Projekt- oder Aufbaupraktikum - Exam

Aufgabe 2)

Während eines Physikpraktikums wurden experimentelle Daten zur Untersuchung der Dämpfung eines harmonischen Oszillators gesammelt. Dabei wurden die Schwingungsamplituden in Abhängigkeit von der Zeit gemessen. Die vollständige Aufzeichnung der Rohdaten ist im beigefügten Datensatz enthalten. Nun sollen die Daten entsprechend den Vorgaben der Laborjournalführung ausgewertet und dokumentiert werden.

a)

a) Führe eine statistische Auswertung der gegebenen experimentellen Daten durch. Berechne den Mittelwert (\(\bar{x}\)), die Standardabweichung (\(\sigma\)) und den Standardfehler des Mittelwertes (\(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\)) der gemessenen Amplituden für einen beliebigen Zeitpunkt. Anschließend stelle deine Ergebnisse in einer geeigneten Tabelle dar.

Lösung:

Statistische Auswertung der experimentellen Daten

Um den Mittelwert (\(\bar{x}\)), die Standardabweichung (\(\sigma\)), und den Standardfehler des Mittelwertes (\(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\)) der gemessenen Amplituden für einen beliebigen Zeitpunkt zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

• Mittelwert (\(\bar{x}\)): Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller gemessenen Amplituden:

\[\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i\]

• Standardabweichung (\(\sigma\)): Die Standardabweichung misst die Streuung der Amplitudenwerte um den Mittelwert:

\[\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}\]

• Standardfehler des Mittelwertes (\(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\)): Der Standardfehler des Mittelwertes gibt an, wie genau der Mittelwert geschätzt ist. Er wird berechnet, indem die Standardabweichung durch die Quadratwurzel der Anzahl der Messungen (\(\sqrt{N}\)) geteilt wird:

\[\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\]

Berechnungsbeispiele

Angenommen, wir haben folgende Amplitudenmessungen für einen Zeitpunkt t:

[3.1, 3.3, 3.2, 3.4, 3.5]

• Mittelwert (\(\bar{x}\)): \[\bar{x} = \frac{1}{5} (3.1 + 3.3 + 3.2 + 3.4 + 3.5) = \frac{16.5}{5} = 3.3\]
• Standardabweichung (\(\sigma\)): \[\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} ((3.1-3.3)^2 + (3.3-3.3)^2 + (3.2-3.3)^2 + (3.4-3.3)^2 + (3.5-3.3)^2)}\] \[\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} (0.04 + 0 + 0.01 + 0.01 + 0.04)} = \sqrt{0.025} = 0.158\]
• Standardfehler des Mittelwertes (\(\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\)): \[\frac{\sigma}{\sqrt{N}} = \frac{0.158}{\sqrt{5}} = \frac{0.158}{2.236} = 0.070\]

Tabellendarstellung der Ergebnisse

b)

b) Erstelle eine graphische Darstellung der Amplituden in Abhängigkeit von der Zeit. Verwende hierfür Python und die Bibliothek matplotlib. Realisiere mindestens einen Fit der Daten, z.B. mit einer exponentiellen Abnahme der Form \(A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}\), und zeige den Fit grafisch zusammen mit den Rohdaten. Dokumentiere alle durchgeführten Schritte im Laborjournal und vergleiche die Ergebnisse mit der theoretischen Erwartung. Stelle sicher, dass alle relevanten Parameter und deren Einheit angegeben werden.

Lösung:

Graphische Darstellung der Amplituden in Abhängigkeit von der Zeit

In diesem Abschnitt erstellen wir eine grafische Darstellung der Amplituden in Abhängigkeit von der Zeit. Wir nutzen dafür Python und die Bibliothek matplotlib. Außerdem führen wir einen Fit der Daten durch, z.B. mit einem exponentiellen Abfall der Form

\[A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

Die durchgeführten Schritte umfassen:

• Einlesen der Daten
• Visualisierung der Rohdaten
• Durchführung des exponentiellen Fits
• Visualisierung des Fits zusammen mit den Rohdaten

