Mathematik A für Physikstudierende - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei die Menge der reellen Zahlen \textbf{R} und ihre grundlegenden Eigenschaften wie Ordnung, Vollständigkeit und das Archimedische Axiom. Weiterhin seien die Begriffe Supremum (\text{sup}) und Infimum (\text{inf}), sowie die verschiedenen Intervalltypen wie offen (\((a, b)\)), geschlossen (\([a, b]\)), und halboffen (\([a, b)\)) relevant.

b)

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen \(\textbf{Q}\) in jedem Intervall \((a, b)\) dicht in den reellen Zahlen liegt, das bedeutet, dass zwischen je zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt.

• Wähle zwei beliebige reelle Zahlen \( a\) und \( b\) mit \( a < b\) und konstruiere eine rationale Zahl \( q \) so, dass gilt: \( a < q < b \).

Lösung:

Gegeben sei die Menge der reellen Zahlen \(\textbf{R}\) und ihre grundlegenden Eigenschaften wie Ordnung, Vollständigkeit und das Archimedische Axiom. Weiterhin seien die Begriffe Supremum (\(\text{sup}\)) und Infimum (\(\text{inf}\)), sowie die verschiedenen Intervalltypen wie offen (\((a, b)\)), geschlossen (\([a, b]\)), und halboffen (\([a, b)\)) relevant.

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen \(\textbf{Q}\) in jedem Intervall \((a, b)\) dicht in den reellen Zahlen liegt, das bedeutet, dass zwischen je zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt.

• Wähle zwei beliebige reelle Zahlen \(a\) und \(b\) mit \(a < b\) und konstruiere eine rationale Zahl \(q\), so dass gilt: \(a < q < b\).

Um zu zeigen, dass die Menge der rationalen Zahlen \(\textbf{Q}\) in jedem Intervall \((a, b)\) dicht in den reellen Zahlen \(\textbf{R}\) liegt, müssen wir beweisen, dass für beliebige reelle Zahlen \(a\) und \(b\) mit \(a < b\) eine rationale Zahl \(q\) existiert, die im Intervall \((a, b)\) liegt.

Beweis:

1. Wähle zwei beliebige reelle Zahlen \(a\) und \(b\) mit \(a < b\).
2. Da \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind, kann der Abstand zwischen \(a\) und \(b\), also \(b - a\), durch eine positive Zahl \(\frac{1}{n}\) mit \(n \in \textbf{N}\) (den natürlichen Zahlen) dargestellt werden. Dies folgt aus dem Archimedischen Axiom, das besagt, dass es zu jeder positiven reellen Zahl eine natürliche Zahl gibt, die größer als deren Kehrwert ist. Formal ausgedrückt:

(1)\[\frac{1}{n} < b - a\]

für ein hinreichend großes \(n \in \textbf{N}\).

1. Multipliziere beide Seiten der Ungleichung \(a < b\) mit \(n\):

(2)\[na < nb\]

1. Da \(na\) und \(nb\) reelle Zahlen sind, liegt mindestens eine ganze Zahl \(k\) in dem Intervall \((na, nb)\). Formal ausgedrückt gibt es ein \(k \in \textbf{Z}\), sodass:

(3)\[na < k < nb\]

1. Teile diese Ungleichung durch \(n\), um \(k/n\) zu erhalten:

(4)\[a < \frac{k}{n} < b\]

Da \(\frac{k}{n}\) eine rationale Zahl ist, liegt \(\frac{k}{n}\) im Intervall \((a, b)\).

Somit haben wir gezeigt, dass es in jedem Intervall \((a, b)\) mit \(a < b\) eine rationale Zahl \(q = \frac{k}{n}\) gibt, die die Bedingung \(a < q < b\) erfüllt.

Dies zeigt generell, dass die Menge der rationalen Zahlen \(\textbf{Q}\) dicht in den reellen Zahlen \(\textbf{R}\) liegt.

