Grundpraktikum - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte ein System, bestehend aus einem Wagen mit der Masse m, der auf einer horizontalen Strecke bewegt wird. Der Wagen wird durch eine konstante horizontale Kraft F angetrieben. Es wirken keine anderen Kräfte wie Reibung oder Luftwiderstand auf den Wagen.

Beschreibe die Bewegung des Wagens innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls und berechne relevante Größen.

a)

Berechne die Beschleunigung des Wagens, wenn die Masse m 5 kg und die angetriebene Kraft F 20 N beträgt. Nutze das zweite newtonsche Gesetz.

Lösung:

Um die Beschleunigung des Wagens zu berechnen, können wir das zweite newtonsche Gesetz anwenden. Dieses besagt, dass die Kraft F, die auf einen Körper wirkt, gleich dem Produkt aus der Masse m des Körpers und der Beschleunigung a ist:

• Formel: \[ F = m \cdot a \]

Wir können diese Gleichung umstellen, um die Beschleunigung a zu berechnen:

• Umstellung: \[ a = \frac{F}{m} \]

Wenn die Masse m 5 kg und die angetriebene Kraft F 20 N beträgt, setzen wir diese Werte in die Gleichung ein:

• Einsatz der Werte: \[ a = \frac{20 \text{ N}}{5 \text{ kg}} = 4 \text{ m/s}^2 \]

Die Beschleunigung des Wagens beträgt daher 4 m/s².

b)

Bestimme die Geschwindigkeit des Wagens nach 10 Sekunden, wenn er aus der Ruhe startet. Verwende die zuvor berechnete Beschleunigung.

Lösung:

Um die Geschwindigkeit des Wagens nach 10 Sekunden zu berechnen, können wir die Gleichung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nutzen. Da der Wagen aus der Ruhe startet (anfängliche Geschwindigkeit v₀ = 0), lautet die Gleichung für die Geschwindigkeit v:

• Geschwindigkeit: \[ v = v_0 + a \cdot t \]

Wir haben bereits die Beschleunigung a als 4 m/s² berechnet. Nun setzen wir die Werte in die Gleichung ein:

• Initiale Geschwindigkeit: \[ v_0 = 0 \]
• Beschleunigung: \[ a = 4 \text{ m/s}^2 \]
• Zeit: \[ t = 10 \text{ s} \]
• Einsetzung: \[ v = 0 + 4 \cdot 10 = 40 \text{ m/s} \]

Nach 10 Sekunden beträgt die Geschwindigkeit des Wagens daher 40 m/s.

Aufgabe 2)

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann, sondern nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden kann. Dies wird mathematisch durch die Formel \[ \Delta U = Q - W \] ausgedrückt, wobei \[ \Delta U \] die Änderung der inneren Energie ist, \[ Q \] die zugeführte Wärme und \[ W \] die verrichtete Arbeit. In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant.

a)

Ein Thermodynamik-Experiment besteht aus einem isolierten Behälter, in dem ein Gas erhitzt wird. Die zugeführte Wärme beträgt 500 J und die Arbeit, die das Gas gegen den externen Druck verrichtet, beträgt 200 J. Berechne die Änderung der inneren Energie des Gases.

Lösung:

Berechnung der Änderung der inneren Energie

• Gegeben:
• Zugeführte Wärme (Q): 500 J
• Verrichtete Arbeit (W): 200 J
• Formel des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik:
• Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet:

•  ΔU = Q -   W  

  • Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

  •  ΔU = 500 J - 200 J   

  • Berechne ΔU:

  •  ΔU = 300 J    

• Ergebnis:
• Die Änderung der inneren Energie des Gases beträgt 300 J.

b)

Erkläre, wie der erste Hauptsatz der Thermodynamik auf ein System angewendet wird, das Arbeit verrichtet. Verwende dabei die Begriffe und die Formel \[ \Delta U = Q - W \], um zu zeigen, wie die innere Energie des Systems beeinflusst wird.

Lösung:

Anwendung des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik

• Formel und Begriffe:
• Der erste Hauptsatz der Thermodynamik wird durch die Formel

   ΔU = Q - W 

• ΔU: Änderung der inneren Energie des Systems
• Q: Zugeführte Wärme
• W: Verrichtete Arbeit (vom System an der Umgebung geleistet)

c)

Angenommen, ein abgeschlossenes System enthält ein Gas, das auf 300 J erhitzt wird und dabei 100 J Arbeit leistet, indem es sich ausdehnt. Bestimme die Änderung der inneren Energie des Systems und erkläre, ob dies mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik übereinstimmt.

Lösung:

Berechnung der Änderung der inneren Energie des Systems

• Gegeben:
• Zugeführte Wärme (Q): 300 J
• Verrichtete Arbeit (W): 100 J
• Formel des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik:
• Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet:

•  ΔU = Q - W 

• Berechnung:
• Setze die gegebenen Werte in die Formel ein:

•  ΔU = 300 J - 100 J 

• Berechne ΔU:

•  ΔU = 200 J 

• Die Änderung der inneren Energie des Systems beträgt 200 J.

• Gemäß dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik bleibt die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System konstant. In diesem Fall wird dem Gas 300 J Wärme zugeführt, aber es verrichtet auch 100 J Arbeit.
• Die Differenz zwischen der zugeführten Wärme und der verrichteten Arbeit (300 J - 100 J) ergibt eine Zunahme der inneren Energie um 200 J, was bedeutet, dass die innere Energie des Gases um diesen Betrag gestiegen ist.