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Einlesen der Daten

  import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.optimize import curve_fit # Beispielhafte Rohdaten (können durch echte Daten ersetzt werden) zeit = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5]) amplituden = np.array([10, 8.1, 6.6, 5.4, 4.4, 3.6])  

2. Visualisierung der Rohdaten

  plt.scatter(zeit, amplituden, label='Rohdaten') plt.xlabel('Zeit (s)') plt.ylabel('Amplitude') plt.title('Amplituden in Abhängigkeit von der Zeit')  

3. Durchführung des exponentiellen Fits

  def exp_fit(t, A0, l): return A0 * np.exp(-l * t) popt, pcov = curve_fit(exp_fit, zeit, amplituden) A0_fit, l_fit = popt  

4. Visualisierung des Fits zusammen mit den Rohdaten

  zeit_fit = np.linspace(0, 5, 100) amplituden_fit = exp_fit(zeit_fit, A0_fit, l_fit) plt.plot(zeit_fit, amplituden_fit, 'r-', label=f'Fit: A0={A0_fit:.2f}, lambda={l_fit:.2f}') plt.legend() plt.show()  

Dokumentation der fit-Ergebnisse

• Gefittete Parameter: \(A_0 = {A0_fit:.2f}\) (Einheit: \(\text{Amplitude}\))
• Gefitteter Parameter: \(\lambda = {l_fit:.2f}\) (Einheit: \(\text{1/s}\))

Vergleich der Ergebnisse mit der theoretischen Erwartung

Die gefitteten Ergebnisse können nun mit den theoretisch erwarteten Werten verglichen werden. Ein genaues Abweichen der Daten könnte auf experimentelle Fehler oder andere systematische Effekte hinweisen.

Aufgabe 3)

Im Rahmen des Praktikums wirst Du gebeten, verschiedene Phänomene der Quantenmechanik zu untersuchen. Diese beinhalten die Superposition von Zuständen, die Verschränkung von Teilchen, den Tunneleffekt sowie die Interpretation und Anwendungen der Wellenfunktion. Des Weiteren sollst Du die Heisenbergsche Unschärferelation und die Dualität von Teilchen und Welle in Deine Überlegungen einbeziehen. Die grundlegende Dynamik des Systems wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben.

a)

Ein Teilchen befindet sich in einem Zustand der Superposition aus zwei Eigenzuständen \(\phi_1\) und \(\phi_2\) des Hamiltonoperators, \(\psi = a\phi_1 + b\phi_2\), wobei \(\psi\) die Wellenfunktion ist und \(a\) und \(b\) komplexe Koeffizienten sind. Bestimme die Normierungsbedingung für die Wellenfunktion \(\psi\) und zeige, dass \(\left|a\right|^2 + \left|b\right|^2 = 1\).

Lösung:

Normierungsbedingung der Wellenfunktion bei Superposition

Um die Normierungsbedingung für die Wellenfunktion \(\psi = a\phi_1 + b\phi_2\) zu bestimmen, müssen wir sicherstellen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich 1 ist. Dazu benutzen wir die Normierungsbedingung:

• \(\int |\psi|^2 \, dx = 1\), wobei \(\psi\) die normierte Wellenfunktion ist.

Schritte zur Bestimmung der Normierungsbedingung:

1. Schreiben wir die Wellenfunktion \(\psi\) als \(\psi = a\phi_1 + b\phi_2\), wobei \(\phi_1\) und \(\phi_2\) Eigenzustände des Hamiltonoperators sind.
2. Berechnen wir das Quadrat der Norm:

\[\left|\psi\right|^2 = \left|a\phi_1 + b\phi_2\right|^2 = (a\phi_1 + b\phi_2)^*(a\phi_1 + b\phi_2)\]

Entsprechend der Definition des Betragsquadrats einer komplexen Zahl:

\[(a\phi_1 + b\phi_2)^*(a\phi_1 + b\phi_2) = (a\phi_1)^*(a\phi_1) + (a\phi_1)^*(b\phi_2) + (b\phi_2)^*(a\phi_1) + (b\phi_2)^*(b\phi_2)\]

