Experimentalphysik 1: Mechanik - Exam

Aufgabe 1)

Ein Schlitten steht auf einer glatten, reibungsfreien Eisfläche. Er wird von einer Person in Bewegung gesetzt und erreicht eine konstante Geschwindigkeit von 2 m/s. Nach einer Weile hört die Person auf, den Schlitten zu schieben.

a)

Beschreibe, wie sich der Schlitten nach dem Aufhören der Schiebekraft verhält. Beziehe Dich auf das erste Newton'sche Gesetz und erkläre, warum der Schlitten sich so verhält.

Lösung:

b)

Wenn der Schlitten eine zusätzliche Masse von 10 kg bekommt, wie beeinflusst dies die Bewegung des Schlittens, nachdem die Schiebekraft aufgehört hat? Erkläre Deine Antwort im Kontext des Trägheitsgesetzes.

Lösung:

Aufgabe 2)

Betrachte ein Auto mit einer Masse von 1500 kg, das sich unter dem Einfluss mehrerer Kräfte bewegt. Die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, führt zu einer Beschleunigung.

Angenommen, die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, wird durch eine konstante Kraft von 4500 N nach vorne und einen Luftwiderstand von 1500 N nach hinten und eine konstante Reibungskraft von 1000 N nach hinten bestimmt.

a)

Lösung:

Aufgabe: Betrachte ein Auto mit einer Masse von 1500 kg, das sich unter dem Einfluss mehrerer Kräfte bewegt. Die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, führt zu einer Beschleunigung.

Angenommen, die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, wird durch eine konstante Kraft von 4500 N nach vorne und einen Luftwiderstand von 1500 N nach hinten und eine konstante Reibungskraft von 1000 N nach hinten bestimmt.

• a) Bestimme die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt.
• Hinweis: Berücksichtige die Vorzeichen der Kräfte entsprechend ihrer Richtungen.

Lösung:

1. Zuerst notiere alle gegebenen Kräfte:

• Voraus: Kraft nach vorne: 4500 N
• Gegen den Widerstand: Luftwiderstand: 1500 N nach hinten
• Gegen den Widerstand: Reibungskraft: 1000 N nach hinten

• Die Kraft, die nach vorne wirkt, ist positiv: 4500 N
• Die Kräfte, die nach hinten wirken, sind negativ: -1500 N und -1000 N

• Resultierende Kraft = Vorwärtskraft - Luftwiderstandskraft - Reibungskraft
• Resultierende Kraft = 4500 N - 1500 N - 1000 N
• Resultierende Kraft = 2000 N

c)

Lösung:

Aufgabe: Betrachte ein Auto mit einer Masse von 1500 kg, das sich unter dem Einfluss mehrerer Kräfte bewegt. Die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, führt zu einer Beschleunigung.

Angenommen, die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, wird durch eine konstante Kraft von 4500 N nach vorne und einen Luftwiderstand von 1500 N nach hinten und eine konstante Reibungskraft von 1000 N nach hinten bestimmt.

• c) Wenn das Auto anfänglich in Ruhe war, berechne die Geschwindigkeit des Autos nach 10 Sekunden.

Lösung:

1. Bestimme zuerst die Beschleunigung des Autos, die wir in Teil b) ermittelt haben:

• Die Beschleunigung beträgt 1.33 m/s² nach vorne.

• \(v = v_0 + a \cdot t\)

• \(v\): Endgeschwindigkeit
• \(v_0\): Anfangsgeschwindigkeit
• \(a\): Beschleunigung
• \(t\): Zeit

• \(v = 0\, \text{m/s} + 1.33\, \text{m/s}^2 \times 10\, \text{s}\)
• \(v = 13.3\, \text{m/s}\)

d)

Lösung:

Aufgabe: Betrachte ein Auto mit einer Masse von 1500 kg, das sich unter dem Einfluss mehrerer Kräfte bewegt. Die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, führt zu einer Beschleunigung.

Angenommen, die resultierende Kraft, die auf das Auto wirkt, wird durch eine konstante Kraft von 4500 N nach vorne und einen Luftwiderstand von 1500 N nach hinten und eine konstante Reibungskraft von 1000 N nach hinten bestimmt.

• d) Bestimme den zurückgelegten Weg des Autos in diesen 10 Sekunden.

