Nichtphysikalisches Wahlfach gemäß § 36 Abs. 3 - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei die Funktion f(x) = 3x^2 - 2x + 1. Berechne sowohl das bestimmte Integral als auch das unbestimmte Integral dieser Funktion.

a)

Berechne das unbestimmte Integral von f(x) = 3x^2 - 2x + 1. Gib das Ergebnis in der Form \[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \] an.

Lösung:

Um das unbestimmte Integral der Funktion f(x) = 3x^2 - 2x + 1 zu berechnen, befolgen wir die allgemeinen Regeln der Integration. Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) wird allgemein in der Form \(\int f(x) \, dx = F(x) + C \) dargestellt, wobei C die Integrationskonstante ist.

• Schritt 1: Bestimme das unbestimmte Integral von jedem Term der Funktion einzeln.
• Schritt 2: Füge die Ergebnisse zu einer Gesamtlösung zusammen.

1. Berechne das Integral von 3x²: \[ \int (3x^2) \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{1}{3} x^3 \right) = x^3 \]
2. Berechne das Integral von -2x: \[ \int (-2x) \, dx = -2 \int x \, dx = -2 \left( \frac{1}{2} x^2 \right) = -x^2 \]
3. Berechne das Integral von 1: \[ \int 1 \, dx = x \]

Da wir nun die Integrale der einzelnen Terme haben, können wir sie zusammenfügen:

\[ \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C \]

Daher ist das unbestimmte Integral von f(x) = 3x^2 - 2x + 1:

\[ \int f(x) \, dx = x^3 - x^2 + x + C \]

b)

Bestimme die Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) = 3x^2 - 2x + 1 und überprüfe das Ergebnis, indem Du das Ergebnis aus Teil a) ableitest.

Lösung:

Um die Stammfunktion \( F(x) \) der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) zu berechnen, führen wir die Integration durch und überprüfen das Ergebnis durch Differenzieren.

• Schritt 1: Bestimme die Stammfunktion durch Integration der einzelnen Terme.
• Schritt 2: Überprüfe das Ergebnis, indem Du die Stammfunktion ableitest.

Schritt 1: Berechnung der Stammfunktion \( F(x) \)

1. Das Integral von \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{1}{3} x^3 \right) = x^3 \]
2. Das Integral von \( -2x \): \[ \int (-2x) \, dx = -2 \int x \, dx = -2 \left( \frac{1}{2} x^2 \right) = -x^2 \]
3. Das Integral von \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x \]

Die Stammfunktion \( F(x) \) ist daher:

\[ F(x) = x^3 - x^2 + x + C \]

Schritt 2: Überprüfung durch Ableiten

Leite die gefundene Stammfunktion \( F(x) \) ab:

• \( F(x) = x^3 - x^2 + x + C \)
• \( F'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - x^2 + x + C) \)
• \( F'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)

Die Ableitung \( F'(x) \) stimmt mit der ursprünglichen Funktion \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) überein, somit ist die Berechnung korrekt.

Ergebnis:

Die Stammfunktion von \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) lautet:

\( F(x) = x^3 - x^2 + x + C \)

c)

Berechne das bestimmte Integral von f(x) = 3x^2 - 2x + 1 im Intervall [1, 3].

Lösung:

Um das bestimmte Integral der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) im Intervall \([1, 3]\) zu berechnen, befolgen wir diese Schritte:

• Schritt 1: Integriere die Funktion, um die Stammfunktion \( F(x) \) zu finden.
• Schritt 2: Wende die Grenzen des Intervalls auf die Stammfunktion an.

Schritt 1: Berechne die Stammfunktion \( F(x) \)

1. Das Integral von \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \left( \frac{1}{3} x^3 \right) = x^3 \]
2. Das Integral von \( -2x \): \[ \int (-2x) \, dx = -2 \int x \, dx = -2 \left( \frac{1}{2} x^2 \right) = -x^2 \]
3. Das Integral von \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x \]

Die Stammfunktion \( F(x) \) ist daher:

\[ F(x) = x^3 - x^2 + x + C \]

Schritt 2: Wende die Grenzen an

Wir verwenden das folgende Intervall: \([1, 3]\)

Das bestimmte Integral lautet:

\[ \int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = F(3) - F(1) \]

• Berechne \( F(3) \): \[ F(3) = (3^3 - 3^2 + 3) + C = (27 - 9 + 3) + C = 21 + C \]
• Berechne \( F(1) \): \[ F(1) = (1^3 - 1^2 + 1) + C = (1 - 1 + 1) + C = 1 + C \]

Subtrahiere \( F(1) \) von \( F(3) \):

\[ \int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = (21 + C) - (1 + C) = 21 + C - 1 - C = 20 \]

Ergebnis:

Das bestimmte Integral der Funktion \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) im Intervall \([1, 3]\) ist:

\[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 \]

d)

Interpretiere das Ergebnis aus Teil c). Welcher reale Zusammenhang könnte durch das bestimmte Integral beschrieben werden?

