Nichtphysikalisches Wahlfach gemäß § 36 Abs. 3 - Cheatsheet

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Definition:

Bestimmtes Integral definiert den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der x-Achse innerhalb bestimmter Grenzen. Unbestimmtes Integral beschreibt die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion.

Details:

• Bestimmtes Integral: \(\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx\)
• Berechnung: Flächeninhalt zwischen den Grenzen a und b
• Unbestimmtes Integral: \(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)
• Ergebnis ist eine Familie von Funktionen \(F(x)\) plus Konstante C

Substitutionsmethode

Definition:

Methode zur Lösung von Integralen durch Variablentransformation

Details:

• Setze neue Variable: z.B. wenn u = g(x), dann du = g'(x) dx
• Integral umschreiben: ∫ f(g(x)) g'(x) dx wird zu ∫ f(u) du
• In neuen Variablen lösen, dann zurücktransformieren
• Bsp: ∫ 2x e^(x^2) dx -> setze u = x^2, dann du = 2x dx -> ∫ e^u du = e^u + C -> rücktransformieren -> e^(x^2) + C

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren sind essentielle Konzepte der linearen Algebra, verwendet zur Diagonalisierung von Matrizen und zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Ein Eigenvektor entspricht einem Skalierungsfaktor (Eigenwert) beim Wirken einer Matrix.

Details:

• Sei \(A\) eine \(n \times n\)-Matrix
• Ein Vektor \(v\) ist ein Eigenvektor von \(A\), wenn \(Av = \lambda v\)
• \(\lambda\) ist der zugehörige Eigenwert
• Bestimmung von \(\lambda\) durch Lösen von \(det(A - \lambda I) = 0\)
• Eigenvektoren durch Einsetzen von \(\lambda\) und Lösen von \((A - \lambda I)v = 0\) ermitteln

Variation der Konstanten

Definition:

Methode zur Lösung von inhomogenen linearen Differentialgleichungen, wobei die Konstanten der homogenen Lösung als Funktionen angenommen werden.

Details:

• Sei die homogene Lösung: \[ y_h(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) \]
• Ansatz für die inhomogene Lösung: \[ y_i(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) \]
• Bestimmung der Funktionen \( u_1(x) \) und \( u_2(x) \) durch Einsetzen in die inhomogene Gleichung und Lösen des Systems:
• \[ u_1'(x)y_1(x) + u_2'(x)y_2(x) = 0 \]
• \[ u_1'(x)y_1'(x) + u_2'(x)y_2'(x) = f(x) \]
• Durch Integration der resultierenden Gleichungen \( u_1(x) \) und \( u_2(x) \) erhalten

Implizite Funktionensätze

Definition:

Sätze, die Bedingungen liefern, unter denen eine Beziehung implizit definierter Funktionen zu expliziten Funktionen umgeformt werden kann.

Details:

• Sei F eine Funktion von mehreren Variablen: \(F(x,y)=0\)
• Existenz und Eindeutigkeit: Unter bestimmten Bedingungen existiert eine eindeutige Funktion \(y = g(x)\), sodass \(F(x, g(x)) = 0\).
• Jacobi-Matrix \(F_y\) muss invertierbar sein.
• Lokaler Satz: Für Punkte \((x_0, y_0)\), wo \(F(x_0, y_0) = 0\).
• Partielle Ableitungen: \(\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}\)

Metrische Räume

Definition:

Strukturen, in denen Abstände zwischen Punkten definiert sind.

Details:

• Ein metrischer Raum ist ein Paar \(M, d\), wobei \(M\) eine Menge und \(d : M \times M \to \mathbb{R} \geq 0\) eine Metrik ist.
• Metrik \(d\) erfüllt:
• Positivität: \(d(x, y) \geq 0 \forall x, y \in M\)
• Symmetrie: \(d(x, y) = d(y, x) \forall x, y \in M\)
• Identität der Ununterscheidbaren: \(d(x, y) = 0 \iff x = y\)
• Dreiecksungleichung: \(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \forall x, y, z \in M\)

Topologische Räume

Definition:

Topologischer Raum: Ein Paar \((X, \tau)\), wobei \(X\) eine Menge und \(\tau\) eine Menge von Teilmengen von \(X\) ist, die gewissen Axiomen genügt.

Details:

• \(\emptyset \in \tau\) und \(X \in \tau\)
• Beliebige Vereinigungen von Elementen aus \(\tau\) sind in \(\tau\)
• Endliche Durchschnitte von Elementen aus \(\tau\) sind in \(\tau\)