Lösung:

1. Wir wissen, dass das Auto anfänglich in Ruhe war, daher ist die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) gleich 0.
2. Die Beschleunigung des Autos haben wir zuvor mit 1.33 \(\text{m/s}^2\) berechnet.
3. Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, verwenden wir die Gleichung für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

• \(s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)

• \(s = \frac{1}{2} a t^2\)

• \(a = 1.33\, \text{m/s}^2\)
• \(t = 10\, \text{s}\)
• \(s = \frac{1}{2} \times 1.33\, \text{m/s}^2 \times (10\, \text{s})^2\)
• \(s = \frac{1}{2} \times 1.33 \times 100\, \text{m}\)
• \(s = 0.665 \times 100\, \text{m}\)
• \(s = 66.5\, \text{m}\)

Aufgabe 3)

Ein Raumfahrzeug treibt sich im Vakuum des Weltalls mittels eines Raketenmotors an. Der Raketenmotor stößt kontinuierlich Abgasstrahlen in eine Richtung aus, was das Raumfahrzeug in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt. Betrachten wir den Prozess und Analysieren die auftretenden Kräfte sowie ihre Wechselwirkung.

d)

d) Diskutiere die Rolle der Trägheit und das Verhalten des Systems in einem Inertialsystem, und wie das dritte Newton'sche Gesetz dabei eine Rolle spielt. Erkläre weiterhin, warum es im Kontext von Inertialsystemen gilt und wie dies Einfluss auf das Verständnis der Mechanik im Weltall hat.

Lösung:

Um das Verhalten des Systems im Vakuum des Weltalls zu verstehen, müssen wir die Prinzipien der Trägheit und das dritte Newton'sche Gesetz in einem Inertialsystem betrachten.

Trägheit und Inertialsysteme

• Trägheit: Die Trägheit ist die Eigenschaft eines Körpers, seinen Bewegungszustand (sei es Ruhe oder gleichförmige geradlinige Bewegung) beizubehalten, solange keine äußere Kraft auf ihn wirkt. Im Weltall, wo nahezu keine äußeren Kräfte wie Luftwiderstand oder Reibung wirken, bleibt ein Raumfahrzeug im gleichen Bewegungszustand, bis eine Kraft, wie die von einem Raketenmotor, eingreift.
• Inertialsysteme: Ein Inertialsystem ist ein Bezugsrahmen, in dem ein Körper ohne äußere Kräfte entweder in Ruhe bleibt oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die Gesetze der klassischen Mechanik, insbesondere die Newton'schen Gesetze, gelten in Inertialsystemen.

Das dritte Newton'sche Gesetz im Kontext

Das dritte Newton'sche Gesetz besagt, dass für jede Kraft (Aktion) eine gleich große, aber entgegengesetzte Kraft (Reaktion) existiert. Mathematisch beschrieben durch:

 F_{AB} = -F_{BA} 

Das bedeutet: Wenn das Raumfahrzeug (Objekt A) eine Kraft F_{AB} auf die ausgestoßenen Abgaspartikel (Objekt B) ausübt, üben die Abgaspartikel eine gleich große, aber entgegengesetzte Kraft F_{BA} auf das Raumfahrzeug aus.

Warum das dritte Newton'sche Gesetz in Inertialsystemen gilt:

• In Inertialsystemen gelten die Naturgesetze der klassischen Mechanik uneingeschränkt. Das dritte Newton'sche Gesetz beschreibt die fundamentale Wechselwirkung zwischen Kräften richtig, unabhängig von der speziellen Situation.
• Im Inertialsystem des Raumschiffs befindet sich alles in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung, bis eine äußere Kraft ins Spiel kommt. Der Raketenmotor ist eine solche Kraft und bewirkt durch die ausgestoßenen Abgase eine Bewegung des Raumschiffs.

Einfluss auf das Verständnis der Mechanik im Weltall:

• Kraftwechselwirkung: Das dritte Newton'sche Gesetz hilft zu verstehen, warum das Raumfahrzeug im Vakuum beschleunigt wird. Die ausgestoßenen Abgaspartikel bewirken durch ihre Rückwirkung eine Beschleunigung des Raumfahrzeugs in die entgegengesetzte Richtung.
• Gleichmäßige Beschleunigung: In einem nahezu perfekten Vakuum gibt es keine äußeren Widerstände. Daher bleibt die Beschleunigung konstant, solange die Kraft des Raketenmotors konstant bleibt.
• Langfristige Bewegung: Einmal in Bewegung, erfordert es keine zusätzliche Kraft, um das Raumfahrzeug in einer gleichmäßigen Geschwindigkeit weiter zu bewegen (aufgrund der Trägheit), solange keine weiteren äußeren Kräfte wirken.