Aufgabe 3)

Gegeben sei die quadratische Matrix \( \mathbf{A} \) für ein zweidimensionales System:

 \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} 

Finde die Eigenwerte \( \lambda \) und die zugehörigen Eigenvektoren \( \mathbf{v} \) dieser Matrix.

a)

Teilaufgabe a) Bestimme die Eigenwerte \( \lambda \) der Matrix \( \mathbf{A} \), indem Du das charakteristische Polynom aufstellst und löst.

Erkläre dabei jeden Schritt detailliert, von der Formulierung des charakteristischen Polynoms bis zur Berechnung der Eigenwerte.

Lösung:

Lösung zu Teilaufgabe a)

Um die Eigenwerte \( \lambda \) der Matrix \( \mathbf{A} \) zu bestimmen, musst Du das charakteristische Polynom aufstellen und lösen.

Gegeben sei die Matrix \( \mathbf{A} \):

 \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \] 

• Schritt 1: Formuliere die Gleichung \( \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \). Dies führt zur charakteristischen Gleichung \( \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} \), wobei \( \mathbf{I} \) die Einheitsmatrix ist.
• Schritt 2: Subtrahiere \( \lambda \mathbf{I} \) von \( \mathbf{A} \):

 \[ \mathbf{A} - \lambda \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \] 

Schritt 3: Bestimme die Determinante dieser neuen Matrix, um das charakteristische Polynom zu finden:

 \[ \text{det}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \] 

Schritt 4: Berechne die Determinante:

 \[ \text{det}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (1 \cdot 2) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \] 

Schritt 5: Vereinfache das Polynom:

 \[ \text{det}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) =  (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 \] 

Schritt 6: Setze die Determinante gleich null, um das charakteristische Polynom zu erhalten:

 \[ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \] 

Schritt 7: Löse das charakteristische Polynom:

 \[ \lambda_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \] 

Schritt 8: Die zwei Eigenwerte sind:

 \[ \lambda_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \] \[ \lambda_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2 \] 

Damit sind die Eigenwerte der Matrix \( \mathbf{A} \) \( \lambda_1 = 5 \) und \( \lambda_2 = 2 \).

b)

Teilaufgabe b) Finde die Eigenvektoren \( \mathbf{v} \), die zu den Eigenwerten \( \lambda \) gehören, die Du in Teilaufgabe a) gefunden hast.

Beschreibe den Prozess des Einsetzens der Eigenwerte in die Eigenwertgleichung \( \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) und das Lösen des resultierenden linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Eigenvektoren.

Lösung:

Lösung zu Teilaufgabe b)

Um die Eigenvektoren \( \mathbf{v} \) zu den Eigenwerten \( \lambda \) zu finden, die Du in Teilaufgabe a) bestimmt hast, setzt Du die Eigenwerte in die Eigenwertgleichung \( \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) ein und löst das resultierende lineare Gleichungssystem.

Gegeben ist die quadratische Matrix \( \mathbf{A} \):

 \[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \] 

Die Eigenwerte sind \( \lambda_1 = 5 \) und \( \lambda_2 = 2 \), die in Teilaufgabe a) gefunden wurden.

• Schritt 1: Bestimme den Eigenvektor für \( \lambda_1 = 5 \).
• Schritt 2: Setze \( \lambda_1 = 5 \) in die Gleichung \( (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{v} = 0 \) ein:

 \[ \mathbf{A} - 5 \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 5 & 1 \ 2 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} \] 

Schritt 3: Löse das Gleichungssystem \( \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \):

 Dieses System führt zu den folgenden Gleichungen:  \[ -x + y = 0 \] \[ 2x - 2y = 0 \]  Die beiden Gleichungen sind linear abhängig, daher wähle eine der beiden aus. Zum Beispiel:  \[ -x + y = 0 \]  Dies impliziert, dass \( y = x \).  

Schritt 4: Der Eigenvektor zu \( \lambda_1 = 5 \) ist ein Vielfaches von \( \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \):

 \[ \mathbf{v}_1 = c \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \quad \text{für jeden Skalar } c. \] 

Schritt 5: Wiederhole dasselbe Verfahren für \( \lambda_2 = 2 \).

