Mathematik B für Physikstudierende - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei die Funktion f(x):

f(x) = x^3 \times e^{2x} \times \text{sin}(x)

Bearbeite die folgenden Aufgaben unter Anwendung der Ableitungsregeln und Integrationsmethoden:

a)

Bestimme die erste Ableitung von f(x).

Nutze die Produktregel und die Kettenregel, um die Ableitung zu berechnen:

 \( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 \times e^{2x} \times \sin(x) \right) \)

Lösung:

Um die erste Ableitung der Funktion f(x) zu berechnen, wenden wir die Produktregel und die Kettenregel an. Beginnen wir mit der gegebenen Funktion:

f(x):

  f(x) = x^3 \times e^{2x} \times \text{sin}(x) 

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts von Funktionen die Summe der Produkte der Ableitungen der einzelnen Funktionen ist. Dafür benötigen wir die folgenden Ableitungen:

• Die Ableitung von x^3:

  \frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2 

  \frac{d}{dx} (e^{2x}) = 2e^{2x} 

  \frac{d}{dx} (\text{sin}(x)) = \text{cos}(x) 

Die Produktregel für n Funktionen lautet:

  \frac{d}{dx} \big(u \times v \times w\big) = u' \times v \times w + u \times v' \times w + u \times v \times w' 

Setze nun die Ableitungen der einzelnen Funktionen ein (u = x^3, v = e^{2x}, w = \text{sin}(x)):

  f'(x) = \frac{d}{dx} \big(x^3 \times e^{2x} \times \text{sin}(x)\big) 

  f'(x) = 3x^2 \times e^{2x} \times \text{sin}(x) + x^3 \times 2e^{2x} \times \text{sin}(x) + x^3 \times e^{2x} \times \text{cos}(x) 

Zusammengefasst ergibt sich folgende Ableitung für f(x):

  f'(x) = 3x^2 \times e^{2x} \times \text{sin}(x) + 2x^3 \times e^{2x} \times \text{sin}(x) + x^3 \times e^{2x} \times \text{cos}(x) 

Dies ist die gesuchte erste Ableitung der Funktion f(x).

b)

Berechne das unbestimmte Integral von g(x):

Sei g(x) eine Funktion gegeben durch:

 g(x) = x \times e^{3x} 

Verwende die Methode der partiellen Integration, um das unbestimmte Integral von g(x) zu berechnen:

 \( \int g(x) dx = \int x e^{3x} dx \) 

Lösung:

Um das unbestimmte Integral von g(x) zu berechnen, verwenden wir die Methode der partiellen Integration. Diese Methode besagt:

\[ \int u \cdot v' \, dx = uv - \int v \cdot u'\, dx \]

Für unsere Funktion g(x):

 g(x) = x \cdot e^{3x} 

wählen wir:

• u = x
• v' = e^{3x}

Bestimmen wir nun die Ableitung und das Integral der Teile:

• u' = 1
• v = \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x}

Setzen wir diese in die Formel für die partielle Integration ein:

\[ \int x \cdot e^{3x} \, dx = x \cdot \left(\frac{1}{3} e^{3x}\right) - \int \left(\frac{1}{3} e^{3x}\right) \, dx \]

Vereinfachen wir dies weiter:

\[ = \frac{x}{3} e^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} \, dx \]

Da wir bereits berechnet haben, dass \( \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \), setzen wir dies in unsere Gleichung ein:

\[ = \frac{x}{3} e^{3x} - \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3} e^{3x}\right) \]

\[ = \frac{x}{3} e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \]

Daher ergibt sich das unbestimmte Integral von g(x):

\[ \int x \, e^{3x} \, dx = \frac{x}{3} e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} + C \]

Hierbei ist C die Integrationskonstante.

c)

Wende den Fundamentalsatz der Analysis an, um folgendes Integral auszuwerten:

Bestimme den Wert des bestimmten Integrals:

 \( \int_0^{\pi} x^2 \sin(x) dx \)

Verwende die Methode der Substitution und den Fundamentalsatz der Analysis, um das Integral zu lösen:

Lösung:

Um das bestimmte Integral \(\int_0^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx\) zu lösen, wenden wir die Methode der Substitution an und nutzen den Fundamentalsatz der Analysis. Der Fundamentalsatz der Analysis besagt:

 \[\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)\]

Hierbei ist \(F(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x)\), also \(\frac{d}{dx}F(x) = f(x)\).