Lösung:

Das Ergebnis aus Teil c) ist:

\[ \int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = 20 \]

Um dieses Ergebnis in einem realen Zusammenhang zu interpretieren, überlegen wir uns, was ein bestimmtes Integral in der Regel darstellt:

• Ein bestimmtes Integral repräsentiert die Fläche unter der Kurve der Funktion \( f(x) \) im angegebenen Intervall \([1, 3]\). Diese Fläche kann einen physikalischen, wirtschaftlichen oder sonstigen realen Zusammenhang beschreiben.

Ein paar mögliche reale Interpretationen könnten sein:

• Physikalische Interpretation: Nehmen wir an, \( f(x) \) beschreibt die Geschwindigkeit eines Objekts in Abhängigkeit von der Zeit. Dann würde das bestimmte Integral \( \int_{1}^{3} f(x) \, dx \) die Gesamtstrecke, die das Objekt zwischen den Zeitpunkten \( x = 1 \) und \( x = 3 \) zurückgelegt hat, darstellen.
• Wirtschaftliche Interpretation: Angenommen, \( f(x) \) repräsentiert die Wachstumsrate eines Investments über die Zeit. Das bestimmte Integral würde dann die Gesamtzunahme des Investments zwischen den Zeitpunkten \( x = 1 \) und \( x = 3 \) geben.
• Ökologische Interpretation: Wenn \( f(x) \) die Konzentration eines Schadstoffs in einem Fluss über eine bestimmte Strecke beschreibt, könnte das bestimmte Integral die Gesamtmenge des Schadstoffs zwischen den Punkten \( x = 1 \) und \( x = 3 \) repräsentieren.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das bestimmte Integral \( \int_{1}^{3} (3x^2 - 2x + 1) \, dx = 20 \) allgemein die Akkumulation eines Wertes über das Intervall \([1, 3]\) darstellt. Die genaue Bedeutung hängt vom Kontext der Funktion \( f(x) \) ab.

Aufgabe 2)

Die Substitutionsmethode ist eine nützliche Technik zur Lösung von Integralen durch Variablentransformation. In dieser Aufgabe wirst Du verschiedene Aspekte der Substitutionsmethode anwenden, um Integrale korrekt zu lösen und die Variablen zurück zu transformieren. Diese Methode erlaubt es, komplizierte Integrale in einfachere Formen umzuschreiben und zu lösen. Dabei wird oft eine neue Variable eingeführt, die den Integrationsprozess erleichtert.

a)

a) Berechne das folgende Integral durch Substitution: ∫ (4x³) e^(2x⁴) dx. Gehe dabei schrittweise vor und führe alle notwendigen Umformungen durch.

Lösung:

Berechnung des Integrals durch Substitution:

Gegebenes Integral:

\[\int (4x^3) e^{2x^4} dx \]

• Schritt 1: Wähle eine geeignete Substitution. Setze \( u = 2x^4 \), um das Integral zu vereinfachen. Es folgt:
• \[ du = 8x^3 dx \]

• Schritt 2: Umformen nach \( dx \):
• \[ dx = \frac{du}{8x^3} \]

• Schritt 3: Ersetze die Originalvariable und \( dx \) im Integral:

• \[\int (4x^3) e^{2x^4} dx = \int (4x^3) e^u \frac{du}{8x^3} \]

• \[= \int \frac{4x^3}{8x^3} e^u du\]

• \[= \int \frac{4}{8} e^u du\]

• \[= \frac{1}{2} \int e^u du\]

• Schritt 4: Integriere \( \int e^u du \):

• \[= \frac{1}{2} e^u + C\]

• Schritt 5: Rücksubstitution: Setze \( u = 2x^4 \) zurück:

• \[= \frac{1}{2} e^{2x^4} + C\]

Das gelöste Integral lautet also:

\[\int (4x^3) e^{2x^4} dx = \frac{1}{2} e^{2x^4} + C\]

b)

b) Ein gegebenes Integral lautet ∫ x cos(x²) dx. Verwende die Substitutionsmethode, um das Integral zu berechnen. Gebe alle Schritte detailliert an, inklusive der Wahl der neuen Variable, der Umformung des Integrals und der Rücktransformation.

