Mathematik C für Physikstudierende - Exam

Aufgabe 1)

Du möchtest das Integral \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx}\) berechnen. Du entscheidest Dich, partielle Integration und Substitutionstechniken zu verwenden.

a)

Wende die Methode der partiellen Integration an, um \( \frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} \) zu berechnen. Wähle dabei strategisch \(u\) und \(v'\), sodass das resultierende Integral einfacher zu lösen ist. Zeige Deine vollständigen Berechnungen und den resultierenden Ausdruck.

Lösung:

Um das Integral \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx}\) zu berechnen, verwenden wir die Methode der partiellen Integration. Die Regel für partielle Integration lautet:

• Formel der partiellen Integration: \(\int u v' \mathrm{dx} = uv - \int v u' \mathrm{dx} \)

Wir müssen \((u)\) und \((v')\) so wählen, dass das Integral vereinfacht wird. Eine strategische Wahl ist:

• \(u = x\)
• \(v' = e^{2x}\)

Nun berechnen wir die Ableitungen und Integrale der gewählten Funktionen:

• \(u' = \frac{du}{dx} = 1\)
• Das Integral von \((v')\) ergibt \((v)\): \(\int e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{1}{2} e^{2x}\)

Setzen wir diese Werte in die Formel der partiellen Integration ein:

Berechnung:

• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{1}{2} \left[ x \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \mathrm{dx} \right]\)
• Ein bisschen vereinfacht ergibt sich:
• \(\frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \mathrm{dx} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} e^{2x} \right]\)
• Weiter vereinfacht:
• \(\frac{1}{2} \left[ \frac{xe^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} \right] = \frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8}\)

Der vollständige Ausdruck für das Integral lautet also:

• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8} + C\)

Hierbei ist \(C\) die Integrationskonstante.

b)

Nachdem Du den integralen Ausdruck aus dem vorherigen Teil vereinfacht hast, bestimme das resultierende Integral. Berechne es vollständig und zeige, wie Du auf das Endergebnis kommst.

Lösung:

Im vorherigen Teil haben wir die partielle Integration auf das Integral \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx}\) angewendet und folgenden Ausdruck erhalten:

• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8} + C\)

Nun werden wir den resultierenden Ausdruck weiter untersuchen und das Endergebnis bestimmen.

Schritt 1: Überprüfen der Berechnung

• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8} + C\)

Im nächsten Schritt führen wir eine vollständige Berechnung durch.

Schritt 2: Vereinfachung des integralen Ausdrucks und vollständige Berechnung

Um das Integral vollständig zu bestimmen, stellen wir den zuvor gefundenen Ausdruck auf:

• Der vollständige Ausdruck: \(\frac{1}{2} \left( \frac{xe^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} \right) + C\)

Jetzt lösen wir den Ausdruck auf:

• \(= \frac{1}{2} \cdot \frac{xe^{2x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2x}}{4} + C\)
• \(= \frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8} + C\)

Somit ist unser vollständiges Ergebnis wie folgt:

• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8} + C\)

Hierbei ist \(C\) die Integrationskonstante, welche die unbestimmte Integration berücksichtigt.

c)

Wende im nächsten Schritt eine Substitutionstechnik an. Setze \(u = 2x\) und bestimme \(du\) in Abhängigkeit von \(dx\). Berechne das resultierende Integral und schreibe es in der ursprünglichen Variablen zurück.

Lösung:

Um fortzufahren, wenden wir eine Substitutionstechnik an. Setzen wir:

• Substitution: \(u = 2x\)

und bestimmen \(du\) in Abhängigkeit von \(dx\):

• \(du = 2dx\)
• somit ist \(dx = \frac{du}{2}\).

Unser Integral \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx}\) wird transformiert. Ersetzen wir die entsprechenden Terme:

• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{1}{2} \int x e^{u} \frac{du}{2}\)
• Da \(u = 2x\), ergibt sich \(x = \frac{u}{2}\).

Das Integral wird somit zu:

• \(\frac{1}{2} \int \frac{u}{2} e^{u} \frac{du}{2}\)
• = \(\frac{1}{8} \int u e^{u} du\).

Nun berechnen wir das neue Integral \(\int u e^{u} du\) durch partielle Integration:

• Setze:
• \(v = u\)
• \(w' = e^{u}\)

dann ist:

• \(v' = du\)
• \(w = e^{u}\).