Sei \(u = \sin(x)\), dann ergibt sich \(du = \cos(x) \, dx\). Allerdings müssen wir die quadratische Funktion x^2 berücksichtigen. Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die Methode der partiellen Integration:

 \[\int u \, dv = uv - \int v \, du\]

Für das gegebene Integral wählen wir:

• u = x^2
• dv = \sin(x) \, dx

Dann haben wir:

• du = 2x \, dx
• v = -\cos(x)

Setzen wir diese in die Formel für die partielle Integration ein:

\[\int_0^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx = \left. -x^2 \cos(x) \right|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} 2x \cos(x) \, dx\]

Nun müssen wir das Integral \(\int_0^{\pi} 2x \cos(x) \, dx\) lösen. Hier wenden wir erneut die Methode der partiellen Integration an:

• u = 2x
• dv = \cos(x) \, dx
• du = 2 \, dx
• v = \sin(x)

Damit ergibt sich:

\[\int_0^{\pi} 2x \cos(x) \, dx = \left. 2x \sin(x) \right|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 2 \sin(x) \, dx\]

Lösen wir das Integral \(\int_0^{\pi} 2 \sin(x) \, dx\):

\[\int_0^{\pi} 2 \sin(x) \, dx = 2 \left. -\cos(x) \right|_0^{\pi} = 2 \left[ -\cos(\pi) - (-\cos(0)) \right] = 2 \left[ -(-1) - (-1) \right] = 2(2) = 4\]

Setzen wir dies in unsere ursprüngliche Gleichung ein:

\[\int_0^{\pi} 2x \cos(x) \, dx = \left. 2x \sin(x) \right|_0^{\pi} - 4\]

Wir erhalten:

 \[= 2\pi \sin(\pi) - 2 \cdot 0 \sin(0) - 4 = 0 - 4 = -4\]

Nun setzen wir dies in unsere ursprüngliche Gleichung ein:

\[\int_0^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx = \left. -x^2 \cos(x) \right|_0^{\pi} + (-4)\]

Lösen wir dies weiter auf:

 \[= -\pi^2 \cos(\pi) + 0^2 \cos(0) - 4 = -\pi^2(-1) + 0 - 4 = \pi^2 - 4\]

Somit ist der Wert des bestimmten Integrals:

\[ \int_0^{\pi} x^2 \sin(x) \, dx = \pi^2 - 4\]

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion \( f(x) = \sin(x) \) und deren Taylor-Reihe um den Punkt \( a = 0 \). Diese Taylor-Reihe ist auch als Maclaurin-Reihe bekannt. Nutze diese Information, um die folgenden Übungen zu beantworten:

a)

Berechne die ersten vier nichttrivialen Glieder der Maclaurin-Reihe von \( f(x) = \sin(x) \). Bestimme anschließend den Konvergenzradius der Reihe. Zahle die einzelnen Schritte dabei auf.