Da \(\phi_1\) und \(\phi_2\) orthonormale Zustände sind, d.h. \(\int \phi_1^* \phi_1 \, dx = 1\) und \(\int \phi_2^* \phi_2 \, dx = 1\) sowie \(\int \phi_1^* \phi_2 \, dx = 0\), folgt:

\[\int \left|\psi\right|^2 \, dx = \int \left(a a^* \phi_1^* \phi_1 + a b^* \phi_1^* \phi_2 + b a^* \phi_2^* \phi_1 + b b^* \phi_2^* \phi_2\right) dx = \left|a\right|^2 + \left|b\right|^2\]

Normierungsbedingung:

Damit die Wellenfunktion normiert ist, muss gelten:

\[\left|a\right|^2 + \left|b\right|^2 = 1\]

b)

Betrachte zwei verschränkte Elektronen, die in einem Zustand \(\Psi_{12} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left| \uparrow \downarrow \right> - \left| \downarrow \uparrow \right> \right)\) sind. Zeige, dass die Messung des Spins eines Elektrons in der z-Richtung sofort den Spin des anderen Elektrons bestimmt, unabhängig von der Entfernung zwischen den Elektronen. Welche physikalische Konsequenz ergibt sich daraus für die Korrelation zwischen den Messungen?

Lösung:

Verschränkung und Spin-Messung von Elektronen

Der Zustand zweier verschränkter Elektronen ist gegeben durch:

\[\Psi_{12} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left|\uparrow \downarrow \right> - \left| \downarrow \uparrow \right> \right)\]

Dies bedeutet, dass die beiden Elektronen in einer Superposition von zwei Zuständen vorliegen: einem Zustand, in dem das erste Elektron den Spin nach oben (\(\uparrow\)) und das zweite den Spin nach unten (\(\downarrow\)) hat, und einem anderen Zustand, in dem das erste Elektron den Spin nach unten (\(\downarrow\)) und das zweite nach oben (\(\uparrow\)) hat.

Spin-Messung und ihre Auswirkungen

Wir wollen zeigen, dass die Messung des Spins eines Elektrons den Spin des anderen Elektrons bestimmt. Betrachten wir die Messung des Spins des ersten Elektrons in der z-Richtung:

Die Messung führt zu einem Kollaps der Wellenfunktion:

• Wenn der Spin des ersten Elektrons als \(\uparrow\) gemessen wird, kollabiert der Zustand zu

\[\left| \uparrow \downarrow \right>\]

• Wenn der Spin des ersten Elektrons als \(\downarrow\) gemessen wird, kollabiert der Zustand zu

\[\left| \downarrow \uparrow \right>\]

In beiden Fällen ist der Spin des zweiten Elektrons vollständig bestimmt:

• Wenn der Zustand nach der Messung \(\left| \uparrow \downarrow \right>\) ist, dann hat das zweite Elektron den Spin \(\downarrow\)
• Wenn der Zustand nach der Messung \(\left| \downarrow \uparrow \right>\) ist, dann hat das zweite Elektron den Spin \(\uparrow\)

Physikalische Konsequenz

Die physikalische Konsequenz dieser Korrelation ist, dass die Messungen des Spins der verschränkten Elektronen perfekt anti-korreliert sind. Dies zeigt ein fundamentales Prinzip der Quantenmechanik: Die Messung eines verschränkten Systems beeinflusst sofort den Zustand des anderen Teilsystems, unabhängig von der Entfernung zwischen den beiden Elektronen.

c)

Ein Elektron mit kinetischer Energie \(E\) begegnet einer Potentialbarriere der Höhe \(V > E\). Erkläre mithilfe des Tunneleffekts, wie das Elektron die Barriere überwinden kann, und berechne die Transmissionwahrscheinlichkeit \(T\) durch die Barriere einer Breite \(d\) für den Fall eines rechteckigen Potentials. Verwende die Formel \(T = e^{-2\kappa d} \) mit \(\kappa = \frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar} \).

Lösung:

Tunneleffekt und Transmissionwahrscheinlichkeit für ein Elektron

Im Rahmen der Quantenmechanik kann ein Elektron durch eine Potentialbarriere tunneln, selbst wenn seine kinetische Energie nicht ausreicht, um die Barriere klassisch zu überwinden.