Lösung:

Berechnung des Integrals durch Substitution:

Gegebenes Integral:

\[\int x \cos(x^2) \, dx\]

• Schritt 1: Wähle eine geeignete Substitution. Setze \( u = x^2 \), um das Integral zu vereinfachen. Es folgt:
• \[ du = 2x \, dx \]

• Schritt 2: Umformen nach \( dx \):
• \[ dx = \frac{du}{2x} \]

• Schritt 3: Ersetze die Originalvariable und \( dx \) im Integral:

• \[\int x \cos(x^2) \, dx = \int x \cos(u) \frac{du}{2x} \]

• \[= \int \frac{x}{2x} \cos(u) \, du\]

• \[= \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du\]

• Schritt 4: Integriere \( \int \cos(u) \, du \):

• \[= \frac{1}{2} \sin(u) + C\]

• Schritt 5: Rücksubstitution: Setze \( u = x^2 \) zurück:

• \[= \frac{1}{2} \sin(x^2) + C\]

Das gelöste Integral lautet also:

\[\int x \cos(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C\]

c)

c) Zeige die Anwendung der Substitutionsmethode für das Integral ∫ (1/(1+x²)) dx (Hinweis: Nutze die Substitution u = tan⁻¹(x) und berücksichtige dabei sämtliche Berechnungsschritte und die Rücksubstitution.)

Lösung:

Anwendung der Substitutionsmethode:

Gegebenes Integral:

\[\int \frac{1}{1+x^2} \, dx\]

• Schritt 1: Wähle eine geeignete Substitution. Setze \( u = \tan^{-1}(x) \). Daraus folgt:
• \[ x = \tan(u) \]

• Schritt 2: Berechne die Ableitung von \( x \) nach \( u \):
• \[ dx = \frac{d}{du} (\tan(u)) \, du = \sec^2(u) \, du\]

• Schritt 3: Setze die Substitution in das Integral ein:

• \[\int \frac{1}{1+\tan^2(u)} \, \sec^2(u) \, du\]

• Schritt 4: Nutze die Identität \( 1 + \tan^2(u) = \sec^2(u) \):

• \[\int \frac{1}{\sec^2(u)} \, \sec^2(u) \, du\]

• \[= \int 1 \, du\]

• Schritt 5: Integriere \( \int 1 \, du \):

• \[= u + C\]

• Schritt 6: Rücksubstitution: Setze \( u = \tan^{-1}(x) \) zurück:

• \[= \tan^{-1}(x) + C\]

Das gelöste Integral lautet also:

\[\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \tan^{-1}(x) + C\]

Aufgabe 3)

Betrachte die Matrix \[A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}\]. Diese Matrix ist eine \(2 \times 2\)-Matrix, bei der wir die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen sollen. Die Eigenwerte finden wir, indem wir die Gleichung \[det(A - \lambda I) = 0\]lösen. Haben wir die Eigenwerte ermittelt, bestimmen wir die Eigenvektoren durch Lösen des Gleichungssystems \[(A - \lambda I)v = 0\].

a)

Bestimme die Eigenwerte \(\lambda\) der Matrix \(A\). Zeige alle Schritte der Berechnung und erkläre den Prozess, wie du den Determinanten \(det(A - \lambda I)\) aufstellst und löst.

Lösung:

Um die Eigenwerte \(\lambda\) der Matrix \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}\) zu bestimmen, müssen wir die Gleichung \(det(A - \lambda I) = 0\) lösen. Hier sind die Schritte:

• Schritt 1: Zuerst stellen wir die Matrix \(A - \lambda I\) auf, wobei \(I\) die Identitätsmatrix ist:

\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

• Die Matrix \(A - \lambda I\) lautet dann:

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \ 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \]

• Schritt 2: Nun bestimmen wir die Determinante dieser Matrix:

\[ det(A - \lambda I) = det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \ 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \]

Die Determinante einer 2x2-Matrix \( \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \) ist gegeben durch:

\[ det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \]

• Anwenden auf unsere Matrix ergibt:

\[ det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \ 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (3 - \lambda)(2 - \lambda) - (1)(0) \]

\[= (3 - \lambda)(2 - \lambda) \]

