahlen nicht gleichmäßig verteilt wären, könnte dies zu einer verzerrten Schätzung der Fläche führen. Eine ungleichmäßige Verteilung könnte dazu führen, dass bestimmte Teile des Gebiets über- oder unterrepräsentiert sind, was eine genaue Flächenberechnung unmöglich machen würde.

Anwendung der Mittelwertbildung

Die Mittelwertbildung spielt bei der Monte-Carlo-Simulation eine zentrale Rolle. Durch die Erzeugung und Auswertung einer großen Anzahl von Zufallspunkten wird eine repräsentative Stichprobe des betrachteten Bereichs erstellt. Der Anteil der Punkte, die innerhalb des Gebiets liegen, stellt einen Schätzwert für die tatsächliche Fläche dar. Da die Zufallspunkte gleichmäßig verteilt sind, nähert sich der Mittelwert der Anteile der Punkte innerhalb des Gebiets dem tatsächlichen Wert der Fläche an, wenn die Anzahl der Zufallspunkte groß genug ist. Auf diese Weise ermöglicht die Mittelwertbildung eine präzise Schätzung der Fläche des komplexen Gebiets.

b)

Schreibe ein Python-Programm, das die Monte-Carlo-Simulation durchführt und die Fläche des Gebiets berechnet. Das Programm soll 10.000 Zufallspunkte verwenden und die Anzahl der Treffer innerhalb des Gebietes zählen. Gebe am Ende die berechnete Fläche aus. Beachte die Gleichverteilung der Zufallszahlen im Bereich \left[0, 1\right].

Lösung:

Ein Python-Programm zur Durchführung einer Monte-Carlo-Simulation

Hier ist ein einfaches Python-Programm, das die Monte-Carlo-Simulation zur Berechnung der Fläche eines komplexen Gebiets durchführt, wie im Kontext beschrieben. Dieses Programm erzeugt 10.000 gleichmäßig verteilte Zufallspunkte im Bereich [0, 1] und zählt die Anzahl der Punkte, die innerhalb des Gebiets liegen.

import random  def f(x, y):      # Beispielhafte Funktion, die das Gebiet definiert. Anpassbar an das spezifische Problem.      # f(x, y) = 1 innerhalb des Gebiets, f(x, y) = 0 außerhalb.      # Hier verwenden wir ein Beispielgebiet: Ein Viertelkreis mit Radius 1.      return 1 if x**2 + y**2 <= 1 else 0  # Anzahl der Zufallspunkte  num_points = 10000  # Zähler für Punkte innerhalb des Gebiets  inside_count = 0  # Erzeugung und Auswertung der Zufallspunkte  for _ in range(num_points):      x, y = random.uniform(0, 1), random.uniform(0, 1)      if f(x, y) == 1:          inside_count += 1  # Berechnung der Fläche  area = inside_count / num_points  # Ausgabe der berechneten Fläche  print('Berechnete Fläche des Gebiets:', area)  

Erklärung des Programms

• Funktion f(x, y): Diese Funktion definiert das Gebiet. In diesem Beispiel verwenden wir ein Viertelkreisgebiet mit Radius 1. Die Funktion gibt 1 zurück, wenn der Punkt innerhalb des Gebiets liegt, und 0, wenn er außerhalb liegt. Diese Funktion kann an das spezifische Problem angepasst werden.
• Zufallspunkte erzeugen: Das Programm erzeugt 10.000 Zufallspunkte, wobei jedes x und y gleichmäßig im Bereich [0, 1] verteilt ist.
• Zählen der Punkte im Gebiet: Für jeden zufällig erzeugten Punkt wird überprüft, ob er sich innerhalb des Gebiets befindet (f(x, y) == 1). Wenn ja, wird der Zähler inkrementiert.
• Berechnung der Fläche: Die Fläche wird berechnet, indem die Anzahl der Treffer (Punkte innerhalb des Gebiets) durch die Gesamtanzahl der Zufallspunkte dividiert wird. Da der betrachtete Bereich (ein Einheitsquadrat) eine Fläche von 1 hat, entspricht der berechnete Anteil direkt der geschätzten Fläche des Gebiets.
• Ausgabe der berechneten Fläche: Am Ende wird die berechnete Fläche des Gebiets auf dem Bildschirm ausgegeben.

c)

Diskutiere die Genauigkeit der Monte-Carlo-Simulation in Bezug auf die Anzahl der Zufallspunkte. Wie verändert sich die Varianz der Flächenberechnung mit zunehmender Anzahl an Zufallspunkten? Verwende dabei die Formel für die Varianz \text{Var}(X) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 und zeige mathematisch, warum eine größere Stichprobe (\text{N}) zu einer höheren Genauigkeit führt.

Lösung:

Diskussion der Genauigkeit der Monte-Carlo-Simulation in Bezug auf die Anzahl der Zufallspunkte

Die Genauigkeit einer Monte-Carlo-Simulation zur Berechnung der Fläche eines komplexen, zweidimensionalen Gebiets hängt stark von der Anzahl der Zufallspunkte ab. Je mehr Zufallspunkte verwendet werden, desto genauer wird die Schätzung der Fläche. Dies liegt an der Beziehung zwischen der Varianz der Flächenberechnung und der Anzahl der Zufallspunkte.

Varianz der Flächenberechnung

Die Varianz einer Schätzung misst die Streuung der Schätzwerte um den erwarteten Wert. Eine geringere Varianz bedeutet eine höhere Genauigkeit der Schätzung. Die Formel für die Varianz lautet:

\[ \text{Var}(X) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} \left( x_i - \bar{x} \right)^2 \]

wobei:

• \(N\) die Anzahl der Zufallspunkte ist
• \(x_i\) die einzelnen Schätzwerte sind
• \(\bar{x}\) der Mittelwert der Schätzwerte ist

Verbindung zwischen Stichprobengröße und Varianz

Lassen wir uns die mathematische Beziehung zwischen der Anzahl der Zufallspunkte und der Varianz näher betrachten. Wenn \(N\) zunimmt, wird der Term \(\frac{1}{N-1}\) kleiner. Das bedeutet, dass die Summe der quadrierten Abweichungen \(\sum_{i=1}^{N} \left( x_i - \bar{x} \right)^2\) durch einen größeren Wert geteilt wird, was zu einer kleineren Varianz führt:

\[ \text{Var}(X) \approx \frac{C}{N} \]

Diese Beziehung zeigt, dass die Varianz der Schätzung invers proportional zur Anzahl der Zufallspunkte \(N\) ist. Der Konstante \(C\) hängt von der Verteilung der Zufallsvariablen ab.

Wie eine größere Stichprobe zu höherer Genauigkeit führt

Um zu verstehen, warum eine größere Stichprobe zu einer höheren Genauigkeit führt, betrachten wir das Gesetz der großen Zahlen. Je größer die Anzahl der Zufallspunkte \(N\), desto näher wird der Mittelwert \(\bar{x}\) an den wahren Erwartungswert herankommen. Dies bedeutet, dass die Schätzung der Fläche mit zunehmender Anzahl der Zufallspunkte genauer wird.

Zusammengefasst führt eine größere Anzahl an Zufallspunkten zu:

• Einer geringeren Varianz der Schätzwerte
• Einer besseren Annäherung des Mittelwerts an den tatsächlichen Wert
• Somit zu einer insgesamt höheren Genauigkeit der Monte-Carlo-Simulation

Diese mathematischen Eigenschaften der Varianz und das Gesetz der großen Zahlen erklären, warum die Verwendung einer größeren Stichprobe \(N\) zu einer genaueren Berechnung der Fläche des komplexen Gebiets führt.