Schritt 6: Setze \( \lambda_2 = 2 \) in die Gleichung \( (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{v} = 0 \) ein:

 \[ \mathbf{A} - 2 \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 1 \ 2 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \] 

Schritt 7: Löse das Gleichungssystem \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \):

 Dieses System führt zu den folgenden Gleichungen:  \[ 2x + y = 0 \] \[ 2x + y = 0 \]  Auch hier sind die beiden Gleichungen linear abhängig, daher wähle eine der beiden aus. Zum Beispiel:  \[ 2x + y = 0 \]  Dies impliziert, dass \( y = -2x \).  

Schritt 8: Der Eigenvektor zu \( \lambda_2 = 2 \) ist ein Vielfaches von \( \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \):

 \[ \mathbf{v}_2 = c \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \quad \text{für jeden Skalar } c. \] 

Damit sind die Eigenvektoren der Matrix \( \mathbf{A} \) für die Eigenwerte \( \lambda_1 = 5 \) und \( \lambda_2 = 2 \):

• Für \( \lambda_1 = 5 \): \( \mathbf{v}_1 = c \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \)
• Für \( \lambda_2 = 2 \): \( \mathbf{v}_2 = c \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \)

Aufgabe 4)

Gegeben sei folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung:

• \t\[ y'' + 3y' + 2y = e^{2x} \]

Lösen Sie die Differentialgleichung mit einer geeigneten Methode.

a)

Finde die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung \( y'' + 3y' + 2y = 0 \). Finde die Eigenwerte der charakteristischen Gleichung und bestimme die homogene Lösung.

Lösung:

Um die allgemeine Lösung der gegebenen homogenen Differentialgleichung

• \t\( y'' + 3y' + 2y = 0 \)

zu finden, müssen wir die charakteristische Gleichung aufstellen und deren Eigenwerte bestimmen.

Die charakteristische Gleichung lautet:

• \t\( r^2 + 3r + 2 = 0 \)

Um die Eigenwerte zu finden, lösen wir die quadratische Gleichung:

• \t\( r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

In unserem Fall ist

• a = 1
• b = 3
• c = 2

Damit ergibt sich:

• \t\( r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \)

Die Diskriminante ist:

• \( b^2 - 4ac = 9 - 8 = 1 \)

Somit ergibt sich:

• \t\( r = \frac{-3 \pm 1}{2} \)

• \( r_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \)
• \( r_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \)

Die Eigenwerte sind also:

• \( r_1 = -1 \)
• \( r_2 = -2 \)

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist:

• \( y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \)

wobei \(C_1\) und \(C_2\) beliebige Konstanten sind.

b)

Bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch die Methode der Variation der Konstanten. Zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

Um die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

• \( y'' + 3y' + 2y = e^{2x} \)

durch die Methode der Variation der Konstanten zu finden, gehen wir wie folgt vor:

Schritt 1: Allgemeine Lösung der homogenen Gleichung

Wie bereits im vorherigen Beispiel gefunden, ist die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung:

• \( y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \)

Nun wollen wir die Methode der Variation der Konstanten anwenden, bei der die Konstanten \( C_1 \) und \( C_2 \) als Funktionen von \( x \) betrachtet werden: \( C_1(x) \) und \( C_2(x) \).

Schritt 2: Annahme der speziellen Lösung

Wir nehmen an:

• \( y_p(x) = C_1(x) e^{-x} + C_2(x) e^{-2x} \)

Die Ableitungen von \( y_p(x) \) sind:

• \( y_p'(x) = C_1'(x)e^{-x} + C_2'(x)e^{-2x} - C_1(x)e^{-x} - 2C_2(x)e^{-2x} \)
• \( y_p''(x) = C_1''(x)e^{-x} + C_2''(x)e^{-2x} - 2C_1'(x)e^{-x} - 4C_2'(x)e^{-2x} + C_1(x)e^{-x} + 4C_2(x)e^{-2x} \)

