Rechenmethoden d. Physik, I - Cheatsheet

Newton'sche Gesetze und klassische Mechanik

Definition:

Grundlagen der Bewegung in der klassischen Mechanik, basierend auf Newtons drei Bewegungsgesetzen.

Details:

• 1. Newtonsches Gesetz (Trägheitsgesetz): Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig, solange keine resultierende Kraft auf ihn einwirkt.
• 2. Newtonsches Gesetz (Aktionsprinzip): Die Beschleunigung eines Körpers ist proportional zur resultierenden Kraft und erfolgt in Richtung dieser Kraft: \[ \boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a} \]
• 3. Newtonsches Gesetz (Reaktionsprinzip): Kräfte treten paarweise auf. Übt ein Körper A eine Kraft \(\boldsymbol{F}_{A \rightarrow B}\) auf einen Körper B aus, so übt Körper B eine gleichgroße, entgegengesetzte Kraft \(\boldsymbol{F}_{B \rightarrow A}\) auf Körper A aus. \[ \boldsymbol{F}_{A \rightarrow B} = - \boldsymbol{F}_{B \rightarrow A} \]
• Klassische Mechanik: Anwendung der Newtonschen Gesetze zur Beschreibung und Analyse von Bewegungen und Kräften auf makroskopischen Skalen. Gültig bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten.

Lagrange- und Hamilton-Mechanik

Definition:

Lagrange-Mechanik verwendet die Lagrange-Funktion zur Beschreibung der Dynamik eines Systems, während die Hamilton-Mechanik die Hamilton-Funktion verwendet.

Details:

• Lagrange-Gleichungen erster Art: \[ L = T - V \]
• Lagrange-Gleichungen zweiter Art: \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
• Hamilton-Funktion: \[ H = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_i, \dot{q}_i, t) \]
• Hamilton'sche Bewegungsgleichungen: \[ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \] \[ \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

Gesetze der Thermodynamik

Definition:

Grundprinzipien, die die Beziehung zwischen verschiedenen thermodynamischen Größen wie Energie, Entropie und Temperatur beschreiben.

Details:

• 1. Hauptsatz: Energieerhaltung ( \Delta U = Q - W )
• 2. Hauptsatz: Entropie des Universums nimmt zu ( \Delta S \geq 0 )
• 3. Hauptsatz: Entropie geht gegen null bei absolutem Nullpunkt ( S \rightarrow 0, \text{wenn } T \rightarrow 0 )
• 0. Hauptsatz: Gleichgewichtszustände sind durch Temperatur definiert ( T_A = T_B )

Geometrische Optik und Strahlenmodelle

Definition:

Studium der Lichtausbreitung unter der Annahme, dass Licht sich geradlinig in Form von Strahlen bewegt.

Details:

• Lichtstrahlenmodell: Licht als gerade Linien, Reflexion und Brechung an Grenzflächen.
• Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel, \[ \theta_i = \theta_r \]
• Brechung: Snell'sches Gesetz, \[ n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) \]
• Huygensches Prinzip: jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt für neue Wellenfronten.
• Bildkonstruktion mit Linsen und Spiegeln: Brennpunkt, Brennweite, optische Achse, \[ \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} \]
• Abbildungsgesetze: reelles vs. virtuelles Bild, Vergrößerung \[ M = \frac{h_i}{h_o} = - \frac{d_i}{d_o} \]

Schrödinger-Gleichung und Lösungsansätze

Definition:

Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems. Fundamentale Gleichung der Quantenmechanik.

Details:

• Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (SE): \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r},t) \]
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: \[ \hat{H} \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \]
• Operator \( \hat{H} \): Hamilton-Operator, \( \Psi \): Wellenfunktion, \( E \): Energieeigenwert
• Typische Lösungsansätze:
  • Trennungsansatz: \( \Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r})T(t) \)
  • Fourier-Transformation
  • Variationsmethode
  • Störungstheorie

Heisenbergsche Unschärferelation

Definition:

Prinzip der Quantenmechanik, das besagt, dass bestimmte Paare von physikalischen Größen nicht gleichzeitig mit beliebig hoher Genauigkeit gemessen werden können.

Details:

• Formel: \( \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)
• \( \Delta x \): Standardabweichung der Position
• \( \Delta p \): Standardabweichung des Impulses
• \( \hbar \): Reduzierte Plancksche Konstante (\( \hbar = \frac{h}{2\pi} \))