Erklärung des Tunneleffekts:

Für ein Elektron der kinetischen Energie \(E\) und eine Potentialbarriere mit der Höhe \(V > E\) kann der Tunneleffekt beschrieben werden:

• Innerhalb der Barriere (von Breite \(d\)), beträgt die Lösung der Schrödinger-Gleichung \(|psi(x)|\), und die Amplitude der Wellenfunktion nimmt exponentiell ab.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron die Barriere tunnelt, ist abhängig von der Höhe und Breite der Barriere.

Berechnung der Transmissionwahrscheinlichkeit \(T\):

Für ein rechteckiges Potential und unter Anwendung der Schrödinger-Gleichung ergibt sich die Transmissionwahrscheinlichkeit:

\[T = e^{-2\kappa d}\]

Hierbei ist \(\kappa\) die Abklingkonstante innerhalb der Barriere, definiert durch:

\[\kappa = \frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar}\]

Herleitung der Transmissionwahrscheinlichkeit:

1. Bestimmung von \(\kappa\):

\[\kappa = \frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar}\]

Hier sind \(m\) die Masse des Elektrons, \(V\) die Höhe des Potentials, und \(\hbar\) das modifizierte Planck'sche Wirkungsquantum.

1. Einsetzen von \(\kappa\) in die Transmissionwahrscheinlichkeit:

\[T = e^{-2\left(\frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar}\right) d}\]

• Die Transmissionwahrscheinlichkeit nimmt exponentiell mit der Breite \(d\) der Barriere und der Differenz zwischen \(V\) und \(E\) ab.

Fazit:

Der Tunneleffekt ist ein rein quantenmechanisches Phänomen, das es einem Elektron erlaubt, sich durch eine Potentialbarriere zu bewegen, die es klassisch nicht überwinden könnte. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich sinkt exponentiell mit der Breite der Barriere und der Höhe des Potentials relativ zur kinetischen Energie des Elektrons.

d)

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass \(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \). Zeige, wie diese Unsicherheit in Position und Impuls durch eine Wellenfunktion \(\psi(x,t)\) interpretiert werden kann. Verwende dabei die Schrödinger-Gleichung \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi\), um einen Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeitsdichten und der Unschärferelation zu entwickeln.

Lösung:

Heisenbergsche Unschärferelation und ihre Interpretation durch die Wellenfunktion

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass:

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]

Hierbei sind \(\Delta x\) und \(\Delta p\) die Standardabweichungen der Position und des Impulses, und \(\hbar\) ist das modifizierte Planck'sche Wirkungsquantum.

Interpretation durch die Wellenfunktion

Die Wellenfunktion \(\psi(x,t)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines Teilchens in Raum und Zeit. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an Position \(x\) und zur Zeit \(t\) zu finden, ist gegeben durch:

\[P(x,t) = |\psi(x,t)|^2\]

Die Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion lautet:

\[i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi\]

Hier ist \(\hat{H}\) der Hamiltonoperator des Systems.

Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsdichte und Unschärferelation

1. Standardabweichung der Position:Die Standardabweichung der Position \(\Delta x\) ist gegeben durch:

\[\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}\]

2. Standardabweichung des Impulses:Der Impulsoperator in der Ortsdarstellung ist

\(\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\).Die Standardabweichung des Impulses \(\Delta p\) ist:

\[\Delta p = \sqrt{\langle \hat{p}^2 \rangle - \langle \hat{p} \rangle^2}\]

3. Unschärferelation:Die Erwartungswerte können mit der Wellenfunktion \(\psi\) berechnet werden:

\[\langle x \rangle = \int x |\psi(x,t)|^2 dx\]

\[\langle x^2 \rangle = \int x^2 |\psi(x,t)|^2 dx\]

\[\langle \hat{p} \rangle = \int \psi^*(x,t) \left( -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi(x,t) dx\]

\[\langle \hat{p}^2 \rangle = \int \psi^*(x,t) \left( -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \right)^2 \psi(x,t) dx\]

4. In der Quantenmechanik wird die Heisenbergsche Unschärferelation durch die Kommutatorrelation der Operatoren \(\hat{x}\) und \(\hat{p}\) formuliert:

\[\left[ \hat{x}, \hat{p} \right] = i\hbar\]

5. Diese Relation führt unmittelbar zur Unschärferelation:

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]

Fazit:

Die Heisenbergsche Unschärferelation zeigt die Grenze der Präzision, mit der man gleichzeitig die Position und den Impuls eines Teilchens bestimmen kann. Durch die Schrödinger-Gleichung und die Wellenfunktionen lassen sich diese Unsicherheiten quantifizieren und die physikalischen Grenzen der Messgenauigkeit aufzeigen.