• Schritt 3: Wir erweitern und vereinfachen den Ausdruck:

\[ = 6 - 3\lambda - 2\lambda + \lambda^2 \]

\[ = \lambda^2 - 5\lambda + 6 \]

• Schritt 4: Jetzt setzen wir den Ausdruck gleich 0, um die Eigenwerte zu bestimmen:

\[ \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \]

• Wir lösen die quadratische Gleichung:

\[ \lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \]

\[ \lambda = \frac{5 \pm 1}{2} \]

Daraus ergeben sich zwei Lösungen:

• \[ \lambda_1 = \frac{6}{2} = 3 \]
• \[ \lambda_2 = \frac{4}{2} = 2 \]
• Fazit: Die Eigenwerte der Matrix \(A\) sind \(\lambda_1 = 3\) und \(\lambda_2 = 2\).

b)

Nachdem du die Eigenwerte gefunden hast, bestimme die Eigenvektoren der Matrix \(A\). Erkläre, wie du das Gleichungssystem \((A - \lambda I)v = 0\) in diesem Fall löst und zeige alle Schritte der Berechnung.

Lösung:

Nachdem wir die Eigenwerte \(\lambda\) der Matrix \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}\) als \(\lambda_1 = 3\) und \(\lambda_2 = 2\) bestimmt haben, wollen wir nun die zugehörigen Eigenvektoren finden. Wir lösen das Gleichungssystem \((A - \lambda I)v = 0\) für jeden Eigenwert. Hier sind die Schritte:

• Schritt 1: Bestimmen der Eigenvektoren für \(\lambda_1 = 3\)

Setze \(\lambda_1 = 3\) in die Matrix \(A - \lambda I\) ein:

\[ A - 3I = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \]

Nun lösen wir das Gleichungssystem \((A - 3I)v = 0\). Setzen wir \(v = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix}\), dann erhalten wir:

\[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \]

Das ergibt zwei Gleichungen:

• \(0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 = 0\)
• \(0 \cdot v_1 - 1 \cdot v_2 = 0\)

Die Gleichungen sind nicht unabhängig voneinander. Die Bedingung ist, dass \(v_2 = 0\). Der Eigenvektor für \(\lambda_1 = 3\) ist daher:

\[ v_1 \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} \]

Ein Eigenvektor für \(\lambda_1 = 3\) kann zum Beispiel \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\) sein.

• Schritt 2: Bestimmen der Eigenvektoren für \(\lambda_2 = 2\)

Setze \(\lambda_2 = 2\) in die Matrix \(A - \lambda I\) ein:

\[ A - 2I = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Nun lösen wir das Gleichungssystem \((A - 2I)v = 0\). Setzen wir \(v = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix}\), dann erhalten wir:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \]

Das ergibt eine Gleichung:

• \(v_1 + v_2 = 0\)

Die Bedingung ist, dass \(v_1 = -v_2\). Der Eigenvektor für \(\lambda_2 = 2\) ist daher:

\[ v_2 \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} \]

Ein Eigenvektor für \(\lambda_2 = 2\) kann zum Beispiel \(\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}\) sein.

• Fazit: Die Eigenvektoren der Matrix \(A\) sind:
• Für \(\lambda_1 = 3\): \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\)
• Für \(\lambda_2 = 2\): \(\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}\)

c)

Überprüfe deine Ergebnisse: Multipliziere jeden Eigenvektor mit der Matrix \(A\) und verifiziere, dass das Ergebnis dem entsprechenden Eigenwert multipliziert mit dem Eigenvektor entspricht. Zeige die Berechnungen für jeden Eigenvektor und -wert.

Lösung:

Um unsere Ergebnisse zu überprüfen, multiplizieren wir jeden Eigenvektor mit der Matrix \(A\) und verifizieren, dass das Ergebnis dem entsprechenden Eigenwert multipliziert mit dem Eigenvektor entspricht.

• Überprüfung für \(\lambda_1 = 3\) und Eigenvektor \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\):

Multiplizieren der Matrix \(A\) mit dem Eigenvektor:

\[ A \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} \]

Vergleich mit \(\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\):

\[ 3 \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} \]

Da beide Ergebnisse übereinstimmen, ist der Eigenvektor \(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\) für \(\lambda_1 = 3\) korrekt.

