Experimentalphysik 3: Optik und Quantenphänomene - Exam

Aufgabe 3)

Beugung am EinzelspaltLichtbeugung an einem einzelnen Spalt. Beschreibe das Interferenzmuster, das entsteht, wenn monochromatisches Licht durch einen schmalen Spalt fällt.

• Bedingung für Minima: \(a \sin \theta = m \lambda\), wobei m eine ganze Zahl (nicht Null), a die Spaltbreite, \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts und \(\theta\) der Beugungswinkel sind.
• Erstes Minimum bei \(\sin \theta = \frac{\lambda}{a}\)
• Maxima erscheinen zwischen den Minima als Haupt- und Nebenmaxima
• Intensitätsverteilung: \[I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2\] mit \(\beta = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}\)
• Hauptmaximum bei \(\theta = 0\)
• Verbreiterung des Hauptmaximums und Abnahme der Intensität mit kleiner werdendem a

a)

Ein monochromatischer Lichtstrahl mit einer Wellenlänge von \( \lambda = 500\text{ nm} \) trifft auf einen Einzelspalt mit einer Breite von \( a = 0.1\text{ mm} \).

• Berechne den Winkel \( \theta_1 \) des ersten Minimums der Beugungsfigur.
• Bestimme die Abstände der ersten drei Minima auf einem Schirm, der in einer Entfernung von \( L = 2\text{ m} \) vom Spalt aufgestellt ist.

Lösung:

Beugung am EinzelspaltLichtbeugung an einem einzelnen Spalt. Beschreibe das Interferenzmuster, das entsteht, wenn monochromatisches Licht durch einen schmalen Spalt fällt.

• Bedingung für Minima: \(a \, \sin \, \theta = m \, \lambda\), wobei m eine ganze Zahl ist (nicht Null), a die Spaltbreite, \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts und \(\theta\) der Beugungswinkel sind.
• Erstes Minimum bei \(\sin \, \theta = \frac{\lambda}{a}\)
• Maxima erscheinen zwischen den Minima als Haupt- und Nebenmaxima
• Intensitätsverteilung: \[I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2\] mit \(\beta = \frac{\pi \, a \, \sin \, \theta}{\lambda}\)
• Hauptmaximum bei \(\theta = 0\)
• Verbreiterung des Hauptmaximums und Abnahme der Intensität mit kleiner werdendem a

Löse die folgende Teilaufgabe:Ein monochromatischer Lichtstrahl mit einer Wellenlänge von \(\lambda = 500\text{ nm}\) trifft auf einen Einzelspalt mit einer Breite von \(a = 0.1\text{ mm}\).

• Berechne den Winkel \(\theta_1\) des ersten Minimums der Beugungsfigur.

Um den Winkel \(\theta_1\) des ersten Minimums zu berechnen, nutzen wir die Bedingung für das erste Minimum: \(\sin \, \theta = \frac{\lambda}{a}\).

• Gegeben:
  • \(\lambda = 500 \, \text{nm} = 500 \, \times \, 10^{-9} \, \text{m}\)
  • \(a = 0.1 \, \text{mm} = 0.1 \, \times \, 10^{-3} \, \text{m}\)
• Berechnung:
  • \(\sin \, \theta_1 = \frac{500 \, \times \, 10^{-9}}{0.1 \, \times \, 10^{-3}} = \frac{500 \, \times \, 10^{-9}}{0.1 \, \times \, 10^{-3}} = \frac{500}{100000} = 0.005\)
  • \(\theta_1 = \arcsin(0.005) \approx 0.286^\circ\)

• Bestimme die Abstände der ersten drei Minima auf einem Schirm, der in einer Entfernung von \(L = 2\text{ m}\) vom Spalt aufgestellt ist.

Um die Abstände der Minima auf dem Schirm zu berechnen, nutzen wir die geometrische Beziehung: \(d = L \, \tan(\theta)\).Für kleine Winkel kann \(\tan(\theta) \approx \sin(\theta)\) angenommen werden.

