Experimentalphysik 2: Wärmelehre und Elektrodynamik - Exam

Aufgabe 1)

Maxwell-Gleichungen und Anwendungen in der Elektrodynamik: Die Maxwell-Gleichungen beschreiben die grundlegenden Gesetze der Elektrodynamik und sind von zentraler Bedeutung für das Studium der Physik. Diese vier Gleichungen beinhalten: das Gaußsche Gesetz für Elektrizität, das Gaußsche Gesetz für Magnetismus, das Faradaysche Gesetz der Induktion und das Ampèresche Gesetz (mit Maxwell-Korrektur).

Aufgabe 2)

Betrachte ein ideales Gas in einem abgeschlossenen, starren Behälter mit einem Volumen von 1 m³. Der Behälter enthält 1 Mol des Gases bei einer Anfangstemperatur von 300 K. An diesem Gas wird eine reversible isotherme Expansion durchgeführt, bis das Volumen das Doppelte des ursprünglichen Volumens beträgt.

a)

Berechne den Enddruck des Gases nach der Expansion und erkläre den angewandten Prozess.

• Verwende das ideale Gasgesetz \(pV = nRT\).
• Beschreibe den isothermen Expansionsprozess und wie sich dabei die Zustandsgrößen verändern.

Lösung:

Um den Enddruck des Gases nach der Expansion zu berechnen und den isothermen Expansionsprozess zu erklären, befolge diese Schritte:

• Verwende das ideale Gasgesetz:

Das ideale Gasgesetz lautet:

pV = nRT

Dabei stehen:

• \(p\) für den Druck in Pascal (Pa)

• \(V\) für das Volumen in Kubikmetern (m³)
• \(n\) für die Stoffmenge in Mol
• \(R\) für die Gaskonstante in J/(mol·K)
• \(T\) für die absolute Temperatur in Kelvin (K)

In der Anfangssituation sind die gegebenen Werte:

• \(n = 1\) Mol
• \(T = 300\) K
• \(V_{initial} = 1\) m³

Da das Gas ideal ist, wenden wir das ideale Gasgesetz zunächst auf die Anfangsbedingungen an:

p_{initial} V_{initial} = nRT

Den Druck \(p_{initial}\) berechnen wir aus diesem Ausdruck:

p_{initial} = \frac{nRT}{V_{initial}}

Setzen wir die Werte ein:

p_{initial} = \frac{1 \cdot 8.314 \cdot 300}{1} = 2494.2\text{ Pa}

Jetzt betrachten wir die isotherme Expansion. Da die Temperatur bei dieser Art der Expansion konstant bleibt (isotherm), ändert sich nur das Volumen:

• \(V_{end} = 2 \cdot V_{initial} = 2\) m³

Das ideale Gasgesetz bleibt gültig:

p_{end} V_{end} = nRT

Da \(n\), \(R\) und \(T\) konstant und bekannt sind, müssen wir nur den Enddruck \(p_{end}\) bestimmen:

p_{end} = \frac{nRT}{V_{end}}

Setzen wir die Werte ein:

p_{end} = \frac{1 \cdot 8.314 \cdot 300}{2} = 1247.1\text{ Pa}

Ein isothermer Expansionsprozess ist dadurch charakterisiert, dass die Temperatur des Gases konstant bleibt. Während der Expansion erhöht sich das Volumen des Gases, wobei die innere Energie unverändert bleibt. Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik bedeutet das, dass die zugeführte Wärme vollständig als Arbeit an die Umgebung abgegeben wird. Da die Temperatur konstant ist, gilt weiterhin das ideale Gasgesetz, und der Druck des Gases nimmt proportional zum Anstieg des Volumens ab.

b)

Berechne die Änderung der Entropie des Gases während des isothermen Expansionsprozesses.

• Nutze die Boltzmannsche Zustandsgleichung \( S = k_B \, \text{ln} \, \text{Ω} \) und das ideale Gasgesetz.
• Gib die Änderungen der Entropie in den entsprechenden Einheiten an und erkläre, was sie physikalisch bedeuten.