Die partielle Integrationsformel lautet:

• \(\int v w' du = v w - \int w v' du\).

Einsetzen ergibt:

• \(\int u e^{u} du = u e^{u} - \int e^{u} du\)
• = \(u e^{u} - e^{u} + C\).

Setzen wir das in unser transformiertes Integral ein:

• \(\frac{1}{8} \int u e^{u} du = \frac{1}{8} (u e^{u} - e^{u} + C)\)
• = \( \frac{u e^{u}}{8} - \frac{e^{u}}{8} + \frac{C}{8}\).

Nun führen wir die Rücksubstitution durch:

• \(u = 2x\) ergibt:
• = \( \frac{2x e^{2x}}{8} - \frac{e^{2x}}{8} + \frac{C}{8} \)
• = \( \frac{1}{4} x e^{2x} - \frac{1}{8} e^{2x} + C \)

Somit erhalten wir für das ursprüngliche Integral:

• \( \frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{1}{4} x e^{2x} - \frac{1}{8} e^{2x} + C \).

d)

Vergleiche die Ergebnisse aus den vorherigen Teilen. Stimmen sie überein? Wenn ja, erkläre, warum dies der Fall ist. Wenn nein, überprüfe Deine Berechnungen und finde gegebenenfalls den Fehler. Schreibe Deinen Vergleich und Deine Schlussfolgerungen nieder.

Lösung:

Im ursprünglichen Kontext mussten wir das Integral \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx}\) berechnen, und dazu haben wir partielle Integration und Substitutionstechniken verwendet.

Vergleichen wir die Ergebnisse der beiden Methoden:

• Ergebnis aus der partiellen Integration:
• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8} + C\)

• Ergebnis aus der Substitutionstechnik:
• \(\frac{1}{2} \int x e^{2x} \mathrm{dx} = \frac{1}{4} x e^{2x} - \frac{1}{8} e^{2x} + C\)

Vergleichen wir die beiden Ausdrücke:

• Partielle Integration: \(\frac{xe^{2x}}{4} - \frac{e^{2x}}{8} + C\)
• Substitution: \(\frac{1}{4} x e^{2x} - \frac{1}{8} e^{2x} + C\)

Beide Ausdrücke stimmen überein:

• \(\frac{xe^{2x}}{4} = \frac{1}{4} x e^{2x}\)
• \(\frac{e^{2x}}{8} = \frac{1}{8} e^{2x}\)

Schlussfolgerungen:

• Die Ergebnisse stimmen tatsächlich überein. Dies zeigt, dass sowohl die partielle Integration als auch die Substitutionstechniken korrekt angewendet wurden.
• Der Grund, warum diese Ergebnisse übereinstimmen, liegt darin, dass beide Methoden zwar unterschiedlich sind, aber letztendlich das gleiche Integral berechnen. Die partielle Integration zerlegt das Integral in einfachere Teile, während die Substitution den Integrationsbereich ändert, aber beide führen zum gleichen Endresultat.

Aufgabe 2)

Numerische Integration in der Physik: Numerische Integration ist ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Integralen, insbesondere wenn analytische Lösungen schwierig oder unmöglich sind. In der Physik wird numerische Integration häufig eingesetzt, um komplexe Probleme zu lösen, die in vielen Bereichen wie Thermodynamik, Mechanik und Elektrodynamik auftreten. Bekannt sind Methoden wie die Rechteckregel, Trapezregel, Simpsons Regel und Monte-Carlo-Integration. Darüber hinaus werden numerische Integrationsverfahren verwendet, um Differentialgleichungen zu lösen, die in der kinematischen oder dynamischen Analyse eingesetzt werden (z.B. mit Runge-Kutta-Verfahren). Ein häufiges physikalisches Anwendungsbeispiel ist das Quadrieren von Daten, um die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen, was zur Berechnung von Arbeit oder Energie dienen kann.

a)

Verwende die Rechteckregel, um das Integral \(\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = 4t^3\) von \(t = 0\) bis \(t = 2\) zu berechnen. Teile das Intervall in \(n = 4\) gleiche Teile. Berechne die Annäherung und den Fehler im Vergleich zum exakten Wert des Integrals.

Lösung:

Numerische Integration mit der RechteckregelUm das Integral \ \(\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = 4t^3\) \ von \ \( t = 0 \) \ bis \ \( t = 2 \) \ zu berechnen, verwenden wir die Rechteckregel. Das Intervall wird in \ \(n = 4\) \ gleiche Teile unterteilt.