• Dies steht im Einklang mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, der besagt, dass die Energie in einem abgeschlossenen System weder erzeugt noch vernichtet wird. Die zugeführte Energie (Wärme) und die aufgewendete Energie (Arbeit) müssen in der Änderung der inneren Energie des Systems ausgeglichen werden.

Aufgabe 4)

• Schwingungsgleichung der harmonischen Schwingung: \( x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \)
• Wellenlänge \( \lambda \): Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten gleicher Phase
• Frequenz \( f \): Zahl der Schwingungen pro Sekunde, \( f = \frac{1}{T} \)
• Ausbreitungsgeschwindigkeit \( v \): \( v = f \lambda \)
• Superposition: Überlagerung von Wellen
• Stehende Wellen: Entstehen durch Superposition von hin- und rücklaufenden Wellen gleicher Frequenz
• Dämpfung: Abnahme der Amplitude durch Energieverlust

a)

Betrachte eine harmonische Schwingung mit einer Amplitude von 5 cm und einer Frequenz von 2 Hz.

• Wie lautet die Schwingungsgleichung dieser Bewegung?
• Berechne die Auslenkung nach 1 Sekunde, wenn die Phase \( \varphi = 0 \).

Lösung:

• Die Schwingungsgleichung der harmonischen Schwingung lautet: \( x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \)
• Gegeben:
  • Amplitude \( A = 5 \text{ cm} \)
  • Frequenz \( f = 2 \text{ Hz} \)
  • Phase \( \varphi = 0 \)
  Die Winkelfrequenz \( \omega \) ist gegeben durch: \[ \omega = 2\pi f \] Für \( f = 2 \) Hz ergibt sich: \[ \omega = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \text{ rad/s} \] Die Schwingungsgleichung der Bewegung lautet also: \[ x(t) = 5 \cos(4\pi t) \]
• Um die Auslenkung nach 1 Sekunde zu berechnen, setzen wir \( t = 1 \) Sekunde in die Schwingungsgleichung ein: \[ x(1) = 5 \cos(4\pi \cdot 1) \] Da \( \cos(4\pi) = 1 \), ergibt sich: \[ x(1) = 5 \cdot 1 = 5 \text{ cm} \] Die Auslenkung nach 1 Sekunde beträgt also 5 cm.

b)

Eine Welle breitet sich mit einer Geschwindigkeit von 300 m/s aus und hat eine Frequenz von 50 Hz.

• Berechne die Wellenlänge \( \lambda \).
• Zeichne eine Skizze der Welle und markiere dabei die Wellenlänge.

Lösung:

• Gegeben:
  • Geschwindigkeit der Welle \( v = 300 \text{ m/s} \)
  • Frequenz \( f = 50 \text{ Hz} \)
  Die Wellenlänge \( \lambda \) kann aus der Beziehung \[ v = f \lambda \] berechnet werden. Umgestellt nach \( \lambda \) ergibt sich: \[ \lambda = \frac{v}{f} \] Setzen wir die gegebenen Werte ein: \[ \lambda = \frac{300 \text{ m/s}}{50 \text{ Hz}} = 6 \text{ m} \] Die Wellenlänge beträgt also 6 Meter.
• Eine Skizze der Welle könnte wie folgt aussehen:Skizze:
  • Zeichne eine Sinuswelle, die sich von links nach rechts ausbreitet.
  • Markiere zwei aufeinanderfolgende Punkte gleicher Phase (z.B. zwei aufeinanderfolgende Peaks oder zwei Nullen).
  • Beschrifte den Abstand zwischen diesen Punkten mit \( \lambda = 6 \text{ m} \).

c)

Bei einer stehenden Welle in einem Seil wird eine Frequenz von 10 Hz angelegt und die Wellenlänge beträgt 1 Meter.

• Wie viele Knotenpunkte befinden sich auf einer Strecke von 5 Metern?
• Erkläre kurz, wie stehende Wellen entstehen.

Lösung:

• Gegeben:
  • Frequenz \( f = 10 \text{ Hz} \)
  • Wellenlänge \( \lambda = 1 \text{ m} \)
  Bei einer stehenden Welle treten Knotenpunkte (Punkte der destruktiven Interferenz, an denen keine Bewegung stattfindet) in Abständen von jeweils \( \frac{\lambda}{2} \) auf. Das bedeutet, die Knotenpunkte sind \( \frac{1}{2} \text{ m} \) voneinander entfernt. Um die Anzahl der Knotenpunkte auf einer Strecke von 5 Metern zu berechnen, teilt man die Strecke durch den Abstand zwischen den Knotenpunkten. \[ \frac{5 \text{ m}}{0,5 \text{ m}} = 10 \] Da an beiden Enden der Strecke ebenfalls Knotenpunkte sind, gibt es in diesem Fall 11 Knotenpunkte (10 Intervalle plus ein zusätzlicher Knotenpunkt am Ende).
• Stehende Wellen entstehen durch die Überlagerung von zwei kohärenten (gleiche Frequenz und Amplitude) und in entgegengesetzte Richtungen laufenden Wellen. Diese Überlagerung führt zu Bereichen konstanter Auslenkung und Bereichen, in denen keine Bewegung stattfindet. In den Bereichen konstanter Auslenkung entstehen Bauchpunkte, und in den Bereichen ohne Bewegung entstehen Knotenpunkte. Dies geschieht typischerweise in geschlossenen oder begrenzten Systemen, wie z. B. bei einem Seil zwischen zwei festen Punkten oder in einer Luftsäule eines Blasinstruments.