Schritt 3: Einsetzen der Ableitungen in die Differentialgleichung

Setze \( y_p''(x) \), \( y_p'(x) \) und \( y_p(x) \) in die inhomogene Differentialgleichung ein:

• \[ C_1''(x)e^{-x} + C_2''(x)e^{-2x} - 2C_1'(x)e^{-x} - 4C_2'(x)e^{-2x} + C_1(x)e^{-x} + 4C_2(x)e^{-2x} + 3(C_1'(x)e^{-x} + C_2'(x)e^{-2x} - C_1(x)e^{-x} - 2C_2(x)e^{-2x}) + 2(C_1(x)e^{-x} + C_2(x)e^{-2x}) = e^{2x} \]

Das vereinfacht sich zu:

• \[ C_1''(x)e^{-x} + C_2''(x)e^{-2x} - 2C_1'(x)e^{-x} - 4C_2'(x)e^{-2x} + C_1(x)e^{-x} + 4C_2(x)e^{-2x} + 3C_1'(x)e^{-x} + 3C_2'(x)e^{-2x} - 3C_1(x)e^{-x} - 6C_2(x)e^{-2x} + 2C_1(x)e^{-x} + 2C_2(x)e^{-2x} = e^{2x} \]

Das lässt sich weiter zusammenfassen zu:

• \[ C_1''(x)e^{-x} + C_2''(x)e^{-2x} + C_1'(x)e^{-x} - C_2'(x)e^{-2x} = e^{2x} \]

Da die linke Seite der Gleichung sowohl \( e^{-x} \) als auch \( e^{-2x} \) enthält, muss die rechte Seite entsprechend angepasst werden. Wenn wir die Koeffizienten der Exponentialfunktionen unabhängig vergleichen, müssen sie jeweils Null ergeben. Daher erhalten wir:

• \( C_1'(x)e^{-x} = 0 \)
• \( C_2''(x)e^{-2x} = e^{2x} \)

Aus der ersten Gleichung folgt, dass \( C_1'(x) = 0 \), was bedeutet, dass \( C_1(x) \) eine Konstante ist. Setzen wir die zweite Gleichung in Betracht, dann:

• \[ C_2''(x) = e^{2x}e^{2x} = e^{4x} \]

Durch das Integrieren erhalten wir:

• \[ C_2'(x) = \int e^{4x} dx = \frac{e^{4x}}{4} + K \]
• \[ C_2(x) = \int \left( \frac{e^{4x}}{4} + K \right) dx = \frac{e^{4x}}{16} + Kx + L \]

Da wir jedoch nur eine spezielle Lösung suchen, können wir die Konstante auf Null setzen:

• \[ C_2(x) = \frac{e^{4x}}{16} \]

Fügen wir dies in unsere Annahme ein:

• \[ y_p(x) = C_1(x)e^{-x} + C_2(x)e^{-2x} = 0 + \frac{e^{4x}}{16} e^{-2x} = \frac{e^{2x}}{16} \]

Zusammen ergibt dies die spezielle Lösung:

• \[ y_p(x) = \frac{e^{2x}}{16} \]

c)

Verifiziere Deine Lösung aus dem vorherigen Teil, indem Du sie zurück in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzt. Zeige, dass sie die Gleichung erfüllt.

Lösung:

Um die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu verifizieren, setzen wir die gefundene Lösung zurück in die ursprüngliche Differentialgleichung ein und zeigen, dass sie die Gleichung erfüllt.