• Formel der Rechteckregel:

• \[\int_{a}^{b} f(t) \approx \Delta t \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)\]

Die Teilung des Intervalls:\[\Delta t = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5\]

• Berechne die Mittelpunkte der Teilintervalle:
• \(t_0 = 0\)
• \(t_1 = 0.5\)
• \(t_2 = 1.0\)
• \(t_3 = 1.5\)

Die Werte der Funktion an den Mittelpunkten der Teilintervalle:

• \(f(0) = 4 \cdot 0^3 = 0\)
• \(f(0.5) = 4 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.125 = 0.5\)
• \(f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4\)
• \(f(1.5) = 4 \cdot (1.5)^3 = 4 \cdot 3.375 = 13.5\)

Annäherung:

• \[I \approx \Delta t \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) = 0.5 \cdot (0 + 0.5 + 4 + 13.5) = 0.5 \cdot 18 = 9\]

Der exakte Wert des Integrals ist:

• \[\int_{0}^{2} 4t^3 \, dt = \left[ t^4 \right]_{0}^{2} = 2^4 - 0^4 = 16\]

Der Fehler bei der Rechteckregel ist:

• \[\left|9 - 16\right| = 7\]

Zusammenfassung:

• Die Rechteckregel ergibt eine Annäherung an das Integral von 9.
• Der exakte Wert des Integrals beträgt 16.
• Der Annäherungsfehler beträgt 7.

b)

Berechne dasselbe Integral wie in Teil a) mithilfe der Trapezregel und vergleiche den Fehler mit dem der Rechteckregel. Wähle ebenfalls \(n = 4\) für die Unterteilungen.

Lösung:

Numerische Integration mit der TrapezregelUm das Integral \(\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = 4t^3\) von \(t = 0\) bis \(t = 2\) zu berechnen, verwenden wir die Trapezregel. Das Intervall wird in \(n = 4\) gleiche Teile unterteilt.

• Formel der Trapezregel:

• \[\int_{a}^{b} f(t) \approx \frac{\Delta t}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(t_i) + f(b) \right]\]

Die Teilung des Intervalls:\[\Delta t = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5\]

• Berechne die Teilungspunkte:
• \(t_0 = 0\)
• \(t_1 = 0.5\)
• \(t_2 = 1.0\)
• \(t_3 = 1.5\)
• \(t_4 = 2.0\)

Die Werte der Funktion an den Teilungspunkten:

• \(f(0) = 4 \cdot 0^3 = 0\)
• \(f(0.5) = 4 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.125 = 0.5\)
• \(f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4\)
• \(f(1.5) = 4 \cdot (1.5)^3 = 4 \cdot 3.375 = 13.5\)
• \(f(2.0) = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

Annäherung:

• \[I \approx \frac{\Delta t}{2} \left[ f(0) + 2 \cdot (f(0.5) + f(1) + f(1.5)) + f(2) \right]\]

• \[I \approx \frac{0.5}{2} \left[ 0 + 2 \cdot (0.5 + 4 + 13.5) + 32 \right] = 0.25 \left[ 0 + 2 \cdot 18 + 32 \right] = 0.25 \left[ 36 + 32 \right] = 0.25 \cdot 68 = 17\]

Der exakte Wert des Integrals ist:

• \[\int_{0}^{2} 4t^3 \, dt = \left[ t^4 \right]_{0}^{2} = 2^4 - 0^4 = 16\]

Der Fehler bei der Trapezregel ist:

• \[\left| 17 - 16 \right| = 1\]

Vergleich mit der Rechteckregel:

• Die Rechteckregel ergab eine Annäherung an das Integral von 9 mit einem Fehler von 7.
• Die Trapezregel ergibt eine Annäherung an das Integral von 17 mit einem Fehler von 1.

Zusammenfassung:

• Die Trapezregel liefert in diesem Fall eine genauere Annäherung als die Rechteckregel.

c)

Nun wende die Simpsons Regel auf das Integral von Teil a) an. Verwende wieder \(n = 4\) und bestimme den resultierenden Wert und seinen Fehler verglichen mit der analytischen Lösung.

Lösung:

Numerische Integration mit der Simpsons RegelUm das Integral \(\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = 4t^3\) von \(t = 0\) bis \(t = 2\) zu berechnen, verwenden wir die Simpsons Regel. Das Intervall wird in \(n = 4\) gleiche Teile unterteilt.