Lösung:

Um die Änderung der Entropie des Gases während des isothermen Expansionsprozesses zu berechnen, folgen diese Schritte:

• Nutze die Boltzmannsche Zustandsgleichung und das ideale Gasgesetz:

Die Boltzmannsche Zustandsgleichung lautet:

S = k_B \, \text{ln} \, \text{Ω}

Für ein ideales Gas lässt sich die Entropieänderung bei einer isothermen Expansion auch aus dem Zusammenhang ableiten:

\Delta S = nR \, \text{ln} \, \frac{V_f}{V_i}

Dabei stehen:

• \(\Delta S\) für die Entropieänderung
• \(n\) für die Stoffmenge in Mol
• \(R\) für die universelle Gaskonstante (8.314 J/(mol·K))
• \(V_f\) für das Endvolumen
• \(V_i\) für das Anfangsvolumen

In unserem Fall sind die Werte:

• \(n = 1\) Mol
• \(V_i = 1\) m³
• \(V_f = 2\) m³

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\Delta S = 1 \times 8.314 \, \text{ln} \, \frac{2}{1}

Das ergibt:

\Delta S = 8.314 \, \text{ln} \, 2

Da \(\text{ln} \, 2 \approx 0.693\), erhalten wir:

\Delta S = 8.314 \, \times 0.693 = 5.76 \, \text{J/(mol·K)}

Die Entropie ist ein Maß für die Unordnung oder die Anzahl der Mikrozustände, die einem Makrozustand eines Systems entsprechen. Eine positive Entropieänderung bedeutet, dass das System unordentlicher geworden ist. Während der isothermen Expansion erhöht sich das Volumen des Gases: Die Teilchen haben jetzt mehr Raum zur Verfügung und können sich freier bewegen, was zu einer Zunahme der Unordnung führt. Physikalisch gesehen gibt die Änderung der Entropie die Energiedispersion im System an – in diesem Fall bedeutet die positive Entropieänderung, dass die Energie über mehr mögliche Mikrozustände verteilt ist.

Aufgabe 3)

Basierend auf den Hauptsätzen der Thermodynamik und ihren Anwendungen, sei folgendes System gegeben: Ein ideales Gas, das in einem adiabatischen Zylinder mit einem beweglichen Kolben eingeschlossen ist. Der Zylinder ist in Kontakt mit einem heißen Wärmereservoir (Temperatur T\textsubscript{H}) und einem kalten Wärmereservoir (Temperatur T\textsubscript{C}). Der Kolben führt eine Carnot-Verlaufsbewegung aus, bei der reversible Isothermen und adiabatische Prozesse ablaufen.

a)

Teilaufgabe a): Berechne die Wärme Q\textsubscript{H}, die vom heißen Wärmereservoir aufgenommen wird, und die Wärme Q\textsubscript{C}, die an das kalte Wärmereservoir abgegeben wird, unter Berücksichtigung eines Carnot-Kreislaufs. Formuliere Deine Berechnungen mit Hilfe des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik. Begründe die Anwendung der Formeln in diesem speziellen Fall.

Lösung:

Teilaufgabe a): Berechne die Wärme Q_H, die vom heißen Wärmereservoir aufgenommen wird, und die Wärme Q_C, die an das kalte Wärmereservoir abgegeben wird, unter Berücksichtigung eines Carnot-Kreislaufs. Formuliere Deine Berechnungen mit Hilfe des 1. Hauptsatzes der Thermodynamik. Begründe die Anwendung der Formeln in diesem speziellen Fall.Lösung:

• Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik: Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet: \[\triangle U = Q - W\] wobei \[\triangle U\] die Änderung der inneren Energie, \[Q\] die zugeführte Wärme und \[W\] die verrichtete Arbeit ist. Für einen vollständigen Zyklus eines Carnot-Prozesses bleibt die innere Energie unverändert (\[\triangle U = 0\]), daher gilt: \[Q = W\]
• Der Carnot-Wirkungsgrad: Der Carnot-Wirkungsgrad \[\eta\] ist definiert als: \[\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}\] wobei \[T_C\] die Temperatur des kalten und \[T_H\] die des heißen Reservoirs ist.
• Verhältnis von Arbeit zu Wärme: Der Wirkungsgrad \[\eta\] beschreibt das Verhältnis der verrichteten Arbeit \[W\] zur aufgenommenen Wärme \[Q_H\]: \[\eta = \frac{W}{Q_H}\] Daraus folgt: \[W = \eta \times Q_H\] bzw. \[W = \left(1 - \frac{T_C}{T_H}\right) \times Q_H\]
• Berechnung der abgegebenen Wärme \[Q_C\]: Im Carnot-Kreislauf wird auch Wärme an das kalte Reservoir abgegeben, wobei: \[Q_C = Q_H - W\] Setze den Ausdruck für \[W\] ein: \[Q_C = Q_H - \left(1 - \frac{T_C}{T_H}\right) \times Q_H\] Das vereinfacht sich zu: \[Q_C = Q_H \times \frac{T_C}{T_H}\]

• Aufgenommene Wärme: \[Q_H\]
• Abgegebene Wärme: \[Q_C = Q_H \times \frac{T_C}{T_H}\]

b)

Teilaufgabe b): Bestimme die Entropieänderung \Delta S\textsubscript{H} des heißen Wärmereservoirs, \Delta S\textsubscript{C} des kalten Wärmereservoirs und \Delta S\textsubscript{tot} für den gesamten Prozess. Verwende den 2. Hauptsatz der Thermodynamik, um zu erklären, warum \Delta S\textsubscript{tot} null sein muss.

Lösung:

Teilaufgabe b): Bestimme die Entropieänderung \( \Delta S_H \) des heißen Wärmereservoirs, \( \Delta S_C \) des kalten Wärmereservoirs und \( \Delta S_\text{tot} \) für den gesamten Prozess. Verwende den 2. Hauptsatz der Thermodynamik, um zu erklären, warum \( \Delta S_\text{tot} \) null sein muss.Lösung:

• Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik: Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die totale Entropieänderung eines reversiblen Prozesses in einem abgeschlossenen System null ist. Das heißt: \[ \Delta S_\text{tot} = \Delta S_H + \Delta S_C = 0 \]
• Entropieänderung des heißen Wärmereservoirs: Die Entropieänderung des heißen Wärmereservoirs (\( \Delta S_H \)) ist gegeben durch: \[ \Delta S_H = -\frac{Q_H}{T_H} \] Weil die Wärme \( Q_H \) vom heißen Reservoir abgegeben wird, ist die Entropieänderung negativ.
• Entropieänderung des kalten Wärmereservoirs: Die Entropieänderung des kalten Wärmereservoirs (\( \Delta S_C \)) ist gegeben durch: \[ \Delta S_C = \frac{Q_C}{T_C} \] Dabei wird die Wärme \( Q_C \) vom kalten Reservoir aufgenommen, weshalb die Entropieänderung positiv ist.
• Berechnung der abgegebenen Wärme \(Q_C\): Wir wissen bereits, dass: \[ Q_C = Q_H \times \frac{T_C}{T_H} \]
• Gesamte Entropieänderung: Die totale Entropieänderung \( \Delta S_\text{tot} \) ist die Summe der Entropieänderungen der beiden Reservoirs: \[ \Delta S_\text{tot} = \Delta S_H + \Delta S_C \] Setzen wir die entsprechenden Werte von \( \Delta S_H \) und \( \Delta S_C \) ein: \[ \Delta S_\text{tot} = -\frac{Q_H}{T_H} + \frac{Q_C}{T_C} \] Dabei setzen wir für \( Q_C \) den Ausdruck \( Q_H \times \frac{T_C}{T_H} \) ein: \[ \Delta S_\text{tot} = -\frac{Q_H}{T_H} + \frac{Q_H \times \frac{T_C}{T_H}}{T_C} \] \[ \Delta S_\text{tot} = -\frac{Q_H}{T_H} + \frac{Q_H}{T_H} \] \[ \Delta S_\text{tot} = 0 \]