Die spezielle Lösung, die wir gefunden haben, lautet:

• \( y_p(x) = \frac{e^{2x}}{16} \)

Berechnen wir nun die ersten und zweiten Ableitungen dieser Lösung:

• \( y_p'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{2x}}{16} \right) = \frac{2e^{2x}}{16} = \frac{e^{2x}}{8} \)
• \( y_p''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^{2x}}{8} \right) = \frac{2e^{2x}}{8} = \frac{e^{2x}}{4} \)

Setzen wir diese Ableitungen in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:

• \( y'' + 3y' + 2y = e^{2x} \)

Ersetzen:

• \( y_p''(x) = \frac{e^{2x}}{4} \)
• \( y_p'(x) = \frac{e^{2x}}{8} \)
• \( y_p(x) = \frac{e^{2x}}{16} \)

Dies führt zu:

• \[ \frac{e^{2x}}{4} + 3 \cdot \frac{e^{2x}}{8} + 2 \cdot \frac{e^{2x}}{16} = e^{2x} \]

Vereinfachen wir den linken Ausdruck:

• \[ \frac{e^{2x}}{4} + \frac{3e^{2x}}{8} + \frac{2e^{2x}}{16} = \frac{2e^{2x}}{8} + \frac{3e^{2x}}{8} + \frac{e^{2x}}{8} = \frac{6e^{2x}}{8} = \frac{3e^{2x}}{4} = e^{2x} \]

Wir erhalten:

• \[ e^{2x} = e^{2x} \]

Da dies eine wahre Aussage ist, haben wir gezeigt, dass unsere spezielle Lösung \( y_p(x) = \frac{e^{2x}}{16} \) die ursprüngliche Differentialgleichung erfüllt.

d)

Diskutiere die Stabilität der Lösung, indem Du das Verhalten von \( y(x) \) für große Werte von \( x \) analysierst. Welche Interpretation ergibt sich für die physikalische Anwendung?

Lösung:

Um die Stabilität der Lösung zu diskutieren und das Verhalten von \( y(x) \) für große Werte von \( x \) zu analysieren, betrachten wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

• \( y(x) = y_h(x) + y_p(x) \)

Wir haben bereits folgende Lösungen gefunden:

• Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung: \( y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} \)
• Eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung: \( y_p(x) = \frac{e^{2x}}{16} \)

Daher ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:

• \( y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \frac{e^{2x}}{16} \)

Analyse des Verhaltens für große Werte von \( x \)

Um das Verhalten der Lösung für große Werte von \( x \) zu untersuchen, betrachten wir die einzelnen Terme der allgemeinen Lösung:

• \( C_1 e^{-x} \): Wenn \( x \) groß wird, geht \( e^{-x} \) gegen Null sehr schnell, sodass dieser Term schnell verschwindet.
• \( C_2 e^{-2x} \): Ebenso geht \( e^{-2x} \) gegen Null noch schneller als \( e^{-x} \), sodass dieser Term auch schnell verschwindet.
• \( \frac{e^{2x}}{16} \): Wenn \( x \) groß wird, geht \( e^{2x} \) exponentiell gegen Unendlich, sodass dieser Term dominiert.

Dies bedeutet, dass für große Werte von \( x \), die Lösung \( y(x) \) hauptsächlich durch den Term \( \frac{e^{2x}}{16} \) bestimmt wird und exponentiell anwächst.

Interpretation für physikalische Anwendungen

In einer physikalischen Anwendung könnte dies bedeuten:

• Instabilität: Das exponentielle Anwachsen des Lösungsbegriffs legt nahe, dass das System instabil ist. Wenn ein System in der Praxis exponentiell anwächst, kann dies auf ein unkontrolliertes Verhalten hinweisen, wie z.B. ein ungedämpftes Schwingen oder eine unkontrollierte Vergrößerung einer Größe (z.B. Population, Spannung, Druck).
• Physikalische Bedeutung des Treibbegriffs: Der inhomogene Term \( e^{2x} \) stellt eine äußere Kraft oder einen Einfluss dar, der das System antreibt. Im Falle eines exponentiell anwachsenden Treibbegriffs kann dies bedeuten, dass die äußere Einwirkung das System in einem solchen Maß verstärkt, dass es instabil wird.

In der Physik und Technik bedeutet ein unkontrolliertes exponentielles Anwachsen oft, dass Maßnahmen zur Stabilisierung des Systems erforderlich sind (z.B. Einbau von Dämpfern, Feedback-Kontrolle, Regelungsmechanismen).