• Formel der Simpsons Regel:

• \[\int_{a}^{b} f(t) \approx \frac{\Delta t}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i \text{ungerade}} f(t_i) + 2 \sum_{i \text{gerade}} f(t_i) + f(b) \right]\]

Die Teilung des Intervalls:\[\Delta t = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5\]

• Berechne die Teilungspunkte:
• \(t_0 = 0\)
• \(t_1 = 0.5\)
• \(t_2 = 1.0\)
• \(t_3 = 1.5\)
• \(t_4 = 2.0\)

Die Werte der Funktion an den Teilungspunkten:

• \(f(0) = 4 \cdot 0^3 = 0\)
• \(f(0.5) = 4 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.125 = 0.5\)
• \(f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4\)
• \(f(1.5) = 4 \cdot (1.5)^3 = 4 \cdot 3.375 = 13.5\)
• \(f(2.0) = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

Annäherung:

• \[I \approx \frac{\Delta t}{3} \left[ f(0) + 4 \cdot (f(0.5) + f(1.5)) + 2 \cdot f(1.0) + f(2.0) \right]\]

• \[I \approx \frac{0.5}{3} \left[ 0 + 4 \cdot (0.5 + 13.5) + 2 \cdot 4 + 32 \right] = \frac{0.5}{3} \left[ 56 + 8 + 32 \right] = 0.1667 \cdot 96 = 16\]

Der exakte Wert des Integrals ist:

• \[\int_{0}^{2} 4t^3 \, dt = \left[ t^4 \right]_{0}^{2} = 2^4 - 0^4 = 16\]

Der Fehler bei der Simpsons Regel ist:

• \[\left| 16 - 16 \right| = 0\]

Zusammenfassung:

• Die Simpsons Regel liefert in diesem Fall eine genaue Annäherung an das Integral von 16.
• Der Annäherungsfehler beträgt 0.

d)

Für eine physikalische Anwendung betrachte die potentiell investierte Energie, wenn einen Gegenstand entlang einer parabolischen Bahn bewegt wird, die durch die Gleichung \(\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = 4t^3\) beschrieben wird. Verwende die in den vorherigen Teilen gelernte Methode, um die Arbeit zu berechnen, die erforderlich ist, um den Gegenstand von \(t=0\) bis \(t=2\) zu bewegen. Lege dar, welche Methode für die genaueste Schätzung verwendet werden sollte und warum.

Lösung:

Berechnung der Arbeit entlang einer parabolischen Bahn mit numerischer IntegrationUm die potentiell investierte Energie bzw. Arbeit zu berechnen, die erforderlich ist, um einen Gegenstand entlang einer parabolischen Bahn zu bewegen, verwenden wir die Simpson-Regel.Die Gleichung der Bahn ist gegeben durch:\(\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = 4t^3\)Wir sollen das Integral von \(t = 0\) bis \(t = 2\) berechnen. Dies entspricht der Berechnung der Arbeit, weil das Integral über die Kraft entlang der Verschiebung in diesem Bereich der Arbeit entspricht.

• Formel der Simpsons Regel:

• \[\int_{a}^{b} f(t) \approx \frac{\Delta t}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i \text{ungerade}} f(t_i) + 2 \sum_{i \text{gerade}} f(t_i) + f(b) \right]\]

Die Teilung des Intervalls:\[\Delta t = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5\]

• Berechne die Teilungspunkte:
• \(t_0 = 0\)
• \(t_1 = 0.5\)
• \(t_2 = 1.0\)
• \(t_3 = 1.5\)
• \(t_4 = 2.0\)

Die Werte der Funktion an den Teilungspunkten:

• \(f(0) = 4 \cdot 0^3 = 0\)
• \(f(0.5) = 4 \cdot (0.5)^3 = 4 \cdot 0.125 = 0.5\)
• \(f(1) = 4 \cdot 1^3 = 4\)
• \(f(1.5) = 4 \cdot (1.5)^3 = 4 \cdot 3.375 = 13.5\)
• \(f(2.0) = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32\)

Annäherung:

• \[I \approx \frac{\Delta t}{3} \left[ f(0) + 4 \cdot (f(0.5) + f(1.5)) + 2 \cdot f(1.0) + f(2.0) \right]\]

• \[I \approx \frac{0.5}{3} \left[ 0 + 4 \cdot (0.5 + 13.5) + 2 \cdot 4 + 32 \right] = \frac{0.5}{3} \left[ 56 + 8 + 32 \right] = 0.1667 \cdot 96 = 16\]