Lösung:

Berechnung der ersten vier nichttrivialen Glieder der Maclaurin-Reihe von \( f(x) = \sin(x) \)

Betrachten wir die Funktion \( f(x) = \sin(x) \). Die Maclaurin-Reihe einer Funktion wird durch die folgende allgemeine Formel dargestellt:

• Allgemeine Formel:
• • \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \]

Schritte zur Berechnung der Ableitungen:

• Berechne die ersten paar Ableitungen von \( f(x) = \sin(x) \)
• Evaluieren die Ableitungen an der Stelle \( x = 0 \)
• Setze die Werte in die Maclaurin-Reihe ein

Berechnung der Ableitungen:

• \[ f(x) = \sin(x) \]
• \[ f'(x) = \cos(x)\]
• \[ f''(x) = -\sin(x) \]
• \[ f'''(x) = -\cos(x) \]
• \[ f^4(x) = \sin(x) \]

Evaluieren der Ableitungen an der Stelle \( x = 0 \):

• \[ f(0) = \sin(0) = 0 \]
• \[ f'(0) = \cos(0) = 1 \]
• \[ f''(0) = -\sin(0) = 0 \]
• \[ f'''(0) = -\cos(0) = -1 \]

Substituiere diese Werte in die Maclaurin-Reihe:

• \[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^n(0)}{n!} x^n \]

Die ersten vier nichttrivialen Glieder der Maclaurin-Reihe von \( \sin(x) \) sind:

• \[ \sin(x) = \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]
• \[ = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots \]

Berechnung des Konvergenzradius

Der Konvergenzradius einer Maclaurin-Reihe für die Funktion \( \sin(x) \) kann mit dem Wurzelkriterium oder dem Quotientenkriterium bestimmt werden. Hier verwenden wir das Quotientenkriterium:

• Quotientenkriterium:
• \[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{a_{n+1}}{a_n} \]

Für die Reihe:

• \[ a_n = \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

Erhalten wir:

• \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{n+1} x^{2n+3}}{(2n+3)!} \cdot \frac{(2n+1)!}{(-1)^n x^{2n+1}} \]

Dann ist:

• \[ = \frac{-x^2}{(2n+2)(2n+3)} \]
• \[ = -\frac{x^2}{(2n+2)(2n+3)} \]
• \[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{-x^2}{(2n+2)(2n+3)} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{x^2}{2(n+1)(2n+3)} = 0 \]

Da der Grenzwert Null ist, ist der Konvergenzradius unendlich:

• Konvergenzradius: \( R = \infty \)

b)

Zeige, dass \( f(x) = \sin(x) \) entlang der Maclaurin-Reihe in Nachbarschaft zu \( x = 0 \) approximiert werden kann. Berechne den Wert der Funktion und der Taylor-Näherung bei \( x = \frac{\pi}{6} \). Vergleiche die Ergebnisse und beurteile die Genauigkeit der Näherung.

Lösung:

Approximation von \( f(x) = \sin(x) \) durch die Maclaurin-Reihe in der Nachbarschaft von \( x = 0 \)

Wir haben bereits die Maclaurin-Reihe von \( f(x) = \sin(x) \) berechnet:

• \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots \]

Um zu zeigen, dass \( \sin(x) \) durch diese Reihe in der Nachbarschaft von \( x = 0 \) approximiert werden kann, betrachten wir die ersten vier nichttrivialen Glieder:

• \[ \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} \]

Berechnung an der Stelle \( x = \frac{\pi}{6} \)

Die Taylor-Näherung um den Punkt \( a = 0 \) lautet:

• \[ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx \frac{\pi}{6} - \frac{1}{6} \left( \frac{\pi}{6} \right)^3 + \frac{1}{120} \left( \frac{\pi}{6} \right)^5 - \frac{1}{5040} \left( \frac{\pi}{6} \right)^7 \]

Berechnen wir die einzelnen Terme:

• \[ x = \frac{\pi}{6} \]
• \[ x^3 = \left( \frac{\pi}{6} \right)^3 = \frac{\pi^3}{216} \]
• \[ x^5 = \left( \frac{\pi}{6} \right)^5 = \frac{\pi^5}{7776} \]
• \[ x^7 = \left( \frac{\pi}{6} \right)^7 = \frac{\pi^7}{279936} \]

Setzen wir diese in die Taylor-Näherung ein:

• \[ \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) \approx \frac{\pi}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi^3}{216} + \frac{1}{120} \cdot \frac{\pi^5}{7776} - \frac{1}{5040} \cdot \frac{\pi^7}{279936} \]

Vereinfachen wir die Terme:

• \[ \frac{\pi}{6} = 0.5235987756 \]
• \[ \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi^3}{216} = \frac{\pi^3}{1296} \approx 0.01745329252 \]
• \[ \frac{1}{120} \cdot \frac{\pi^5}{7776} = \frac{\pi^5}{933120} \approx 0.00000223168 \]
• \[ \frac{1}{5040} \cdot \frac{\pi^7}{279936} = \frac{\pi^7}{14192640} \approx 0.00000002869 \]

Somit ergibt sich:

• \[ \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) \approx 0.5235987756 - 0.01745329252 + 0.00000223168 - 0.00000002869 \]
• \[ \approx 0.5061476861 \]

Berechnung des tatsächlichen Wertes der Funktion

Der genaue Wert von \( \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) \) ist:

• \[ \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} = 0.5 \]

Vergleich der Ergebnisse und Beurteilung der Genauigkeit

Vergleichen wir die Ergebnisse:

• Exakte Funktion: \( \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) = 0.5 \)
• Taylor-Näherung: \( 0.5061476861 \)

Die Abweichung beträgt etwa:

• \( 0.5061476861 - 0.5 = 0.0061476861 \)

Beurteilung: Die Maclaurin-Reihe liefert eine gute Approximation in der Nähe von \( x = 0 \). Wie wir sehen können, ist die Abweichung bei \( x = \frac{\pi}{6} \) sehr klein. Dies zeigt, dass die Taylor-Näherung für kleine Werte von \( x \) (in der Nähe von 0) sehr genau ist.

Aufgabe 3)

Gegeben sei die Matrix

 A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} 

Diese Matrix beschreibt ein lineares System. Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A und verwende diese Informationen, um die Matrix zu diagonalisieren.

a)

• Berechne die Eigenwerte der Matrix A. Dazu musst Du das charakteristische Polynom \( \det(A-\lambda I) = 0 \) aufstellen und lösen.

Lösung:

Um die Eigenwerte der Matrix A zu berechnen, mußt Du zuerst das charakteristische Polynom aufstellen. Das charakteristische Polynom ist gegeben durch:

\begin{equation} \text{det}(A - \lambda I) = 0 \end{equation}

Hier ist I die Einheitsmatrix und \lambda ein Eigenwert der Matrix A.

Gegeben sei die Matrix: \begin{equation} A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{equation}

Die Einheitsmatrix I sieht wie folgt aus: \begin{equation} I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation}

Substrahiere nun \lambda mal die Einheitsmatrix I von A:

\begin{equation} A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 1\ 2 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \end{equation}

Nun berechne die Determinante dieser Matrix:

\begin{equation} \text{det}(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2)(1) \end{equation} Diese Gleichung vereinfacht sich zu: \begin{equation} \text{det}(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = (12 - 7 \lambda + \lambda^2) - 2 = \lambda^2 - 7 \lambda + 10 \end{equation}

Setze die Determinante gleich Null, um das charakteristische Polynom zu erhalten:

\begin{equation} \lambda^2 - 7 \lambda + 10 = 0 \end{equation}

Nun löse diese quadratische Gleichung, um die Eigenwerte zu finden:

• \begin{equation} \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{equation}
• \begin{equation} a=1, b=-7, c=10 \end{equation}

• \begin{equation} \lambda_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \end{equation}
• So sind die Eigenwerte: \begin{equation} \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2 \end{equation}

b)

• Bestimme zu jedem Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren. Setze dazu die Eigenwerte in die Gleichung \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \) ein und löse sie.

Lösung:

Um die Eigenvektoren der Matrix A zu bestimmen, mußt Du die Eigenwerte in die Gleichung \((A - \lambda I) \mathbf{v} = 0\) einsetzen und die Gleichung lösen. Wir haben schon die Eigenwerte \(\lambda_1 = 5\) und \(\lambda_2 = 2\) berechnet.