• Überprüfung für \(\lambda_2 = 2\) und Eigenvektor \(\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}\):

Multiplizieren der Matrix \(A\) mit dem Eigenvektor:

\[ A \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(-1) + 1(1) \ 0(-1) + 2(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 1 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 2 \end{pmatrix} \]

Vergleich mit \(\lambda_2 \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}\):

\[ 2 \begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 2 \end{pmatrix} \]

Da beide Ergebnisse übereinstimmen, ist der Eigenvektor \(\begin{pmatrix} -1 \ 1 \end{pmatrix}\) für \(\lambda_2 = 2\) korrekt.

• Fazit: Beide Eigenvektoren sind korrekt, da sie die Bedingungen ihrer jeweiligen Eigenwerte \(\lambda_1 = 3\) und \(\lambda_2 = 2\) erfüllen.

Aufgabe 4)

Gegeben sei eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form:

\[ L[y] = y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \]

Verwenden Sie die Methode der Variation der Konstanten, um die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung zu bestimmen.

b)

(b) Setzen Sie den Ansatz \( y_i(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) \) für die inhomogene Lösung (Variation der Konstanten) in die inhomogene Differentialgleichung ein. Führen Sie die erforderlichen Berechnungen durch, um das folgende Gleichungssystem zu erhalten:

• \[ u_1'(x)y_1(x) + u_2'(x)y_2(x) = 0 \]
• \[ u_1'(x)y_1'(x) + u_2'(x)y_2'(x) = f(x) \]

Erklären Sie jeden Schritt ausführlich und zeigen Sie, wie die Gleichungen aus dem Ansatz und der Differentialgleichung hervorgehen.

Lösung:

Aufgabe (b):

Um die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

\[ L[y] = y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \]

mithilfe der Methode der Variation der Konstanten zu lösen, setzen wir den Ansatz

\[ y_i(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) \]

für die inhomogene Lösung ein. Dieser Ansatz bedeutet, dass wir die konstanten Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) der homogenen Lösung durch Funktionen \(u_1(x)\) und \(u_2(x)\) ersetzen.

Der Lösungsprozess umfasst die folgenden Schritte:

• Berechnung der ersten Ableitung: Wir berechnen die erste Ableitung von \(y_i(x)\): \[ y_i'(x) = u_1'(x)y_1(x) + u_1(x)y_1'(x) + u_2'(x)y_2(x) + u_2(x)y_2'(x) \]
• Berechnung der zweiten Ableitung: Nun berechnen wir die zweite Ableitung von \(y_i(x)\): \[ y_i''(x) = u_1''(x)y_1(x) + 2u_1'(x)y_1'(x) + u_1(x)y_1''(x) + u_2''(x)y_2(x) + 2u_2'(x)y_2'(x) + u_2(x)y_2''(x) \]
• Einsetzen der Ableitungen in die Differentialgleichung: Wir setzen die ersten und zweiten Ableitungen in die inhomogene Differentialgleichung ein: \[ y_i'' + p(x)y_i' + q(x)y_i = f(x) \] Das ergibt: \[ u_1''(x)y_1(x) + 2u_1'(x)y_1'(x) + u_1(x)y_1''(x) + u_2''(x)y_2(x) + 2u_2'(x)y_2'(x) + u_2(x)y_2''(x) + p(x) \big(u_1'(x)y_1(x) + u_1(x)y_1'(x) + u_2'(x)y_2(x) + u_2(x)y_2'(x) \big) + q(x) \big(u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) \big) = f(x) \]
• Verwendung der homogenen Gleichung: Da \(y_1(x)\) und \(y_2(x)\) Lösungen der homogenen Gleichung sind, gilt: \[ y_1'' + p(x)y_1' + q(x)y_1 = 0 \] und \[ y_2'' + p(x)y_2' + q(x)y_2 = 0 \] Somit wird der Ansatz vereinfacht zu: \[ u_1''(x)y_1(x) + 2u_1'(x)y_1'(x) + u_2''(x)y_2(x) + 2u_2'(x)y_2'(x) + p(x) \big(u_1'(x)y_1(x) + u_2'(x)y_2(x) \big) = f(x) \]
• Zufügung einer zusätzlichen Bedingung: Um diese Gleichung weiter zu vereinfachen, verwenden wir die zusätzliche Bedingung: \[ u_1'(x)y_1(x) + u_2'(x)y_2(x) = 0 \]
• Erhaltenes Gleichungssystem: Mit der zusätzlichen Bedingung ergibt sich: \[ 2u_1'(x)y_1'(x) + 2u_2'(x)y_2'(x) = f(x) \] Das vereinfacht sich zu:

• \[ u_1'(x)y_1(x) + u_2'(x)y_2(x) = 0 \]
• \[ u_1'(x)y_1'(x) + u_2'(x)y_2'(x) = f(x) \]