Der exakte Wert des Integrals ist:

• \[\int_{0}^{2} 4t^3 \, dt = \left[ t^4 \right]_{0}^{2} = 2^4 - 0^4 = 16\]

Der Fehler bei der Simpsons Regel ist:

• \[\left| 16 - 16 \right| = 0\]

Zusammenfassung:

• Die Simpsons Regel liefert in diesem Fall eine genaue Annäherung an das Integral von 16.
• Der Annäherungsfehler beträgt 0.
• Somit ist die Simpsons Regel die genaueste Methode, die in diesem Übungsbeispiel verwendet wird, um die Arbeit zu berechnen, die erforderlich ist, um den Gegenstand von \(t=0\) bis \(t=2\) zu bewegen.

Aufgabe 3)

Löse die folgenden Differentialgleichungen und finde die allgemeine Lösung sowohl für die homogene als auch die inhomogene Gleichung. Betrachte eine Differentialgleichung der Form:

• Die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung lautet: \[a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + ... + a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x)\]
• Für die homogene Gleichung ist die rechte Seite null: \[L[y] = 0\] und für die inhomogene Gleichung: \[L[y] = f(x)\]
• Die Lösung der homogenen Gleichung ist die Summe der Fundamentallösungen. Für die Inhomogene Gleichung ist die Lösung die Summe aus der homogenen Lösung und der partikulären Lösung.

a)

Gegeben sei die homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung: \[y'' - 3y' + 2y = 0\]Finde die allgemeine Lösung dieser homogenen Differentialgleichung.

Lösung:

Löse die folgende homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung: Gegeben sei die homogene Differentialgleichung:

• \[y'' - 3y' + 2y = 0\]

Schritte zur Lösung dieser Differentialgleichung:

• 1. Bestimme die charakteristische Gleichung: Da die Differentialgleichung von der Form \[y'' - 3y' + 2y = 0\] ist, leiten wir die charakteristische Gleichung als \[r^2 - 3r + 2 = 0\] ab.
• 2. Löse die charakteristische Gleichung: Die charakteristische Gleichung \[r^2 - 3r + 2 = 0\] kann wie folgt faktorisieren werden: \[(r - 1)(r - 2) = 0\]. Da erhält man die Lösungen: \[r_1 = 1\] \[r_2 = 2\]
• 3. Bestimme die allgemeine Lösung: Für die homogene Lösung verwenden wir die Fundamentallösungen \[e^{r_1 x}\] und \[e^{r_2 x}\]. Daraus erhalten wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: \[y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\] Da \[r_1 = 1\] and \[r_2 = 2\], ist die allgemeine Lösung: \[y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\]

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung lautet:

• \[y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\]

b)

Betrachte nun die inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung:\[y'' - 3y' + 2y = e^{2x}\]Finde die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung, indem Du die partikuläre Lösung bestimmst und diese zur allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung hinzufügst.

Lösung:

Löse die folgende inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung: Gegeben sei die inhomogene Differentialgleichung:

• \[y'' - 3y' + 2y = e^{2x}\]

Schritte zur Lösung dieser Differentialgleichung:

• 1. Bestimme die homogene Lösung: Die Lösung der homogenen Differentialgleichung \[y'' - 3y' + 2y = 0\] haben wir bereits gefunden als: \[y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\]

• 2. Bestimme die partikuläre Lösung: Bei der inhomogenen Gleichung mit der rechten Seite \[e^{2x}\] vermuten wir eine partikuläre Lösung der Form \[y_p(x) = Ax e^{2x}\], da \[e^{2x}\] bereits Teil der homogenen Lösung ist (Resonanzfall). Berechnen wir die ersten beiden Ableitungen von \[y_p(x)\]: \[y_p'(x) = A(2xe^{2x} + e^{2x}) = 2Axe^{2x} + Ae^{2x}\] \[y_p''(x) = A(2e^{2x} + 2 \times 2xe^{2x} + e^{2x}) = 4Axe^{2x} + 4Ae^{2x}\]