• \(\theta_1 \approx \sin(\theta_1) \approx 0.005 \, \text{rad}\) Der Abstand des ersten Minimums:
  • \(d_1 \approx L \, \sin(\theta_1)\)
  • \(d_1 \approx 2 \, \text{m} \, \times \, 0.005 = 0.01 \, \text{m} = 1 \, \text{cm}\)
• Der Abstand des zweiten Minimums:
  • \(\theta_2 \approx \arcsin(2 \, \sin(\theta_1)) \approx 2 \, \times \, 0.005 \, \text{rad} = 0.01 \, \text{rad}\)
  • \(d_2 \approx L \, \sin(\theta_2)\)
  • \(d_2 \approx 2 \, \text{m} \, \times \, 0.01 = 0.02 \, \text{m} = 2 \, \text{cm}\)
• Der Abstand des dritten Minimums:
  • \(\theta_3 \approx \arcsin(3 \, \sin(\theta_1)) \approx 3 \, \times \, 0.005 \, \text{rad} = 0.015 \, \text{rad}\)
  • \(d_3 \approx L \, \sin(\theta_3)\)
  • \(d_3 \approx 2 \, \text{m} \, \times \, 0.015 = 0.03 \, \text{m} = 3 \, \text{cm}\)

Fazit: Die Abstände der ersten drei Minima auf dem Schirm sind etwa:

• \(d_1 = 1 \, \text{cm}\)
• \(d_2 = 2 \, \text{cm}\)
• \(d_3 = 3 \, \text{cm}\)

b)

Für den gleichen Einzelspalt und Lichtstrahl:

• Berechne die Intensität \( I(\theta) \) in Bezug auf die Intensität des Hauptmaximums \( I_0 \), für einen Winkel \( \theta = 5° \) .
• Diskutiere, was passieren würde, wenn die Spaltbreite \( a \) halbiert würde. Wie ändern sich die Winkel der Minima und die Breite des Hauptmaximums?

Lösung:

Beugung am EinzelspaltLichtbeugung an einem einzelnen Spalt. Beschreibe das Interferenzmuster, das entsteht, wenn monochromatisches Licht durch einen schmalen Spalt fällt.

• Bedingung für Minima: \(a \sin \theta = m \lambda\), wobei m eine ganze Zahl ist (nicht Null), a die Spaltbreite, \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts und \(\theta\) der Beugungswinkel sind.
• Erstes Minimum bei \(\sin \theta = \frac{\lambda}{a}\)
• Maxima erscheinen zwischen den Minima als Haupt- und Nebenmaxima
• Intensitätsverteilung: \[I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2\] mit \(\beta = \frac{\pi \, a \, \sin \, \theta}{\lambda}\)
• Hauptmaximum bei \(\theta = 0\)
• Verbreiterung des Hauptmaximums und Abnahme der Intensität mit kleiner werdendem a

Löse die folgende Teilaufgabe:Für den gleichen Einzelspalt und Lichtstrahl:

• Berechne die Intensität \(I(\theta)\) in Bezug auf die Intensität des Hauptmaximums \(I_0\), für einen Winkel \(\theta = 5°\).

Um die Intensität \(I(\theta)\) zu berechnen, nutzen wir die gegebene Intensitätsverteilung:

\[I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2\]

mit \(\beta = \frac{\pi \, a \, \sin \, \theta}{\lambda}\).Gegeben:

• \(\lambda = 500 \, \text{nm} = 500 \, \times \, 10^{-9} \, \text{m}\)
• \(a = 0.1 \, \text{mm} = 0.1 \, \times \, 10^{-3} \, \text{m}\)
• \(\theta = 5° \approx 0.0873 \, \text{rad}\)

Berechnung:

• \(\beta = \frac{\pi \, a \, \sin \, \theta}{\lambda} = \frac{\pi \, \times \, 0.1 \, \times \, 10^{-3} \, \times \, \sin(5°)}{500 \, \times \, 10^{-9}} \)
• \(\sin(5°) \approx 0.0872\)
• \(\beta ≈ \frac{\pi \, \times \, 0.1 \, \times \, 10^{-3} \, \times \, 0.0872}{500 \, \times \, 10^{-9}} \)
• \(\beta ≈ 0.0547\)
• \(\frac{\sin(\beta)}{\beta} ≈ \frac{\sin(0.0547)}{0.0547} = \frac{0.054 \, \times \, 0.937}{0.0547} ≈ 0.987\)
• \(I(\theta) = I_0 \left(\frac{0.987}{0.0547}\right)^2\approx 0.974 \, I_0\)

• Diskutiere, was passieren würde, wenn die Spaltbreite \(a\) halbiert würde. Wie ändern sich die Winkel der Minima und die Breite des Hauptmaximums?

Wenn die Spaltbreite \(a\) halbiert wird, ändert sich die Bedingung für Minima entsprechend:

• Die Bedingung für Minima lautet: \(a \sin \theta = m \lambda\).
• Wenn \(a\) halbiert wird, Dann wird die neue Spaltbreite: \(a' = \frac{a}{2}\).
• Die Bedingung für Minima lautet dann: \(\frac{a}{2} \sin \theta = m \lambda\) oder \(\sin \theta' = \frac{2 \lambda}{a}\).

Wenn \(a\) halbiert wird, werden die Winkel der Minima verdoppelt:

• Der Winkel des ersten Minimums \(\theta_1\) ändert sich von \(\sin \theta_1 = \frac{\lambda}{a}\) zu \(\sin \theta_1' = \frac{2 \lambda}{a}\).
• Die Minima werden weiter auseinander liegen.

Die Breite des Hauptmaximums änder sich:

• Das Hauptmaximum ist breiter, wenn \(a\) kleiner wird.
• Eine Halbierung der Spaltbreite führt dazu, dass das Hauptmaximum doppelt so breit ist.

Fazit: Bei Halbierung der Spaltbreite \(a\) werden die Winkel der Minima verdoppelt und das Hauptmaximum wird breiter.

Aufgabe 4)

Photonen und ihre EigenschaftenEin Photon ist ein Lichtquant, auch als Elementarteilchen bekannt, welches das elektromagnetische Feld vermittelt. Es besitzt verschiedene charakteristische Eigenschaften:

• Keine Ruhemasse: \(m_0 = 0\)
• Spin: \(s = 1\)
• Energie: \(E = h f\)
• Impuls: \(p = \frac{E}{c}\)
• Polarisation: linear, zirkular
• Bewegung: immer mit Lichtgeschwindigkeit \(c\)

a)

(a) Energie und Impuls eines PhotonsBerechne die Energie und den Impuls eines Photons mit einer Frequenz von \(5 \times 10^{14}\) Hz. Verwende dabei die Planck-Konstante \((h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js})\), sowie die Lichtgeschwindigkeit \((c = 3.0 \, \text{ 10 }^8 \, \text{m/s})\).

Lösung:

Photonen und ihre Eigenschaften

Ein Photon ist ein Lichtquant, auch als Elementarteilchen bekannt, welches das elektromagnetische Feld vermittelt. Es besitzt verschiedene charakteristische Eigenschaften:

• Keine Ruhemasse: $m\_0\; =\; 0$
• Spin: $s\; =\; 1$
• Energie: $E\; =\; hf$
• Impuls: $p\; =\; \backslash frac\{E\}\{c\}$
• Polarisation: linear, zirkular
• Bewegung: immer mit Lichtgeschwindigkeit $c$