Das ist das Gleichungssystem, das wir gesucht haben. Es ermöglicht uns, die Funktionen \(u_1(x)\) und \(u_2(x)\) zu bestimmen, was letztlich die Bestimmung der allgemeinen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ermöglicht.

c)

(c) Lösen Sie das Gleichungssystem aus Teil (b), um die Ausdrücke für \( u_1'(x) \) und \( u_2'(x) \) zu finden. Integrieren Sie diese Ausdrücke, um \( u_1(x) \) und \( u_2(x) \) zu bestimmen. Bestimmen Sie schließlich die allgemeine Lösung \( y_i(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) \) der inhomogenen Differentialgleichung.

Lösung:

Aufgabe (c):

Um die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mithilfe der Methode der Variation der Konstanten zu bestimmen, müssen wir das Gleichungssystem aus Teil (b) lösen:

• \[ u_1'(x)y_1(x) + u_2'(x)y_2(x) = 0 \]
• \[ u_1'(x)y_1'(x) + u_2'(x)y_2'(x) = f(x) \]

Das Ziel ist es, \( u_1'(x) \) und \( u_2'(x) \) zu berechnen. Dazu verwenden wir das Gleichungssystem.Wir lösen das System mit Hilfe der Eliminationsmethode oder Substitutionsmethode. Hier zeigen wir die Methode Schritt für Schritt:

• Erster Schritt: Multipliziere die erste Gleichung mit \( y_2'(x) \) und die zweite Gleichung mit \( y_2(x) \):
  • \[ u_1'(x)y_1(x)y_2'(x) + u_2'(x)y_2(x)y_2'(x) = 0 \]
  • \[ u_1'(x)y_1'(x)y_2(x) + u_2'(x)y_2'(x)y_2(x) = f(x)y_2(x) \]
• Zweiter Schritt: Subtrahiere die erste modifizierte Gleichung von der zweiten modifizierten Gleichung:
  • \[ u_1'(x)(y_1'(x)y_2(x) - y_1(x)y_2'(x)) = f(x)y_2(x) \]
• Dritter Schritt: Setze den Wronskian \(W(x) = y_1(x)y_2'(x) - y_1'(x)y_2(x)\) ein:
  • \[ u_1'(x) (-W(x)) = f(x)y_2(x) \]
  • \[ u_1'(x) = -\frac{f(x)y_2(x)}{W(x)} \]
• Vierter Schritt: Um \(u_2'(x)\) zu berechnen, multipliziere die erste Gleichung mit \(y_1'(x)\) und die zweite Gleichung mit \(y_1(x)\) und verfolge einen ähnlichen Prozess:
  • \[ u_1'(x)y_1(x)y_1'(x) + u_2'(x)y_2(x)y_1'(x) = 0 \]
  • \[ u_1'(x)y_1'(x)y_1(x) + u_2'(x)y_2'(x)y_1(x) = f(x)y_1(x) \]
  • \[ u_2'(x)(-W(x)) = f(x)y_1(x) \]
  • \[ u_2'(x) = \frac{f(x)y_1(x)}{W(x)} \]

Damit haben wir die Ausdrücke für \( u_1'(x) \) und \( u_2'(x) \) gefunden.Der nächste Schritt ist, diese Ausdrücke zu integrieren, um \( u_1(x) \) und \( u_2(x) \) zu finden.

• Integration von \( u_1'(x) \):
  • \[ u_1(x) = \int -\frac{f(x)y_2(x)}{W(x)} dx \]
• Integration von \( u_2'(x) \):
  • \[ u_2(x) = \int \frac{f(x)y_1(x)}{W(x)} dx \]

Schließlich setzen wir die Lösungen \( u_1(x) \) und \( u_2(x) \) in den Ansatz der allgemeinen Lösung ein:

\[ y_i(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) \]

Damit haben wir die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung bestimmt.Zusammengefasst lautet die allgemeine Lösung:

• Homogene Lösung:
  • \[ y_h(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) \]
• Partikuläre Lösung (Variation der Konstanten):
  • \[ y_p(x) = y_1(x) \int \frac{f(x)y_2(x)}{W(x)} dx - y_2(x) \int \frac{f(x)y_1(x)}{W(x)} dx \]

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist somit:

\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + y_1(x) \int \frac{f(x)y_2(x)}{W(x)} dx - y_2(x) \int \frac{f(x)y_1(x)}{W(x)} dx \]