• 3. Setze die partikuläre Lösung in die Differentialgleichung ein und bestimme die Konstante A: Setze \[y_p(x), y_p'(x)\] und \[y_p''(x)\] in die inhomogene Gleichung \[y'' - 3y' + 2y = e^{2x}\] ein: \[(4Axe^{2x} + 4Ae^{2x}) - 3(2Axe^{2x} + Ae^{2x}) + 2(Axe^{2x}) = e^{2x}\] Bringe alle Terme zusammen: \[4Axe^{2x} + 4Ae^{2x} - 6Axe^{2x} - 3Ae^{2x} + 2Axe^{2x} = e^{2x}\] Vereinfache die Gleichung: \[(4A - 6A + 2A)xe^{2x} + (4A - 3A)e^{2x} = e^{2x}\] \[0xe^{2x} + Ae^{2x} = e^{2x}\] Daraus folgt \[A = 1\]

• 4. Bestimme die gesamt Lösung: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe der homogenen Lösung \[y_h(x)\] und der partikulären Lösung \[y_p(x)\]: \[y(x) = y_h(x) + y_p(x)\] \[y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + xe^{2x}\]

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet:

• \[y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + xe^{2x}\]

Aufgabe 4)

Charakteristische Gleichungen und VariationsmethodenCharakteristische Gleichungen und Variationsmethoden behandeln Lösungen für Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme. Eine charakteristische Gleichung stellt oft ein Eigenwertproblem in der Form von \(A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\) dar. Die Variationsmethode liefert eine Approximation von Lösungen durch die Minimierung von Funktionalen, meist ausgedrückt als \(\delta J = 0\), wobei \(J[\varphi] = \int_a^b L(x,\varphi, \varphi') \, dx\). Wichtige Schritte umfassen die Wahl eines Ansatzes, das Ableiten der Funktion sowie die Berücksichtigung von Randbedingungen. Die Ritz-Methode, auch als Galerkin-Ansatz bekannt, verwendet Basisfunktionen zur numerischen Lösung.

a)

Gegeben sei die Differentialgleichung \( \frac{d^2 y}{dx^2} + k^2 y = 0 \) mit den Randbedingungen \( y(0) = 0 \) und \( y(L) = 0 \).

• Formuliere das Eigenwertproblem dieser Differentialgleichung und bestimme die charakteristische Gleichung.
• Finde die Eigenwerte \( \lambda \) und die entsprechenden Eigenfunktionen. Beachte dabei die angegebenen Randbedingungen.

Lösung:

Charakteristische Gleichung und Eigenwerte eines RandwertproblemsUm die gestellte Differentialgleichung

\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + k^2 y = 0 \]

mit den Randbedingungen

y(0) = 0 

und

y(L) = 0

zu lösen, folgen wir den angegebenen Schritten:

• Eigenwertproblem formulieren und charakteristische Gleichung bestimmen:
Wir beginnen mit der homogenen Differentialgleichung:

\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + k^2 y = 0 \]

Um die charakteristische Gleichung zu finden, setzen wir

y(x) = e^{r x}

in die Differentialgleichung ein. Die zweite Ableitung von \(y(x)\) ergibt:

\[ \frac{d^2 e^{r x}}{dx^2} = r^2 e^{r x} \]

Somit wird die Differentialgleichung zu:

\[ r^2 e^{r x} + k^2 e^{r x} = 0 \]

was vereinfacht:

\[ r^2 + k^2 = 0 \]

Die charakteristische Gleichung lautet also:

\[ r^2 + k^2 = 0 \]

Eigenwerte und Eigenfunktionen:

Um diese Gleichung zu lösen, setzen wir:

\[ r^2 = -k^2 \]

Nun lösen wir weiter, um die Eigenwerte zu finden:

\[ r = \text{±} ik \]

Das bedeutet, dass die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist:

\[ y(x) = A \, \text{sin}(kx) + B \, \text{cos}(kx) \]

Nun passen wir die Randbedingungen an:

• Für \text{y(0) = 0}:

\[ A \, \text{sin}(0) + B \, \text{cos}(0) = 0 \ \Rightarrow B = 0 \]

Daher vereinfacht sich die Lösung zu:

\[ y(x) = A \, \text{sin}(kx) \]

Für \text{y(L) = 0}:

\[ A \, \text{sin}(kL) = 0 \]

Damit diese Gleichung erfüllt ist, muss \(kL \) ein Vielfaches von \(\pi \) sein. Das bedeutet:

\[ kL = n \, \pi, \quad n \, \in \, \mathbb{Z} \quad \Rightarrow k = \frac{n \, \pi}{L}, \quad n \, \in \, \mathbb{N} \]

