Experimentalphysik 6: Festkörperphysik - Cheatsheet

Elektronen im periodischen Potential

Definition:

Elektronen bewegen sich in Festkörpern im periodischen Potential des Kristallgitters. Dies beeinflusst ihre Energiezustände und führt zur Bildung von Bändern und Bandlücken.

Details:

• Schrödinger-Gleichung: \[ H \psi = E \psi \]
• Kristallpotential: \[ V(\mathbf{r}) = V(\mathbf{r} + \mathbf{R}) \]
• Bloch'sche Theorem: Elektronenwellenfunktionen in periodischem Potential haben die Form \[ \psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} u(\mathbf{r}) \]
• u(\mathbf{r}) ist eine Funktion mit der Periodizität des Gitters: \[ u(\mathbf{r} + \mathbf{R}) = u(\mathbf{r}) \]
• Energie-Bandstruktur: Elektronenenergie als Funktion des Wellenvektors \(E(k)\)
• Bandlücken: Energiebereiche, in denen keine Zustände existieren
• Metalle, Halbleiter, Isolatoren: Abhängig von der Füllung der Bänder und der Größe der Bandlücken

Raumgruppen und Symmetrieoperationen

Definition:

Raumgruppen und Symmetrieoperationen beschreiben die Symmetrien in Kristallstrukturen und wie sie durch Transformationen invariant bleiben.

Details:

• Raumgruppe: Kombination von Symmetrieoperationen (Translation, Rotation, Spiegelung, Inversionszentren).
• Symmetrieoperationen: Transformationsoperationen, die ein Objekt auf sich selbst abbilden.
• Klassifikation: 230 Raumgruppen im dreidimensionalen Raum.
• Translation: Verschiebung um ein ganzzahliges Vielfaches des Gittervektors.
• Rotation: Drehung um eine Kristallachse (2-, 3-, 4- und 6-zählig).
• Spiegelung: Reflexion an einer Symmetrieebene.
• Inversion: Punktspiegelung am Inversionszentrum.
• Schraubenachse: Kombination von Translation und Rotation.
• Gleitspiegelebene: Kombination von Translation und Spiegelung.

Bändermodell und Bandlücken

Definition:

Modell zur Beschreibung der Energiezustände von Elektronen in Festkörpern; erklärt elektrische Leitfähigkeit und optische Eigenschaften.

Details:

• Valenzband: höchst besetztes Elektronenband im Grundzustand.
• Leitungsband: nächst höheres, unbesetztes Elektronenband.
• Bandlücke (\textit{Bandgap}): Energiedifferenz \textit{zwischen} Valenz- und Leitungsband, bezeichnet als \textit{indirekt} oder \textit{direkt} (abhängig von Übergängen im k-Raum).
• Halbleiter: kleine Bandlücke (typischerweise < 3 eV).
• Isolatoren: große Bandlücke (typisch > 3 eV).
• Metalle: überlappendes Valenz- und Leitungsband (keine Bandlücke).
• \textbf{Formel}: Bandlücke: \[\text{E}_{\text{g}} = \text{E}_{\text{c}} - \text{E}_{\text{v}}\]

P-N-Übergänge und Dioden

Definition:

Grenzschicht zwischen p-dotierten und n-dotierten Halbleitern - bildet Sperrschicht, wirkt als Gleichrichter.

Details:

• Schichtung führt zu Raumladungszone: frei von beweglichen Ladungsträgern, interne elektrische Feld
• Sperrschichtbreite \(W\) abhängig von Dotierungsdichten: \[ W = \frac{1}{\beta} \left(\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_D}\right)^{1/2} \]
• Dioden: Diodenkennlinie, Leerlaufspannung, Durchbruchspannungen, Rauschen
• Gleichstrom (DC): Leiten in eine Richtung, sperren in die andere (Schwellspannung)
• Wechselstrom (AC): Verstärkungs- und Dämpfungscharakteristik

BCS-Theorie

Definition:

BCS-Theorie beschreibt den Mechanismus der Supraleitung in konventionellen Supraleitern, basierend auf der Bildung von Cooper-Paaren.

Details:

• Cooper-Paare: Elektronenpaare mit entgegengesetztem Spin und Impuls
• Wellenfunktion: Beschreibt die kollektive Bewegung der Cooper-Paare
• Bindungsenergie: Energielücke \((\triangle)\) zwischen supraleitendem Zustand und normalem Zustand
• Kohärenzlänge: Charakteristische Größe für das Cooper-Paar \((\xi)\)
• Kritische Temperatur: Temp. \((T_c)\), unterhalb der Supraleitung auftritt
• Meissner-Ochsenfeld-Effekt: vollständiger Magnetfeldausschluss

Phononen und deren Wechselwirkungen

Definition:

Schwingungsquanten des Kristallgitters (Gitterschwingungen) in Festkörpern, Quasiteilchenmodell.

Details:

• Phonon: \(\hbar \omega\)
• Akustische Phononen: niedrigere Energie, Schallgeschwindigkeiten
• Optische Phononen: höhere Energie, in der Regel infrarotaktiv
• Dispersion: Zusammenhang zwischen \(\omega\) und Wellenzahl \(k\)
• Phonon-Phonon-Wechselwirkungen: Dreifachprozesse (Umklapp-Prozesse (U-Prozess))
• Anwendung: Wärmeleitung (Fouriers Gesetz), Thermische Ausdehnung
• Anregungen in Neutronenstreuexperimenten nachweisbar

Freie-Elektronen-Modell

Definition:

Erklärung der elektronischen Eigenschaften von Metallen unter Verwendung eines Modells freier und delokalisierter Elektronen im Festkörper.

Details:

• Beschreibung: Elektronen verhalten sich wie Teilchen eines idealen Gases innerhalb des Metalls.
• Kinetische Energie: \(E=\frac{p^2}{2m} \)
• Elektronendichte: \(n = \frac{N}{V} \)
• Elektronengeschwindigkeit: \(v_F = \sqrt{\frac{2E_F}{m}} \)
• Fermienergie: \(E_F = \frac{\hbar^2}{2m} (3\pi^2n)^{\frac{2}{3}} \)
• Fermiwellenzahl: \(k_F = (3\pi^2n)^{\frac{1}{3}} \)
• Annahme: Vernachlässigung von Gitterpotentialen und Wechselwirkungen zwischen Elektronen.

Meissner-Effekt

Definition:

Vollständiges Verschwinden des Magnetfelds im Inneren eines Supraleiters bei dessen Übergang in den supraleitenden Zustand.

Details:

• Entdeckt 1933 von W. Meissner und R. Ochsenfeld
• Erzeugt durch Induktion von Oberflächenströmen
• Magnetisches Feld im Inneren: \[B = 0\]
• Gilt bis zu einer kritischen Feldstärke \( B_c \)
• Kritische Temperatur \( T_c \) für den Übergang
• Verschiedene Supraleitertypen: Typ-I und Typ-II