Zusammengefasst erklären das dritte Newton'sche Gesetz und die Prinzipien der Trägheit, warum und wie ein Raumfahrzeug im Vakuum des Weltalls funktioniert. Indem das Raumfahrzeug Abgasstrahlen ausstößt, wird es gemäß den Wechselwirkungskräften nach vorne beschleunigt, und aufgrund der Trägheit wird es seine Bewegung fortsetzen, solange keine weiteren Kräfte darauf einwirken.

Aufgabe 4)

Ein Skifahrer startet aus der Ruhe von der Spitze eines Hügels mit einer Höhe von 100 Metern und gleitet den Hang hinunter. Vernachlässige alle Reibungs- oder Luftwiderstandskräfte.

a)

Berechne die potentielle Energie (in Joule) des Skifahrers am Startpunkt, wenn seine Masse 70 kg beträgt.

Lösung:

Um die potentielle Energie (E_p) des Skifahrers am Startpunkt zu berechnen, können wir die Formel für die potentielle Energie verwenden:

E_p = m × g × h

Dabei sind:

• m die Masse des Skifahrers (70 kg),
• g die Erdbeschleunigung (ca. 9,81 m/s²),
• h die Höhe des Hügels (100 m).

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

Ep = 70 × 9,81 × 100

Das ergibt:

Ep = 68670 Joule

Die potentielle Energie des Skifahrers am Startpunkt beträgt also 68.670 Joule.

b)

Bestimme die Geschwindigkeit des Skifahrers am unteren Ende des Hügels, wenn die gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird.

Lösung:

Um die Geschwindigkeit des Skifahrers am unteren Ende des Hügels zu bestimmen, nutzen wir das Prinzip der Energieumwandlung. Die gesamte potentielle Energie (E_p) wird in kinetische Energie (E_k) umgewandelt.

Die Formel für die kinetische Energie lautet:

E_k = \frac{1}{2} \, m \, v^2

Da die gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt wird, gilt:

\( E_p = E_k \)

Die potentielle Energie (E_p) haben wir bereits berechnet:

E_p = m \, g \, h = 68670 \, \text{Joule}

Jetzt setzen wir diese Werte in die Gleichung der kinetischen Energie ein und lösen nach \( v \) (Geschwindigkeit) auf:

68670 = \frac{1}{2} \, 70 \, v^2

Das vereinfacht sich zu:

68670 = 35 \, v^2

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 35:

v^2 = \frac{68670}{35}

Das ergibt:

v^2 = 1962

Um \( v \) zu finden, nehmen wir die Quadratwurzel von 1962:

v = \sqrt{1962}

Das ergibt ungefähr:

v \approx 44,3 \, \text{m/s}

Die Geschwindigkeit des Skifahrers am unteren Ende des Hügels beträgt also etwa 44,3 m/s.

c)

Erkläre, warum die Annahme der Energieerhaltung in diesem Szenario gerechtfertigt ist, und gebe Beispiele für Kräfte, die die Gesamtenergie des Systems beeinflussen könnten, wenn sie berücksichtigt würden.

Lösung:

Die Annahme der Energieerhaltung in diesem Szenario ist gerechtfertigt, da alle Reibungs- und Luftwiderstandskräfte vernachlässigt werden. In einem idealen System, in dem keine äußeren Kräfte wie Reibung oder Luftwiderstand wirken, bleibt die Gesamtenergie des Systems konstant. Dies bedeutet, dass die potentielle Energie des Skifahrers am Startpunkt vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird, wenn er den Hügel hinuntergleitet.

Wenn jedoch reale Bedingungen berücksichtigt werden, könnten mehrere Kräfte die Gesamtenergie des Systems beeinflussen:

• Reibungskraft: Die Reibung zwischen den Skiern und dem Schnee würde einen Teil der mechanischen Energie in Wärmeenergie umwandeln, was die kinetische Energie des Skifahrers am Ende des Hügels verringern würde.
• Luftwiderstand: Der Luftwiderstand würde ebenfalls mechanische Energie in Wärmeenergie umwandeln. Der Skifahrer müsste Arbeit leisten, um den Luftwiderstand zu überwinden, was ebenfalls die kinetische Energie am Ende des Hügels reduzieren würde.
• Interne Verluste: Energie könnte innerhalb der Skiausrüstung und des Körpers des Skifahrers in Form von Vibrationen und Verformungen verloren gehen.

In einem realen Szenario wäre es nötig, diese Kräfte zu berücksichtigen, um die tatsächliche Geschwindigkeit des Skifahrers am unteren Ende des Hügels genau zu bestimmen.