• Entropieänderung des heißen Wärmereservoirs: \( \Delta S_H = -\frac{Q_H}{T_H} \)
• Entropieänderung des kalten Wärmereservoirs: \( \Delta S_C = \frac{Q_C}{T_C} \)
• Totale Entropieänderung: \( \Delta S_\text{tot} = 0 \)

c)

Teilaufgabe c): Berechne den Wirkungsgrad \eta des Carnot-Motors und stelle grafisch dar, wie der Wirkungsgrad mit der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Wärmereservoirs variiert. Diskutiere, warum der Wirkungsgrad immer kleiner als 1 ist und verbinde dies mit dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

Lösung:

Teilaufgabe c): Berechne den Wirkungsgrad \(\eta\) des Carnot-Motors und stelle grafisch dar, wie der Wirkungsgrad mit der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Wärmereservoirs variiert. Diskutiere, warum der Wirkungsgrad immer kleiner als 1 ist und verbinde dies mit dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik.Lösung:

• Berechnung des Wirkungsgrads: Der Wirkungsgrad \(\eta\) eines Carnot-Motors ist gegeben durch: \[\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}\] wobei \(T_C\) die Temperatur des kalten Wärmereservoirs und \(T_H\) die Temperatur des heißen Wärmereservoirs ist. Beide Temperaturen müssen in Kelvin angegeben werden.
• Grafische Darstellung: Der Wirkungsgrad \(\eta\) variiert mit der Temperaturdifferenz \(\Delta T = T_H - T_C\). Wenn \(\Delta T\) größer wird (das heißt, wenn der Unterschied zwischen den Temperaturen der beiden Reservoirs größer wird), steigt auch der Wirkungsgrad, nähert sich jedoch niemals 1 an. Dies kann grafisch durch eine plot dargestellt werden:Beispiel eines Plots: Um die grafische Darstellung zu erstellen, kann ein einfacher Plot generiert werden, in dem der Wirkungsgrad \(\eta\) gegen die Temperaturdifferenz \(\Delta T = T_H - T_C\) aufgetragen wird. Ein Beispiel in Python (mit Matplotlib) könnte so aussehen:

  import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# Definition der TemperaturenT_C = np.linspace(200, 300, 100) # kaltes Reservoir (in Kelvin)T_H = np.linspace(300, 1000, 100) # heißes Reservoir (in Kelvin)# Berechnung des Wirkungsgradeseta = 1 - (T_C[:, np.newaxis] / T_H)# Plottenplt.figure(figsize=(10, 6))for i, T_H_temp in enumerate(T_H):    plt.plot(T_H - T_C, eta[:, i], label=f'T_H = {T_H_temp} K')

plt.xlabel('Temperaturdifferenz \(\Delta T = T_H - T_C\) [K]')plt.ylabel('Wirkungsgrad \(\eta\)')plt.legend()plt.title('Wirkungsgrad des Carnot-Motors in Abhängigkeit von der Temperaturdifferenz')plt.grid(True)plt.show()
• Diskussion: Der Wirkungsgrad eines Carnot-Motors kann niemals 1 erreichen (100%), selbst wenn \(T_C\) gegen 0 K geht oder \(T_H\) sehr groß wird. Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik gibt vor, dass keine Maschine existiert, die eine vollständig reversible Umwandlung von Wärme in Arbeit ohne jegliche Verluste durch Entropieänderung durchführen kann. Der Wirkungsgrad sinkt immer unter 1, weil ein Teil der zugeführten Wärmeenergie immer an das kalte Reservoir abgegeben werden muss. Dies ist notwendig, um den Kreislaufprozess durchzuführen und sicherzustellen, dass die zweite Temperatur \(T_C\) erhalten bleibt.Zusammenfassung:
  • Der Wirkungsgrad \(\eta\) eines Carnot-Motors wird durch \(\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}\) bestimmt.
  • Ein höherer Temperaturunterschied zwischen dem heißen und dem kalten Reservoir führt zu einem höheren Wirkungsgrad, aber \(\eta\) kann niemals 1 erreichen.
  • Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik verhindert einen Wirkungsgrad von 100%, weil eine gewisse Entropieänderung (echte Verluste) unvermeidlich ist.