Dementsprechend sind die Eigenwerte:

\[ \lambda_n = k^2 = \left(\frac{n \, \pi}{L}\right)^2 \]

Die entsprechenden Eigenfunktionen sind:

\[ y_n(x) = A_n \, \text{sin}\left(\frac{n \, \pi x}{L}\right) \]

Zusammenfassend ergibt sich:

• Eigenwerte: \lambda_n = \left(\frac{n \, \pi}{L}\right)^2\, wobei \(n\) eine positive ganze Zahl ist.
• Eigenfunktionen: \( y_n(x) = A_n \, \text{sin}\left(\frac{n \, \pi x}{L}\right) \)

b)

Verwende die Variationsmethode, um eine Approximation der Lösung der Differentialgleichung \( -\frac{d^2 u}{dx^2} + u = f(x) \) im Intervall \([0, 1]\) zu bestimmen, mit den Dirichlet-Randbedingungen \( u(0) = 0 \) und \( u(1) = 0 \).

• Definiere das entsprechende Funktional \( J[u] \) und bestimme die Stationaritätsbedingungen \( \delta J = 0 \) .
• Wähle eine geeignete Ansatzfunktion \( u(x) \), die die Randbedingungen erfüllt, und leite die approximierte Lösung her.

Lösung:

Approximation der Lösung mittels VariationsmethodeUm die Differentialgleichung

\[ -\frac{d^2 u}{dx^2} + u = f(x) \]

im Intervall \([0, 1]\) mit den Dirichlet-Randbedingungen \( u(0) = 0 \) und \( u(1) = 0 \) zu lösen, verwenden wir die Variationsmethode. Folgen wir den angegebenen Schritten:

• Definiere das Funktional \( J[u] \) und bestimme die Stationaritätsbedingungen \( \delta J = 0 \):
Das Funktional \( J[u] \) kann als

\[ J[u] = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} \left( \frac{du}{dx} \right)^2 + \frac{1}{2} u^2 - uf(x) \right) dx \]

definiert werden. Um die Stationärbedingungen zu bestimmen, benutzen wir den Prinzip der Variationsmethode, was bedeutet, dass wir \( \delta J = 0 \) finden müssen.Aus der Variation von \( J[u] \) folgt die Bedingung erster Ordnung, bekannt als Euler-Lagrange-Gleichung:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial u'} \right) - \frac{\partial L}{\partial u} = 0 \]

Für unser Funktional erhalten wir:

\[ L = \frac{1}{2} u'^2 + \frac{1}{2} u^2 - uf(x) \]

Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet somit:

\[ -\frac{d^2 u}{dx^2} + u = f(x) \]

was genau die gegebene Differentialgleichung ist.

Wähle eine geeignete Ansatzfunktion \( u(x) \), die die Randbedingungen erfüllt, und leite die approximierte Lösung her:

Um eine geeignete Ansatzfunktion zu wählen, die die Randbedingungen \( u(0) = 0 \) und \( u(1) = 0 \) erfüllt, betrachten wir eine einfache Basisfunktion. Ein einfacher Ansatz könnte sein:

\[ u(x) = a_1 x (1 - x) \]

Dabei ist \( a_1 \) ein zu bestimmender Koeffizient. Nun setzen wir diesen Ansatz in das Funktional \( J[u] \) ein:

\[ J[a_1] = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} \left( \frac{d}{dx}(a_1 x (1-x)) \right)^2 + \frac{1}{2} (a_1 x (1-x))^2 - (a_1 x (1-x)) f(x) \right) dx \]

Die Ableitungen sind:

\[ \frac{d}{dx}(a_1 x (1-x)) = a_1 (1 - 2x) \]

Einsetzen dieser Ableitung ergibt:

\[ J[a_1] = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} (a_1 (1 - 2x))^2 + \frac{1}{2} (a_1 x (1-x))^2 - (a_1 x (1-x)) f(x) \right) dx \]

Nun, wir integrieren und finden den Wert von \( a_1 \), der das Funktional minimiert. Das ergibt die approximierte Lösung.Um die Integration und die Minimierung zu vereinfachen, können numerische Methoden wie das Galerkin-Verfahren verwendet werden. Hierbei würde man die resultierenden Integrale numerisch auswerten.Zusammengefasst haben wir:

• Ansatzfunktion: \( u(x) = a_1 x (1 - x) \)
• Durch Minimierung des Funktionals \( J[a_1] \) finden wir den Koeffizienten \( a_1 \) und somit die approximierte Lösung.