Mathematik A für Physikstudierende - Cheatsheet

Theorie der reellen Zahlen

Definition:

Grundlagen der reellen Zahlen und deren Eigenschaften.

Details:

• Mengenlehre: Reelle Zahlen (\textbf{R})
• Eigenschaften: Ordnung, Vollständigkeit, Archimedisches Axiom
• Supremum/Infimum: \(\text{sup } S\)/\(\text{inf } S\)
• Intervalle: offen (\((a, b)\)), geschlossen (\([a, b]\)), halboffen (\([a, b)\))
• Abzählbar und überabzählbar: Natürliche Zahlen (\textbf{N}) abzählbar, Reelle Zahlen überabzählbar

Grenzwerte und Stetigkeit

Definition:

Grenzwert beschreibt Verhalten einer Funktion f(x) bei Annäherung an bestimmten Punkt oder Unendlich; Stetigkeit wenn Funktionswerte und Grenzwerte übereinstimmen

Details:

• \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \) wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass \(|f(x) - L| < \epsilon\) wenn \(0 < |x - a| < \delta\)
• Einseitige Grenzwerte: \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \), \( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \)
• Unendliche Grenzwerte: \( \lim_{{x \to \infty}} f(x)\), \( \lim_{{x \to -\infty}} f(x) \)
• Funktion f(x) stetig bei \( x = a \), wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \)
• Wichtige Eigenschaften der Stetigkeit: Summen-, Produkt- und Kettenregel

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte (\lambda) und Eigenvektoren (\mathbf{v}) sind Lösungen der Gleichung \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}., wobei \mathbf{A} eine quadratische Matrix ist.

Details:

• Eigenwertgleichung: \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
• \mathbf{A}: quadratische Matrix
• \lambda: Eigenwert
• \mathbf{v}: Eigenvektor
• Charakteristisches Polynom: \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0
• Bestimmen von \lambda durch Lösen des charakteristischen Polynoms
• Korrespondierendere \mathbf{v} durch Einsetzen von \lambda in die Eigenwertgleichung

Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen

Definition:

Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs).

Details:

• Trennung der Variablen: Form: \( \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \), Variablen separieren und integrieren.
• Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung: Form: \(y' + p(x)y = q(x) \), mit Integrationsfaktor lösen.
• Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung: Allgemeine Lösung aus der Summe der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung.
• Variation der Konstanten: Methode zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen.
• Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung: Form: \( y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) \), Möglichkeit der Reduktion der Ordnung oder Ansatz mit Charakteristischer Gleichung.

Taylor- und Maclaurin-Reihen

Definition:

Taylor- und Maclaurin-Reihen stellen Funktionen als unendliche Summen von Potenzreihen dar. Maclaurin-Reihe ist ein Spezialfall der Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt 0.

Details:

• Taylor-Reihe einer Funktion $f(x)$ um den Punkt $a$:
\[ f(x) = \frac{f(a)}{0!} + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \text{...} \]
• Maclaurin-Reihe (Spezialfall der Taylor-Reihe mit $a = 0$):
\[ f(x) = \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \text{...} \]
• Radius der Konvergenz: Bestimmt das Intervall, in dem die Reihe konvergiert.

Integration von Funktionen mehrerer Variablen

Definition:

Integration von Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen.

Details:

• Mehrdimensionale Integration: Integrieren über ein Gebiet in \( R^n \).
• Doppelintegral: \[ \int \int_A f(x, y) \ dA \rightarrow\int_a^b \bigg( \int_c^d f(x,y) \ dy \bigg) dx \]
• Reihenfolge ändern bei unabhängigen Grenzen möglich.
• Berechnung über Polarkoordinaten: \[ \iint_R f(x, y) \ dA = \iint_R f(r \cos\theta, r \sin\theta) \ r \ dr \ d\theta \]