Mathematik B für Physikstudierende - Cheatsheet

Differential- und Integralrechnung in einer Dimension

Definition:

Funktion ableiten und integrieren in einer Dimension. Nutze Ableitungsregeln und Integrationsmethoden.

Details:

• Defintion: ableiten: \( f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) integrieren: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)
• Ableitungsregeln: Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel
• Integrationsverfahren: partielle Integration, Substitution
• Spezielle Funktionen: Polynom, Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen
• Fundamentalsatz der Analysis: \( \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x) \) und \( \int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a) \)

Taylor-Reihen und ihre Anwendungen

Definition:

Taylor-Reihen: Näherung einer Funktion durch unendliche Summe von Ableitungen an einem Punkt.

Details:

• Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um Punkt a: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]
• Maclaurin-Reihe: Spezialfall für a = 0
• Anwendung: Berechnung von Näherungen, analytische Fortsetzungen, Lösung von Differentialgleichungen, Approximation in der Physik
• Konzepte: Konvergenzradius, Restgliederabschätzung

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \( \mathbf{v} \) einer Matrix \( A \) erfüllen \( A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \).

Details:

• Eigenwertgleichung: \[A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\]
• Charakteristisches Polynom: \[\det(A-\lambda I) = 0\]
• Berechnung von \( \lambda \): Nullstellen des charakteristischen Polynoms
• Eigenvektoren finden durch Einsetzen der \( \lambda \) in \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \)
• Wichtige Anwendung: Diagonalisierung von Matrizen

Residuensatz und Anwendung

Definition:

Residuensatz: Werkzeug in der komplexen Analysis zur Berechnung von Kurvenintegralen durch Verwendung der Residuen der Funktion.

Details:

• Residuensatz: Falls \( f \) auf \( U\setminus\{a_1,...,a_n\}\) holomorph ist, dann gilt für eine beschränkte, positiv orientierte Jordan-Kurve \( \gamma \) in \(U\): \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, a_k) \]
• Residuum: \( \text{Res}(f,a) = \frac{1}{(m-1)!} \, \lim_{z \to a} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-a)^m f(z)] \) für eine Pole der Ordnung \( m \) bei \( z=a \).
• Anwendung: Berechnung von Integralen über geschlossene Kurven, Auswertung von Realintegralen und in der theoretischen Physik zur Lösung von Problemen.

Fourier-Reihe und Fourier-Transformation

Definition:

Zerlegung periodischer Funktionen in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen (Fourier-Reihe) bzw. Darstellung nicht-periodischer Funktionen durch eine kontinuierliche Überlagerung von Sinus- und Kosinuswellen (Fourier-Transformation).

Details:

• Fourier-Reihe: Zerlegt eine periodische Funktion in eine Reihe von Sinus- und Kosinus-Terminen.
• Allgemeine Form der Fourier-Reihe: \[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
• Fourier-Koeffizienten: \[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos \left( \frac{2 \pi nt}{T} \right) dt, \ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin \left( \frac{2 \pi nt}{T} \right) dt \]
• Fourier-Transformation: Umwandlung einer Funktion aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich.
• Formel der Fourier-Transformation: \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \]
• Rücktransformation: \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d\omega \]
• Eigenschaften: Linearität, Frequenzverschiebung, Skalenänderung.

Wellen-Gleichung, Laplace-Gleichung und Wärmeleitungs-Gleichung

Definition:

Klassische partielle Differentialgleichungen, die in der Physik für die Beschreibung von Wellenausbreitung, Potentialfeldern und Wärmeleitung verwendet werden.

Details:

• Wellengleichung: Beschreibt die Ausbreitung von Wellen (z.B. Schall, Licht).
• Formel: \[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Delta u\]
• c: Wellengeschwindigkeit
• Laplace-Gleichung: Stationärer Zustand von Potentialfeldern (z.B. Elektrostatik).
• Formel: \[\Delta u = 0\]
• \( \Delta \): Laplace-Operator
• Wärmeleitungsgleichung: Beschreibt die zeitliche Änderung der Temperaturverteilung.
• Formel: \[\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \Delta u\]
• \( \alpha \): Wärmeleitkoeffizient

Randwert-Probleme und Spiegel-Ladung

Definition:

Randwert-Probleme: Lösungen von DGLs mit Randbedingungen. Spiegel-Ladung: Methode zur Lösung von Randwert-Problemen in Elektrostatik.

Details:

• Randwertprobleme: Finde \( u(x) \) für \( \frac{d^2 u}{dx^2} = f(x) \) mit \( u(a) = \alpha \)
• Spiegel-Ladung: Konstruiere gedachte Ladung, um Randbedingungen an leitenden Oberflächen zu erfüllen.
• Beispiel: Punktladung \( q \) vor leitender Ebene, Ersatz durch Ladung \( -q \) an Spiegelpunkt.
• Potential durch Superposition: \( \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r} \)
• In der Praxis für symmetrische Probleme und zur Vereinfachung verwendet.