Aufgabe 4)

Du bist beauftragt, numerische Methoden zur Simulation physikalischer Systeme zu untersuchen und zu implementieren. Wähle eine geeignete Methode (z.B. Finite-Differenzen-Methode) und wende diese auf ein gegebenes physikalisches Problem an. Verwende dabei Kenntnisse zu Diskretisierung, Zeitschrittverfahren und Stabilitätsanalyse, um die Implementierung vorzunehmen.

a)

Angenommen, Du möchtest die Wärmeleitungsgleichung in einem eindimensionalen Metallstab der Länge L mittels der Finite-Differenzen-Methode (FDM) lösen. Die Wärmeleitungsgleichung ist \[ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = \frac{\text{d}^2u}{\text{d}x^2} \], wobei \(u(x,t)\) die Temperatur zu einem Zeitpunkt \(t\) und an der Position \(x\) darstellt. Erläutere die Diskretisierung dieser Gleichung unter Verwendung eines expliziten Zeitschrittverfahrens. Formuliere die entsprechenden Differenzengleichungen und erläutere, wie die Diskretisierung im Raum und in der Zeit erfolgt.

Lösung:

Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung

Um die Wärmeleitungsgleichung \[ \frac{\text{d}u}{\text{d}t} = \frac{\text{d}^2u}{\text{d}x^2} \] mittels der Finite-Differenzen-Methode (FDM) zu lösen, müssen wir die Gleichung sowohl im Raum (x) als auch in der Zeit (t) diskretisieren. Dies erfolgt, indem das kontinuierliche Problem in ein diskretes Problem umgewandelt wird.

Diskretisierung im Raum

• Teile den Stab der Länge L in N gleich große Intervalle mit der Breite \( \triangle x \).
• Die Positionen in den diskreten Punkten seien \( x_i = i \triangle x \) für \( i = 0, 1, \text{...,} N \).

Diskretisierung in der Zeit

• Teile die Zeit in kleine Intervalle von Größe \( \triangle t \).
• Die Zeitpunkte seien \( t^n = n \triangle t \) für \( n = 0, 1, 2, \text{...} \).

Diskretisierung der Differentialoperatoren

• \textbf{Raumableitung zweiter Ordnung:} Wir verwenden eine zentrale Differenzformel zur Approximation der zweiten Ableitung:\[ \frac{\text{d}^2 u}{\text{d} x^2} \approx \frac{u_{i+1}^n - 2 u_i^n + u_{i-1}^n}{\triangle x^2} \]
• \textbf{Zeitableitung:} Für die Zeitableitung verwenden wir eine Vorwärtsdifferenz:\[ \frac{\text{d} u}{\text{d} t} \approx \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\triangle t} \]

Aufstellen der Differenzengleichung

Setzen wir die diskretisierten Ableitungen in die Wärmeleitungsgleichung ein:\[ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\triangle t} = \frac{u_{i+1}^n - 2 u_i^n + u_{i-1}^n}{\triangle x^2} \]

Lösen wir nach \( u_i^{n+1} \) auf, erhalten wir:\[ u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\triangle t}{\triangle x^2} \big(u_{i+1}^n - 2 u_i^n + u_{i-1}^n\big) \]

Stabilitätsanalyse

Um eine stabile Lösung zu garantieren, muss das Verhältnis \( \frac{\triangle t}{\triangle x^2} \) klein genug gewählt werden. Dies wird üblicherweise durch die Bedingung festgelegt:

• \[ \frac{\triangle t}{\triangle x^2} \leq \frac{1}{2} \]

Diese Bedingung stellt sicher, dass die numerische Lösung stabil bleibt, d.h., dass keine unphysikalischen Oszillationen oder Instabilitäten auftreten.