1. Eigenvektor für \(\lambda_1 = 5\)

Ersetze \(\lambda\) durch 5 in der Gleichung \(A - \lambda I\):

\(A - 5I = \begin{pmatrix} 4 & 1\ 2 & 3 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix}\)

Nun löse das Gleichungssystem \((A - 5I)\mathbf{v} = 0\):

\begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\)

Dieses Gleichungssystem ergibt zwei äquivalente Zeilen: \(-v_1 + v_2 = 0\). Das bedeutet, dass \(v_1 = v_2\).

Ein Eigenvektor für \(\lambda_1 = 5\) ist daher \(\mathbf{v_1} = k \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}\), wobei \(k\) ein beliebiger Skalar ist.

2. Eigenvektor für \(\lambda_2 = 2\)

Ersetze \(\lambda\) durch 2 in der Gleichung \(A - \lambda I\):

\(A - 2I = \begin{pmatrix} 4 & 1\ 2 & 3 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix}\)

Nun löse das Gleichungssystem \((A - 2I)\mathbf{v} = 0\):

\begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\)

Dieses Gleichungssystem ergibt zwei äquivalente Zeilen: \(2v_1 + v_2 = 0\). Das bedeutet, dass \(v_2 = -2v_1\).

Ein Eigenvektor für \(\lambda_2 = 2\) ist daher \(\mathbf{v_2} = k \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}\), wobei \(k\) ein beliebiger Skalar ist.

d)

• Nutze die Eigenwerte und Eigenvektoren, um die Matrix A zu diagonalisieren. Stelle A in der Form \( A = PDP^{-1} \) dar, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte und P die Matrix der Eigenvektoren ist.

Lösung:

Um die Matrix A zu diagonalisieren, nutzen wir die Eigenwerte und Eigenvektoren, die wir zuvor gefunden haben. Wir stellen die Matrix in der Form \(A = PDP^{-1}\) dar, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte und P die Matrix der Eigenvektoren ist.

Die Eigenwerte sind:

• \(\lambda_1 = 5\)
• \(\lambda_2 = 2\)

Die entsprechenden Eigenvektoren sind:

• Zu \(\lambda_1 = 5\): \(\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}\)
• Zu \(\lambda_2 = 2\): \(\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}\)

Nun konstruieren wir die Matrix P aus den Eigenvektoren:

\(P = \begin{pmatrix} \mathbf{v_1} & \mathbf{v_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix}\)

Die Diagonalmatrix D besteht aus den Eigenwerten:

\(D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}\)

Jetzt müssen wir die Inverse der Matrix P berechnen, um P^{-1} zu erhalten. Die Inverse einer 2x2-Matrix \(\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\) ist gegeben durch:

\(\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}\)

Für unsere Matrix P:

\(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix}\)

Bestimme die Determinante det(P):

\(det(P) = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 = -2 - 1 = -3\)

Die Inverse von P ist:

\(P^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -2 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}\)

Jetzt können wir A in der Form PDP^{-1} darstellen:

\(A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}\)

Nehmen wir die Multiplikation in Schritten:

1. Berechne PD:

\(PD = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \ 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 & 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 5 & -4 \end{pmatrix}\)

2. Berechne (PD)P^{-1}:

\(\begin{pmatrix} 5 & 2 \ 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} & 5 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \ 5 \cdot \frac{2}{3} + (-4) \cdot \frac{1}{3} & 5 \cdot \frac{1}{3} + (-4) \cdot (-\frac{1}{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} + \frac{2}{3} & \frac{5}{3} - \frac{2}{3} \ \frac{10}{3} - \frac{4}{3} & \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix}\)

Somit haben wir die Darstellung von A in der Form PDP^{-1} gezeigt.