Experimentalphysik 3: Optik und Quantenphänomene - Cheatsheet

Lichtgeschwindigkeit und Brechungsindex

Definition:

Lichtgeschwindigkeit, bei etwa 300.000 km/s im Vakuum, wird durch den Brechungsindex eines Mediums verlangsamt.

Details:

• Brechungsindex (\[n\]): Verhältnis von Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur Geschwindigkeit im Medium
• \[n = \frac{c}{v}\], \[c\]= Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, \[v\]= Lichtgeschwindigkeit im Medium
• Typische Werte: Luft \(n \approx 1\), Glas \(n \approx 1.5\), Wasser \(n \approx 1.33\)
• Führt zu Phänomenen wie Brechung (\(\sin \theta_1 / \sin \theta_2 = n_2 / n_1\)) und Totalreflexion (\(\theta_c = \arcsin(n_2 / n_1)\), für \(n_1 > n_2\))

Interferenzmuster bei Doppelspalt-Experimenten

Definition:

Interferenzmuster bei Doppelspalt-Experimenten entstehen durch Überlagerung von Wellen nach dem Durchgang durch zwei nahe beieinander liegende Spalten.

Details:

• Helle und dunkle Streifen auf dem Schirm.
• Maximale und Minimale Intensität: Konstruktive (\delta = m \lambda) und destruktive (\delta = (m + 1/2) \lambda) Interferenz.
• Gleichung für Intensitätsverteilung: I(\theta) = I_{0} \left[ \cos \left( \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda} \right) \right]^{2}.
• \delta = d \sin \theta mit Abstand der Spalte d, Wellenlänge \lambda, Winkel \theta.
• Quantenphänomene: Elektronen, Photonen zeigen Interferenzmuster.

Beugung am Einzelspalt

Definition:

Lichtbeugung an einem einzelnen Spalt. Beschreibt das Interferenzmuster, das entsteht, wenn monochromatisches Licht durch einen schmalen Spalt fällt.

Details:

• Bedingung für Minima: \(a \sin \theta = m \lambda\), wobei \(m\) eine ganze Zahl (nicht Null), \(a\) die Spaltbreite, \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts und \(\theta\) der Beugungswinkel sind.
• Erstes Minimum bei \(\sin \theta = \frac{\lambda}{a}\)
• Maxima erscheinen zwischen den Minima als Haupt- und Nebenmaxima
• Intensitätsverteilung: \[I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2\] mit \(\beta = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}\)
• Hauptmaximum bei \(\theta = 0\)
• Verbreiterung des Hauptmaximums und Abnahme der Intensität mit kleiner werdendem \(a\)

Photonen und ihre Eigenschaften

Definition:

Lichtquant bzw. Elementarteilchen, welches das elektromagnetische Feld vermittelt.

Details:

• Keine Ruhemasse: \(m_0 = 0\)
• Spin: \(s = 1\)
• Energie: \(E = h f\)
• Impuls: \(p = \frac{E}{c}\)
• Polarisation: linear, zirkular
• Bewegung: immer mit Lichtgeschwindigkeit \(c\)

Laserresonatoren

Definition:

Ein Laserresonator ist eine optische Anordnung, die das Resonanzverhalten und die Strahlungseigenschaften eines Lasers bestimmt.

Details:

• Besteht typischerweise aus zwei Spiegeln: einem hochreflektierenden (HR) Spiegel und einem teilreflektierenden (Output Coupler) Spiegel.
• Verstärkung des Lichts durch konstruktive Interferenz und Mehrfachreflexion.
• Stabilität des Resonators bedingt durch die Spiegelkrümmungen und Abstände: Stabilitätsbedingung \(0 \leq g_1 g_2 \leq 1\) mit \(g_i = 1 - \frac{L}{R_i}\), wobei \(L\) der Abstand der Spiegel und \(R_i\) deren Krümmungsradien sind.
• Modenbildung im Resonator führt zu longitudinalen und transversalen Moden.
• Freie Spektralbereich (FSR): Frequenzabstand der longitudinalen Moden, \(\text{FSR} = \frac{c}{2L}\).
• Qualitätsfaktor \(Q = \frac{2 \pi \text{Energie gespeichert}}{\text{Energieverlust pro Zyklus}}\) beschreibt Güte des Resonators.

Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung

Definition:

Wellenfunktion: mathematische Beschreibung des Quantenobjekts, vollständig beschreibt Zustand eines Systems. Schrödinger-Gleichung: Fundamentale Gleichung der Quantenmechanik zur Zeitentwicklung der Wellenfunktion.

Details:

• Wellenfunktion \( \psi(x,t) \) enthält alle Informationen über das System.
• Quadrat des Betrags der Wellenfunktion \( |\psi(x,t)|^2 \) gibt Wahrscheinlichkeitsdichte.
• Schrödinger-Gleichung (zeitabhängig): \[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = \hat{H}\psi(x,t) \]
• Schrödinger-Gleichung (zeitunabhängig): \[ \hat{H}\psi(x) = E\psi(x) \]
• Hamiltonoperator \( \hat{H} \): Gesamtenergie des Systems (kinetische + potentielle Energie).

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Beschreibt die Grenze der Genauigkeit, mit der gewisse Paare von physikalischen Eigenschaften eines Teilchens (z.B. Impuls und Ort) gleichzeitig gemessen werden können.

Details:

• Zentrale Formel: \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\)
• \(\Delta x\): Standardabweichung der Positionsmessung
• \(\Delta p\): Standardabweichung der Impulsmessung
• Konsequenzen: Je genauer der Ort gemessen wird, desto ungenauer der Impuls und umgekehrt.
• Grundlagen für Quantenmechanik und Quantenphänomene, z.B. quantisierte Energielevel.
• Bedeutung für die Interpretation der Wellenfunktion und das Verständnis von Teilchen-Welle-Dualismus.

Quantenkorrelationen und Quantenverschränkung

Definition:

Quantenkorrelationen: statistische Beziehungen zwischen Quantenobjekten. Quantenverschränkung: starke Form der Quantenkorrelation, bei der Zustände von Teilchen trotz räumlicher Trennung miteinander verknüpft sind.

Details:

• Quantenkorrelationen: Verletzung klassischer Statistik; gemessen über Bell'sche Ungleichungen.
• Quantenverschränkung: Zustand \(\left | \psi \right \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\left | 00 \right \rangle + \left | 11 \right \rangle)\), auch EPR-Paradoxon.
• Messung an einem Teilchen beeinflusst das andere instantan (nicht-lokale Korrelation).
• Experimentell durch Doppelspalt-Experimente & Bell-Tests untersucht.