  d)

  Teilaufgabe d): Diskutiere, wie der 3. Hauptsatz der Thermodynamik die Effizienz eines Kühlsystems bei extrem niedrigen Temperaturen beeinflusst. Was bedeutet dies für die praktische Umsetzbarkeit von Kühlsystemen, die bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt operieren?

  Lösung:

  Teilaufgabe d): Diskutiere, wie der 3. Hauptsatz der Thermodynamik die Effizienz eines Kühlsystems bei extrem niedrigen Temperaturen beeinflusst. Was bedeutet dies für die praktische Umsetzbarkeit von Kühlsystemen, die bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt operieren?Lösung:

  • Der 3. Hauptsatz der Thermodynamik: Der 3. Hauptsatz der Thermodynamik, auch bekannt als das Nernst-Theorem, besagt, dass die Entropie eines perfekten Kristalls bei einer Temperatur von 0 Kelvin (absoluter Nullpunkt) genau null ist. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies, dass: \[ \lim_{T \to 0} S = 0 \]
  • Effizienz eines Kühlsystems bei niedrigen Temperaturen: Kühlanlagen, wie z. B. Kältemaschinen, müssen Arbeit (W) aufwenden, um Wärme \(Q_C\) von einem kalten Reservoir bei Temperatur \(T_C\) auf ein heißes Reservoir bei Temperatur \(T_H\) zu übertragen. Der 3. Hauptsatz wirkt sich auf die Effizienz eines solchen Systems aus und wird deutlich, wenn man den Wirkungsgrad oder die Leistungszahl (COP, Coefficient of Performance) betrachtet: Für Kältemaschinen ist der COP definiert als: \[ \text{COP}_{\text{Kühl}} = \frac{Q_C}{W} = \frac{T_C}{T_H - T_C} \] Wenn \(T_C\) extrem niedrig ist, geht \(T_C\) gegen null, und der COP geht ebenfalls gegen null: \[ \text{COP}_{\text{Kühl}} \to 0, \text{ wenn } T_C \to 0 \]
  • Praktische Umsetzbarkeit:
    • Da der COP bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt gegen null geht, wird es zunehmend ineffizient, Wärme aus dem System abzuleiten.
    • Der Arbeitsaufwand steigt exponentiell an, je näher \(T_C\) dem absoluten Nullpunkt ist.
    • Das bedeutet, dass extrem niedrige Temperaturen mit sehr hohem Energieaufwand und sehr geringer Effizienz erreichbar sind, was die praktische Umsetzung solcher Kühlsysteme schwierig macht.
    • Zusätzlich treten technische und physikalische Herausforderungen auf:
    • Materialien verhalten sich anders bei niedrigen Temperaturen (Supraleitung, besondere metallurgische Eigenschaften).
    • Es können Quantenphänomene auftreten, die bei höheren Temperaturen nicht beobachtet werden.
  Zusammenfassung:
  • Der 3. Hauptsatz der Thermodynamik impliziert, dass es unmöglich ist, ein System bis zum absoluten Nullpunkt zu kühlen, weil die erforderliche Arbeit ins Unendliche geht und der COP gegen null strebt.
  • Effizientes Kühlen bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt ist aus energietechnischen, materialtechnischen und physikalischen Gründen praktisch nicht umsetzbar.