(a) Energie und Impuls eines PhotonsBerechne die Energie und den Impuls eines Photons mit einer Frequenz von $5\; \backslash times\; 10^\{14\}$ Hz. Verwende dabei die Planck-Konstante $(h\; =\; 6.626\; \backslash times\; 10^\{-34\}\; \backslash ,\; \backslash text\{Js\})$, sowie die Lichtgeschwindigkeit $(c\; =\; 3.0\; \backslash times\; 10^8\; \backslash ,\; \backslash text\{m/s\})$.Lösung:1. Zuerst berechnen wir die Energie des Photons mit der Frequenz $f\; =\; 5\; \backslash times\; 10^\{14\}$ Hz. Der Energie des Photons wird durch die Formel $E\; =\; hf$ gegeben.Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:$E\; =\; (6.626\; \backslash times\; 10^\{-34\}\; \backslash ,\; \backslash text\{Js\})\; \backslash times\; (5\; \backslash times\; 10^\{14\}\; \backslash ,\; \backslash text\{Hz\})$Berechne nun:$E\; =\; 3.313\; \backslash times\; 10^\{-19\}\; \backslash ,\; \backslash text\{J\}$2. Der Impuls des Photons kann durch die Formel $p\; =\; \backslash frac\{E\}\{c\}$ berechnet werden.Setze die berechnete Energie und die gegebene Lichtgeschwindigkeit ein:$p\; =\; \backslash frac\{3.313\; \backslash times\; 10^\{-19\}\; \backslash ,\; \backslash text\{J\}\}\{3.0\; \backslash times\; 10^8\; \backslash ,\; \backslash text\{m/s\}\}$Berechne nun:$p\; =\; 1.104\; \backslash times\; 10^\{-27\}\; \backslash ,\; \backslash text\{kg\}\; \backslash ,\; \backslash text\{m/s\}$Die Energie des Photons beträgt also $3.313\; \backslash times\; 10^\{-19\}$ Joule und der Impuls beträgt $1.104\; \backslash times\; 10^\{-27\}$ Kilogramm-Meter pro Sekunde.

b)

(b) Polarisation von PhotonenErläutere den Unterschied zwischen linearer und zirkularer Polarisation von Photonen. Welche Auswirkungen haben diese Polarisationstypen auf die Wechselwirkung der Photonen mit Materie?

Lösung:

Photonen und ihre Eigenschaften

Ein Photon ist ein Lichtquant, auch als Elementarteilchen bekannt, welches das elektromagnetische Feld vermittelt. Es besitzt verschiedene charakteristische Eigenschaften:

• Keine Ruhemasse: $m\_0\; =\; 0$
• Spin: $s\; =\; 1$
• Energie: $E\; =\; hf$
• Impuls: $p\; =\; \backslash frac\{E\}\{c\}$
• Polarisation: linear, zirkular
• Bewegung: immer mit Lichtgeschwindigkeit $c$

(b) Polarisation von PhotonenLösung:Der Unterschied zwischen linearer und zirkularer Polarisation kann wie folgt beschrieben werden:

• Lineare Polarisation: Bei linearer Polarisation schwingen die elektrischen und magnetischen Felder eines Photons in einer festen Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Das bedeutet, dass die Richtung des elektrischen Feldvektors konstant bleibt und nur in einer bestimmten Richtung schwingt, z.B. horizontal oder vertikal.
• Zirkulare Polarisation: Bei zirkularer Polarisation rotieren die elektrischen und magnetischen Felder eines Photons um die Ausbreitungsrichtung. Das bedeutet, dass der elektrische Feldvektor eine spiralförmige Bahn beschreibt. Abhängig von der Drehrichtung kann dies in rechtszirkulare oder linkszirkulare Polarisation unterteilt werden.

Die Auswirkungen dieser Polarisationstypen auf die Wechselwirkung der Photonen mit Materie sind:

• Lineare Polarisation: Linear polarisierte Photonen interagieren unterschiedlich mit Materialien, die anisotrope Eigenschaften haben (d.h. ihre Eigenschaften variieren je nach Richtung). Dies führt zu Effekten wie Polarisationsdoppelbrechung und dichroischer Absorption, wo bestimmte Polarisationsrichtungen unterschiedlich stark absorbiert werden.
• Zirkulare Polarisation: Zirkular polarisierte Photonen können mit bestimmten Materialien oder Molekülen in einer Weise interagieren, die von ihrer chiralen Natur abhängt. Chiralität bezieht sich auf die