Mathematik C für Physikstudierende - Cheatsheet

Partielle Integration und Substitutionstechniken

Definition:

Techniken zur Berechnung von Integralen; Verwende entsprechend der Form des Integranden die passende Methode.

Details:

• Partielle Integration: Nutze die Formel \( \int u \cdot v' \, dx = uv - \int u' \cdot v \, dx \)
• Wähle \( u \) und \( v' \) strategisch, sodass das resultierende Integral einfacher zu lösen ist
• Substitutionstechniken: Ersetze eine Variable durch eine andere, um das Integral zu vereinfachen
• Standard-Substitution: Setze \( u = g(x) \) und \( du = g'(x) dx \)
• Resultierendes Integral berechnen und zurücksubstituieren

Numerische Integration und Anwendungen in der Physik

Definition:

Numerische Integration: Verfahren zur Berechnung von Integralen, wenn analytische Lösungen schwierig oder unmöglich sind. Anwendung in der Physik zur Lösung komplexer Probleme.

Details:

• Rechteckregel: Simple Methode, Fehler proportional zu \(\frac{1}{n}\).
• Trapezregel: Genauere Methode, Fehler proportional zu \(\frac{1}{n^2}\).
• Simpsons Regel: Noch genauer, Fehler proportional zu \(\frac{1}{n^4}\).
• Monte-Carlo-Integration: Stochastischer Ansatz, nützlich bei höherdimensionalen Integralen.
• Quadrieren von physikalischen Daten: Anwendung zur Bestimmung von Flächen unter Kurven, z.B. für Arbeit oder Energie.
• Numerische Integration von Differentialgleichungen: Nutzen in der kinematischen oder dynamischen Analyse, z.B. mit Runge-Kutta-Verfahren.

Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichungen

Definition:

Differentialgleichungen (DG), bei denen der Differentialoperator linear ist.

Details:

• Homogen: Rechte Seite der DG ist null: \(L[y] = 0\)
• Inhomogen: Rechte Seite der DG ist nicht null: \(L[y] = f(x)\)
• Allg. Form: \(a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x)\)
• Lösung homogen: Summe der Fundamentallösungen
• Lösung inhomogen: Homogene Lösung + Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung

Charakteristische Gleichungen und Variationsmethoden

Definition:

Charakteristische Gleichungen und Variationsmethoden behandeln Lösungen für Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme.

Details:

• Charakteristische Gleichung: Eigenwertproblem formulieren, oftmals bei Differentialoperationen, in Form \(A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\).
• Variationsmethode: Approximation von Lösungen durch Minimierung von Funktionalen, häufig in der Form \(\delta J = 0\), mit \(J[\varphi] = \int_a^b L(x,\varphi, \varphi') \, dx\).
• Wichtige Schritte: Ansatz wählen, Funktion ableiten, Randbedingungen beachten.
• Ritz-Methode: Galerkin-Ansatz zur Numerik, verwendet Basisfunktionen.

Fourier-Transformation im Zeit- und Frequenzbereich

Definition:

Umwandlung einer zeitabhängigen Funktion in eine Frequenzdarstellung und umgekehrt.

Details:

• Umrechnung: \( f(t) \leftrightarrow F(\omega) \)
• Formel direkte Transformation: \ [ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt \]
• Formel inverse Transformation: \ [ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega \]
• Gebraucht: Signalverarbeitung, Quantenmechanik
• Eigenschaften: Linearität, Zeitverschiebung, Frequenzverschiebung
• Parsevalsches Theorem: \ [ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 \, d\omega \]

Laplace-Transformation und ihre physikalischen Anwendungen

Definition:

Laplace-Transformation: Transformation von Funktionen vom Zeitbereich in den Frequenzbereich zur Vereinfachung von Differentialgleichungen.

Details:

• Definition: \[ \boxed{ \text{L}\big\{f(t)\big\}(s) = F(s) = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt } \]
• Linearität: \[ \text{L}\big\{af(t) + bg(t)\big\}(s) = aF(s) + bG(s) \]
• Verschiebungseigenschaft: \[ \text{L}\big\{f(t-t_0)u(t-t_0)\big\}(s) = e^{-st_0}F(s) \]
• Ableitung: \[ \text{L}\big\{f'(t)\big\}(s) = sF(s) - f(0) \]
• Häufige Anwendung in der Physik: Lösung von linearen Differenzialgleichungen, Schaltkreisanalyse, Steuerungssystemen und Schwingungssystemen.

Trennung der Variablen bei partiellen Differentialgleichungen

Definition:

Methode zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs), bei der eine mehrdimensionale Funktion in Produkte von eindimensionalen Funktionen zerlegt wird.

Details:

• Gegeben: Eine PDE der Form \(u(x,t)\).
• Ansatz: \(u(x,t) = X(x)T(t)\).
• Führe in PDE einsetzen: Getrennte Gleichungen für \(X(x)\) und \(T(t)\) entstehen.
• Typischerweise ergibt sich: \[\frac{1}{X(x)}\frac{d^2 X(x)}{dx^2} = \frac{1}{T(t)}\frac{d^2 T(t)}{dt^2} = -\lambda\]
• Verwendung von Rand- und Anfangsbedingungen zur Bestimmung von \(\lambda\) und den Lösungen.
• Häufig angewandt auf Probleme wie die Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung oder Laplace-Gleichung.