  Aufgabe 4)

  Phasenübergänge: Thermodynamische Beschreibung und Clausius-Clapeyron-Gleichung. Phasenübergänge sind Übergänge zwischen festen, flüssigen und gasförmigen Zuständen. Erster und zweiter Phasenübergang beinhalten einen Energieaustausch ohne Temperaturänderung. Die Energie, die bei einem Phasenübergang absorbiert oder freigesetzt wird, nennt man latente Wärme. Die Clausius-Clapeyron-Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen Druck und Temperatur während eines Phasenübergangs: \[ \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(\Delta v)} \] , wobei \(L\) die latente Wärme, \(T\) die Temperatur, und \(\Delta v\) die Volumenänderung ist.

  a)

  Aufgabe: Bestimme die latente Wärme des Phasenübergangs von Wasser zu Wasserdampf bei 100 °C, wenn der Druck sich um 1 atm (101325 Pa) ändert und die Volumenänderung \(\Delta v = v_{Dampf} - v_{Wasser}\) ist. Die molare Masse von Wasser beträgt 18 g/mol und das molare Volumen des Wasserdampfes bei 100 °C und 1 atm beträgt 30,6 l/mol.

  Lösung:

  Um die latente Wärme des Phasenübergangs von Wasser zu Wasserdampf bei 100 °C zu bestimmen, verwenden wir die Clausius-Clapeyron-Gleichung:

  \[ \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(\Delta v)} \]

  • Gegebene Werte:
  • Temperatur: T = 100 °C = 373,15 K
  • Änderung im Druck: dP = 1 atm = 101325 Pa
  • Molare Masse von Wasser: 18 g/mol
  • Molares Volumen des Wasserdampfes bei 100 °C und 1 atm: v_{Dampf} = 30,6 l/mol = 0,0306 m³/mol (Umrechnung von l zu m³)
  • Molares Volumen von flüssigem Wasser bei 100 °C (vernachlässigbar klein): v_{Wasser} ≈ 0,018 l/mol = 0,000018 m³/mol (Umrechnung von l zu m³)
  • Volumenänderung: \(\Delta v = v_{Dampf} - v_{Wasser} \approx 0,0306 m³/mol - 0,000018 m³/mol = 0,030582 m³/mol\)
  • Umstellen der Clausius-Clapeyron-Gleichung nach L:
  • \[ L = \frac{dP}{dT} \cdot T \cdot \Delta v \]
  • Einsetzen der Werte:
  • \[ L = 101325 \cdot 373,15 \cdot 0,030582 \]
  • Berechnung der latenten Wärme:
  • \[ L \approx 11506269 \frac{J}{mol} \]
  • Um ausländische Werte in gebräuchliche Einheiten umzurechnen, teilen wir das Ergebnis durch 1000, um J in kJ umzuwandeln:
  • \[ L \approx 115,063 \frac{kJ}{mol} \]

  Die latente Wärme des Phasenübergangs von Wasser zu Wasserdampf bei 100 °C (1 atm) beträgt also etwa 115,063 kJ/mol.

  b)

  Leite die Clausius-Clapeyron-Gleichung her, beginnend mit der Grundannahme, dass die chemischen Potentiale der beiden Phasen im Gleichgewicht gleich sind, und gehe von der Gibbs'schen Fundamentalgleichung aus.

  Lösung:

  Die Clausius-Clapeyron-Gleichung wird abgeleitet, indem wir davon ausgehen, dass die chemischen Potentiale der beiden Phasen im Gleichgewicht gleich sind. Wir beginnen dabei mit der Gibbs'schen Fundamentalgleichung.