Algorithmus zur Implementierung

Die Implementierung erfolgt Schritt für Schritt:

• Setze Anfangsbedingungen und Randbedingungen.
• Berechne die Temperaturverteilung für jeden Zeitschritt gemäß der diskreten Differenzengleichung:

for n in range(time_steps):    for i in range(1, N):        u_new[i] = u[i] + (dt / dx**2) * (u[i+1] - 2*u[i] + u[i-1])    u = u_new.copy()

b)

Implementiere die diskreten Gleichungen in Python, um die Temperaturverteilung im Metallstab über die Zeit zu simulieren. Nimm an, \(L = 1\) und die Anfangsbedingungen sind \(u(x,0) = \text{sin}(pi x)\) für \(0 leq x leq L\) und \(u(0,t) = u(L,t) = 0\) für alle \(t \geq 0\). Führe eine Stabilitätsanalyse Deiner numerischen Methode durch und wähle geeignete Zeitschritte und Diskretisierungsabstände. Dokumentiere und plotiere das Ergebnis.

Lösung:

Implementierung der Wärmeleitungsgleichung in Python

Zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung im eindimensionalen Metallstab mit den gegebenen Bedingungen, implementieren wir die zuvor abgeleiteten diskreten Gleichungen in Python. Die Anfangsbedingungen sind \( u(x,0) = \sin(\pi x) \) für \( 0 \leq x \leq L \) und die Randbedingungen sind \( u(0,t) = u(L,t) = 0 \) für alle \( t \geq 0 \).

Schritte zur Implementierung:

• Setze die Parameter und initialisiere die Arrays.
• Implementiere die Zeitentwicklung mittels einer expliziten Finite-Differenzen-Methode.
• Führe eine Stabilitätsanalyse durch, um geeignete Zeitschritte und Diskretisierungsabstände zu wählen.
• Dokumentiere die Ergebnisse.
• Plotte die Temperaturverteilung.

Python-Code zur Simulation:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# ParameterL = 1.0nx = 51  # Anzahl der räumlichen Punktedx = L / (nx - 1)dt = 0.0001  # Zeitschrittlängealpha = dt / dx**2nt = 300  # Anzahl der Zeitschritte# Stabilitätsanalyseif alpha > 0.5:    raise ValueError('Stabilitätsbedingung verletzt: alpha muss kleiner oder gleich 0.5 sein')# Initialisierungx = np.linspace(0, L, nx)u = np.sin(np.pi * x)u_new = np.zeros(nx)# Randbedingungenu[0] = 0u[-1] = 0# Zeitintegrationfor n in range(nt):    for i in range(1, nx - 1):        u_new[i] = u[i] + alpha * (u[i+1] - 2*u[i] + u[i-1])    u = u_new.copy()# Plotten der Ergebnisseplt.plot(x, u, label='t = {:.2f}'.format(nt*dt))plt.xlabel('Länge x')plt.ylabel('Temperatur u')plt.title('Temperaturverteilung im Metallstab')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()

Ergebnisse und Stabilitätsanalyse

• Die Stabilitätsbedingung verlangt, dass \( \alpha \leq 0.5 \). In diesem Fall ist \( \alpha = \frac{dt}{dx^2} = \frac{0.0001}{(1/(51-1))^2} \), was kleiner als 0.5 ist und damit stabil.
• Die Simulation zeigt, wie sich die anfängliche Temperaturverteilung im Laufe der Zeit ändert.
• Die Temperaturverteilung ist zu jedem Zeitpunkt glatt und zeigt keine unphysikalischen Oszillationen, was auf eine korrekte und stabile Lösung hinweist.

Plot der Temperaturverteilung

Das folgende Diagramm zeigt die Temperaturverteilung im Metallstab nach einer bestimmten Anzahl von Zeitschritten:

# Der Plot-Anweisung, die oben hinzugefügt wurde, generiert bereits das erwünschte Diagramm wie folgt:plt.plot(x, u, label='t = {:.2f}'.format(nt*dt))plt.xlabel('Länge x')plt.ylabel('Temperatur u')plt.title('Temperaturverteilung im Metallstab')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()