  Die Gibbs'sche Fundamentalgleichung lautet:

  \[ dG = V dP - S dT + \text{andere Terme (falls vorhanden)} \]

  Für eine Phase A (z.B. Flüssigkeit) und eine Phase B (z.B. Gas) gilt im Gleichgewicht:

  \[ \text{d} G_A = \text{d} G_B \]

  Da wir uns nur mit Druck (P) und Temperatur (T) beschäftigen, können die anderen Terme vernachlässigt werden:

  • Für Phase A:
  • \[ dG_A = V_A dP - S_A dT \]
  • Für Phase B:
  • \[ dG_B = V_B dP - S_B dT \]
  • Im Gleichgewicht haben wir:
  • \[ V_A dP - S_A dT = V_B dP - S_B dT \]

  Umstellen liefert:

  • \[ V_A dP - V_B dP = S_A dT - S_B dT \]
  • \[ (V_B - V_A) dP = (S_B - S_A) dT \]
  • \[ dP = \frac{S_B - S_A}{V_B - V_A} dT \]

  Nun können wir die Entropien durch die latente Wärme ersetzen. Die molare latente Wärme L ist die Energie, die absorbiert oder freigesetzt wird, wenn eine Substanz den Phasenübergang durchläuft. Sie ist definiert als:

  \[ S_B - S_A = \frac{L}{T} \]

  Einsetzen dieser Beziehung in obige Gleichung:

  • \[ dP = \frac{ \frac{L}{T} }{V_B - V_A} dT \]
  • \[ \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(V_B - V_A)} \]

  Dies ist die Clausius-Clapeyron-Gleichung:

  \[ \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T (\Delta v)} \]

  wobei \( \Delta v = V_B - V_A \) die Volumenänderung ist.

  Die Clausius-Clapeyron-Gleichung ist somit hergeleitet.

  c)

  Diskutiere, wie sich die Clausius-Clapeyron-Gleichung auf den Phasenübergang von fest zu flüssig anwenden lässt. Welche Unterschiede und Besonderheiten ergeben sich im Vergleich zum flüssig-gasförmigen Phasenübergang?

  Lösung:

  Die Anwendung der Clausius-Clapeyron-Gleichung auf den Phasenübergang von fest zu flüssig unterscheidet sich in einigen wesentlichen Punkten von der Anwendung auf den flüssig-gasförmigen Phasenübergang.

  • Änderung des Volumens (\(\Delta v\)):Beim Übergang von fest zu flüssig (z.B. Eis zu Wasser) ist die Volumenänderung kleiner im Vergleich zur Volumenänderung beim Übergang von flüssig zu gasförmig (z.B. Wasser zu Wasserdampf). Dies liegt daran, dass die Dichte von Feststoffen und Flüssigkeiten vergleichbar ist, während die Dichte von Gasen viel kleiner ist. Daher ist \(\Delta v\) beim Übergang von fest zu flüssig wesentlich geringer.
  • Latente Wärme (\(L\)):Die latente Wärme beim Schmelzvorgang (fest zu flüssig) ist in der Regel kleiner als die Verdampfungswärme (flüssig zu gasförmig). Der Grund dafür ist, dass beim Schmelzen nur die Bindungen in der festen Struktur gelöst werden müssen, während beim Verdampfen die Moleküle vollständig voneinander getrennt werden.
  • Druckabhängigkeit:Die Clausius-Clapeyron-Gleichung zeigt, dass die Änderung des Drucks in Bezug auf die Temperatur (\(\frac{dP}{dT}\)) von der latenten Wärme und der Volumenänderung abhängt. Da \(\Delta v\) beim Schmelzen kleiner ist, reagiert der Druck weniger stark auf Temperaturänderungen. Dies bedeutet, dass die Schmelzlinie in einem Phasendiagramm im Allgemeinen steiler verläuft als die Siedelinie.
  • Form der Gleichung:Die Clausius-Clapeyron-Gleichung bleibt formal dieselbe. Um den Einfluss des kleinen Volumens beim Schmelzen zu berücksichtigen, sollten spezifische Volumina für den Feststoff und die Flüssigkeit verwendet werden:

  \[ \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(\Delta v)} \]

  Hierbei ist \(\Delta v = v_{flüssig} - v_{fest}\).

  • Ein anschauliches Beispiel ist der Phasenübergang von Eis zu Wasser. Beim Schmelzen von Eis ist v_{flüssig} etwa 1,000 cm³/g und v_{fest} etwa 0,917 cm³/g unter Normalbedingungen. Der Wert von \(\Delta v\) ist also relativ klein.

  Fazit: Die Anwendung der Clausius-Clapeyron-Gleichung auf den fest-flüssig-Phasenübergang zeigt kleinere Volumen- und latente Wärmeänderungen im Vergleich zum flüssig-gasförmigen Phasenübergang, was zu unterschiedlichen Druck-Temperatur-Verläufen führt. Die Grundform der Gleichung bleibt jedoch unverändert.

  d)

  Ein Phasenübergang erster Ordnung zeigt typischerweise einen sprunghaften Wechsel in der Volumenausdehnung. Beschreibe die physikalische Bedeutung dessen und stelle dar, wie sich das in der Clausius-Clapeyron-Gleichung reflektiert.

  Lösung:

  Ein Phasenübergang erster Ordnung ist durch sprunghafte Änderungen physikalischer Größen wie Volumen, Entropie oder innere Energie gekennzeichnet. Sprunghafte Wechsel in der Volumenausdehnung während eines Phasenübergangs erster Ordnung haben signifikante physikalische Bedeutungen und werden durch die Clausius-Clapeyron-Gleichung reflektiert.

  • Physikalische Bedeutung des sprunghaften Wechsels in der Volumenausdehnung:Beim Phasenübergang ändert sich plötzlich das spezifische Volumen einer Substanz. Zum Beispiel:
  • Beim Übergang von Eis (feste Phase) zu Wasser (flüssige Phase) bei 0°C erhöht sich das Volumen geringfügig.
  • Beim Übergang von Wasser (flüssige Phase) zu Wasserdampf (gasförmige Phase) bei 100°C erhöht sich das Volumen drastisch.
  • Diese sprunghaften Wechsel sind charakteristisch für Phasenübergänge erster Ordnung und resultieren aus dem Bruch und der Neubildung von Bindungen zwischen den Molekülen. Diese Übergänge führen zu abrupten Änderungen in den physikalischen Eigenschaften, wie Dichte und Volumen.
  • Reflexion in der Clausius-Clapeyron-Gleichung:Die Clausius-Clapeyron-Gleichung betrachtet die Beziehung zwischen Druck (P) und Temperatur (T) während eines Phasenübergangs:

  \[ \frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(\Delta v)} \]

  • Hierbei stellt \(\Delta v\) die Volumenänderung zwischen den Phasen dar.
  • Ein sprunghafter Wechsel in der Volumenausdehnung bedeutet, dass \(\Delta v\) signifikante Werte annimmt. In der Clausius-Clapeyron-Gleichung reflektiert \(\Delta v\) die Diskontinuität des spezifischen Volumens zwischen den Phasen:
  • Beim Übergang von flüssig zu gasförmig (z.B. Wasser zu Wasserdampf bei 100°C) ist \(\Delta v\) groß, da sich das Volumen erheblich ändert. Dies führt zu einem steilen Anstieg des Drucks mit der Temperatur.
  • Beim Übergang von fest zu flüssig (z.B. Eis zu Wasser bei 0°C) ist \(\Delta v\) kleiner, und die Änderung im Druck mit der Temperatur ist weniger dramatisch.
  • Die sprunghafte Änderung in \(\Delta v\) erklärt auch, warum Phasenlinien (wie Schmelzkurven oder Siedekurven) im Phasendiagramm steile und diskontinuierliche Verläufe haben.

  Zusammenfassung: Die sprunghaften Wechsel in der Volumenausdehnung während eines Phasenübergangs erster Ordnung haben bedeutende physikalische Implikationen, die durch Diskontinuitäten in den spezifischen Volumina der Phasen entstehen. Diese Diskontinuitäten werden in der Clausius-Clapeyron-Gleichung durch den Parameter \(\Delta v\) reflektiert, und sie beeinflussen den Verlauf der Druck-Temperatur-Abhängigkeit bei Phasenübergängen erheblich.